（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 第三篇 第30練 計數(shù)原理、隨機變量、數(shù)學歸納法試題 理.docx
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第30練 計數(shù)原理、隨機變量、數(shù)學歸納法 [明晰考情] 1.命題角度：計數(shù)原理與排列、組合的簡單應用；n次獨立重復試驗的模型及二項分布、離散型隨機變量的均值與方差；數(shù)學歸納法的簡單應用.2.題目難度：中檔難度. 考點一 計數(shù)原理與二項式定理的綜合 方法技巧 (1)區(qū)分某一項的二項式系數(shù)與這一項的系數(shù)兩個不同的概念；(2)在二項式展開式中，利用通項公式求一些特殊的項，如常數(shù)項、有理項、整式項等；(3)根據(jù)所給式子的結構特征，對二項式定理的逆用或變用；(4)關于x的二項式(a＋bx)n(a，b為常數(shù))的展開式可以看成是關于x的函數(shù)，當展開式涉及到與系數(shù)有關的問題時，可以利用函數(shù)思想來解決. 1.設A，B均為非空集合，且A∩B＝?，A∪B＝{1,2,3，…，n}(n≥3，n∈N*).記A，B中元素的個數(shù)分別為a，b，所有滿足“a∈B，且b∈A”的集合對(A，B)的個數(shù)為an. (1)求a3，a4的值； (2)求an. 解 (1)當n＝3時，A∪B＝{1,2,3}，且A∩B＝?. 若a＝1，b＝2，則1∈B,2∈A，共C種； 若a＝2，b＝1，則2∈B,1∈A，共C種， 所以a3＝C＋C＝2； 當n＝4時，A∪B＝{1,2,3,4}，且A∩B＝?. 若a＝1，b＝3，則1∈B,3∈A，共C種； 若a＝2，b＝2，則2∈B,2∈A，這與A∩B＝?矛盾； 若a＝3，b＝1，則3∈B,1∈A，共C種， 所以a4＝C＋C＝2. (2)當n為偶數(shù)時，A∪B＝{1,2,3，…，n}，且A∩B＝?. 若a＝1，b＝n－1，則1∈B，n－1∈A，共C(考慮A)種； 若a＝2，b＝n－2，則2∈B，n－2∈A，共C(考慮A)種； …； 若a＝－1，b＝＋1，則－1∈B，＋1∈A，共(考慮A)種； 若a＝，b＝，則∈B，∈A，這與A∩B＝?矛盾； 若a＝＋1，b＝－1，則＋1∈B，－1∈A，共(考慮A)種； …； 若a＝n－1，b＝1，則n－1∈B,1∈A，共C(考慮A)種. 所以an＝C＋C＋…＋＋＋…＋C＝2n－2－； 當n為奇數(shù)時，同理，an＝C＋C＋…＋C＝2n－2. 綜上所述，當n≥3，且n∈N*時，an＝ 2.已知等式(1＋x)2n－1＝(1＋x)n－1(1＋x)n. (1)求(1＋x)2n－1的展開式中含xn的項的系數(shù)，并化簡：CC＋CC＋…＋CC； (2)證明：(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝nC. (1)解 (1＋x)2n－1的展開式中含xn的項的系數(shù)為C， 由(1＋x)n－1(1＋x)n＝(C＋Cx＋…＋Cxn－1)(C＋Cx＋…＋Cxn)可知，(1＋x)n－1(1＋x)n的展開式中含xn的項的系數(shù)為CC＋CC＋…＋CC. 所以CC＋CC＋…＋CC＝C. (2)證明 當k∈N*時，kC＝k＝＝n＝nC， 所以(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝[k(C)2]＝ (kCC)＝(nCC)＝n(CC)＝n (CC). 由(1)知，CC＋CC＋…＋CC＝C， 即(CC)＝C，所以(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝nC. 3.設f(x)是定義在R上的函數(shù)，已知n∈N*，且g(x)＝Cfx0(1－x)n＋Cfx1(1－x)n－1＋Cfx2(1－x)n－2＋…＋Cfxn(1－x)0. (1)若f(x)＝1，求g(x)； (2)若f(x)＝x，求g(x). 解 (1)∵f(x)＝1， ∴f＝f＝…＝f＝1， ∴g(x)＝Cx0(1－x)n＋Cx1(1－x)n－1＋Cx2(1－x)n－2＋…＋Cxn(1－x)0＝[(1－x)＋x]n＝1. ∵零的零次冪無意義， ∴g(x)＝1，且x≠0，x≠1，x∈R. (2)∵rC＝r＝＝n＝nC，其中r＝1,2，…，n， ∴rC＝nC(r＝1,2，…，n).又∵f(x)＝x， ∴g(x)＝C0x0(1－x)n＋Cx1(1－x)n－1＋Cx2(1－x)n－2＋…＋Cxn(1－x)0 ＝[Cx1(1－x)n－1＋2Cx2(1－x)n－2＋…＋rCxr(1－x)n－r＋…＋nCxn(1－x)0] ＝n[Cx1(1－x)n－1＋Cx2(1－x)n－2＋…＋Cxr(1－x)n－r＋…＋Cxn(1－x)0] ＝x[Cx0(1－x)n－1＋Cx1(1－x)n－2＋…＋Cxr－1(1－x)(n－1)－(r－1)＋…＋Cxn－1(1－x)0] ＝x[(1－x)＋x]n－1＝x， 即g(x)＝x，x≠0，x≠1，x∈R. 4.設集合S＝{1,2,3，…，n}(n∈N*，n≥2)，A，B是S的兩個非空子集，且滿足集合A中的最大數(shù)小于集合B中的最小數(shù)，記滿足條件的集合對(A，B)的個數(shù)為Pn. (1)求P2，P3的值； (2)求Pn的表達式. 解 (1)當n＝2時，即S＝{1,2}，此時A＝{1}，B＝{2}，所以P2＝1. 當n＝3時，即S＝{1,2,3}. 若A＝{1}，則B＝{2}或B＝{3}或B＝{2,3}； 若A＝{2}或A＝{1,2}，則B＝{3}. 所以P3＝5. (2)當集合A中的最大元素為“k”時，集合A的其余元素可在1,2，…，k－1中任取若干個(包含不取)，所以集合A共有C＋C＋C＋…＋C＝2k－1(種)情況， 此時集合B的元素只能在k＋1，k＋2，…，n中任取若干個(至少取1個)，所以集合B共有C＋C＋C＋…＋C＝2n－k－1(種)情況， 所以當集合A中的最大元素為“k”時，集合對(A，B)共有2k－1(2n－k－1)＝2n－1－2k－1(對)， 當k依次取1,2,3，…，n－1時，可分別得到集合對(A，B)的個數(shù)，求和可得Pn＝(n－1)2n－1－(20＋21＋22＋…＋2n－2)＝(n－2)2n－1＋1. 考點二 隨機變量及其概率分布 方法技巧 求解離散型隨機變量的概率分布問題，先要明確離散型隨機變量的所有可能取值及其對應事件，然后確定概率分布的類型，求出相應事件的概率，即可列出概率分布，再求其數(shù)學期望與方差即可.若所求事件比較復雜，可以根據(jù)事件的性質將其分為互斥事件之和或轉化為對立事件求解即可. 5.(2018蘇州調研)某公司年會舉行抽獎活動，每位員工均有一次抽獎機會.活動規(guī)則如下：一個盒子里裝有大小相同的6個小球，其中3個白球，2個紅球，1個黑球，抽獎時從中一次摸出3個小球，若所得的小球同色，則獲得一等獎，獎金為300元；若所得的小球顏色互不相同，則獲得二等獎，獎金為200元；若所得的小球恰有2個同色，則獲得三等獎，獎金為100元. (1)求小張在這次活動中獲得的獎金數(shù)X的概率分布及數(shù)學期望； (2)若每個人獲獎與否互不影響，求該公司某部門3個人中至少有2個人獲二等獎的概率. 解 (1)小張在這次活動中獲得的獎金數(shù)X的所有可能取值為100,200,300. P(X＝300)＝＝， P(X＝200)＝＝＝， P(X＝100)＝＝＝， 所以獎金數(shù)X的概率分布為 X 100 200 300 P 獎金數(shù)X的數(shù)學期望E(X)＝100＋200＋300＝140. (2)設3個人中獲二等獎的人數(shù)為Y，則Y～B， 所以P(Y＝k)＝Ck3－k (k＝0,1,2,3)， 設該公司某部門3個人中至少有2個人獲二等獎為事件A， 則P(A)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3) ＝C2＋C3＝. 答 該公司某部門3個人中至少有2個人獲二等獎的概率為. 6.射擊測試有兩種方案.方案1：先在甲靶射擊一次，以后都在乙靶射擊；方案2：始終在乙靶射擊.某射手命中甲靶的概率為，命中一次得3分；命中乙靶的概率為，命中一次得2分.若沒有命中則得0分.用隨機變量ξ表示該射手一次測試累計得分，如果ξ的值不低于3分就認為通過測試，立即停止射擊；否則繼續(xù)射擊，但一次測試最多打靶3次，每次射擊的結果相互獨立. (1)如果該射手選擇方案1，求其測試結束后所得總分ξ的概率分布和數(shù)學期望E(ξ)； (2)該射手選擇哪種方案通過測試的可能性大？請說明理由. 解 在甲靶射擊命中記作A，不中記作，在乙靶射擊命中記作B，不中記作，其中P(A)＝，P()＝1－＝，P(B)＝，P()＝1－＝. (1)ξ的所有可能取值為0,2,3,4，則 P(ξ＝0)＝P()＝P()P()P()＝＝， P(ξ＝2)＝P(B)＋P(B)＝P()P(B)P()＋P()P()P(B)＝＋＝， P(ξ＝3)＝P(A)＝， P(ξ＝4)＝P(BB)＝P()P(B)P(B)＝＝. 所以ξ的概率分布為 ξ 0 2 3 4 P 所以E(ξ)＝0＋2＋3＋4＝3. (2)設射手選擇方案1通過測試的概率為P1，選擇方案2通過測試的概率為P2， P1＝P(ξ≥3)＝＋＝. P2＝P(ξ≥3)＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB)＝＋＋＝. 因為P1＞P2，所以選擇方案1通過測試的概率更大. 7. (2018無錫調研)有甲、乙兩個游戲項目，要參與游戲，均需每次先付費10元(不返還)，游戲甲有3種結果：可能獲得15元，可能獲得10元，可能獲得5元，這三種情況的概率分別為，，；游戲乙有2種結果：可能獲得20元，可能獲得0元，這兩種情況的概率均為. (1)某人花20元參與游戲甲兩次，用X表示該人參加游戲甲的收益(收益＝參與游戲獲得的錢數(shù)－付費錢數(shù))，求X的概率分布及數(shù)學期望； (2)用ξ表示某人參加n次游戲乙的收益，n為任意正整數(shù)，求證：ξ的數(shù)學期望為0. (1)解 X的所有可能取值為10,5,0，－5，－10， P(X＝10)＝2＝，P(X＝5)＝C＝， P(X＝0)＝C＋2＝， P(X＝－5)＝C＝， P(X＝－10)＝2＝， 所以X的概率分布為 X 10 5 0 －5 －10 P E(X)＝10＋5＋0＋(－5)＋(－10)＝－. (2)證明 ξ的所有可能取值為10n,10(n－2)，10(n－4)，…，10(n－2k)，…，－10n(k∈N且0≤k≤n)， P(ξ＝10(n－2k))＝Cn(k∈N且0≤k≤n)， E(ξ)＝10nCn＋10(n－2)Cn＋…＋10(n－2k)Cn＋…＋10(n－2n)Cn ＝[nC＋(n－2)C＋…＋(n－2k) C＋…＋(－n)C]， 又E(ξ)＝{－nC＋[n－(2n－2)]C＋…＋[n－(2n－2k)]C＋…＋nC}， ①＋②，得 2E(ξ)＝[(n－n)C＋(n－2＋2－n)C＋…＋(n－2k＋2k－n)C＋…＋(－n＋n)C]， 所以E(ξ)＝0. 8.(2017江蘇)已知一個口袋有m個白球，n個黑球(m，n∈N*，n≥2)，這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3，…，m＋n的抽屜內，其中第k次取球放入編號為k的抽屜(k＝1,2,3，…，m＋n). 1 2 3 … m＋n (1)試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率P； (2)隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學期望，證明：E(X)<. (1)解 編號為2的抽屜內放的是黑球的概率為 P＝＝. (2)證明 隨機變量X的概率分布為 X … … P … … 隨機變量X的期望為 E(X)＝＝. 所以E(X)< ＝ ＝(1＋C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋…＋C) ＝…＝(C＋C) ＝＝， 即E(X)<. 考點三 數(shù)學歸納法 方法技巧 利用數(shù)學歸納法證明問題，在第二步證明n＝k＋1成立時，一定要利用歸納假設，即必須把歸納假設“n＝k時命題成立”作為條件來導出“n＝k＋1時命題也成立”，在書寫f(k＋1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項，這是數(shù)學歸納法的核心. 9.在數(shù)列{an}中，an＝cos(n∈N*) (1)試將an＋1表示為an的函數(shù)關系式； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝1－(n∈N*)，猜想an與bn的大小關系，并證明你的結論. 解 (1)an＝cos＝cos ＝22－1， ∴an＝2a－1， ∴an＋1＝， 又n∈N*，n＋1≥2，an＋1＞0， ∴an＋1＝. (2)當n＝1時，a1＝－，b1＝1－2＝－1， ∴a1＞b1， 當n＝2時，a2＝，b2＝1－＝， ∴a2＝b2， 當n＝3時，a3＝，b3＝1－＝，∴a3＜b3， 猜想：當n≥3時，an＜bn，下面用數(shù)學歸納法證明. ①當n＝3時，由上知，a3＜b3，結論成立. ②假設當n＝k，k≥3，n∈N*時，ak＜bk成立， 即ak＜1－， 則當n＝k＋1時，ak＋1＝＜ ＝， bk＋1＝1－， 要證ak＋1＜bk＋1，即證明2＜2， 即證明1－＜1－＋2， 即證明－＋2＞0， 即證明＋2＞0，顯然成立. ∴當n＝k＋1時，結論也成立. 綜合①②可知：當n≥3時，an＜bn成立. 綜上可得：當n＝1時，a1＞b1；當n＝2時，a2＝b2， 當n≥3，n∈N*時，an＜bn. 10.(2018江蘇省南京六校聯(lián)考)把圓分成n(n≥3)個扇形，設用4種顏色給這些扇形染色，每個扇形恰染一種顏色，并且要求相鄰扇形的顏色互不相同，設共有f(n)種方法. (1)寫出f(3)，f(4)的值； (2)猜想f(n)(n≥3)，并用數(shù)學歸納法證明. 解 (1)f(3)＝24，f(4)＝84. (2)當n≥4時，首先，對于第1個扇形a1，有4種不同的染法，由于第2個扇形a2的顏色與a1的顏色不同，所以，對于a2有3種不同的染法，類似地，對扇形a3，…，an－1均有3種染法.對于扇形an，用與an－1不同的3種顏色染色，但是，這樣也包括了它與扇形a1顏色相同的情況，而扇形a1與扇形an顏色相同的不同染色方法數(shù)就是f(n－1)，于是可得， f(n)＝43n－1－f(n－1) ， 猜想f(n)＝3n＋(－1)n3(n≥3，n∈N*)，證明如下： 當n＝3時，左邊f(xié)(3)＝24，右邊33＋(－1)33＝24， 所以等式成立. 假設當n＝k(k≥3)時，f(k)＝3k＋(－1)k3， 則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝43k－f(k)＝43k－3k－(－1)k3 ＝3k＋1＋(－1)k＋13， 即當n＝k＋1時，等式也成立， 綜上，f(n)＝3n＋(－1)n3(n≥3). 11.設f(n)是定義在N*上的增函數(shù)，f(4)＝5，且滿足： ①對任意的n∈N*，f(n)∈Z；②對任意的m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1). (1)求f(1)，f(2)，f(3)的值； (2)求f(n)的表達式. 解 因為f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)， 所以5f(1)＝10，所以f(1)＝2. 因為f(n)是定義在N*上的增函數(shù)， 所以2＝f(1)
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