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回扣6　立體幾何 1.概念理解 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關系. 2.柱、錐、臺、球體的表面積和體積 側面展開圖 表面積 體積 直棱柱 長方形 S＝2S底＋S側 V＝S底h 圓柱 長方形 S＝2πr2＋2πrl V＝πr2l 棱錐 由若干三角形構成 S＝S底＋S側 V＝S底h 圓錐 扇形 S＝πr2＋πrl V＝πr2h 棱臺 由若干個梯形構成 S＝S上底＋S下底＋S側 V＝(S＋＋S′)h 圓臺 扇環(huán) S＝πr′2＋π(r＋r′)l＋πr2 V＝π(r2＋rr′＋r′2)h 球 S＝4πr2 S＝πr3 3.平行、垂直關系的轉化示意圖 1.易混淆幾何體的表面積與側面積的區(qū)別，幾何體的表面積是幾何體的側面積與所有底面面積之和，不能漏掉幾何體的底面積；求錐體體積時，易漏掉體積公式中的系數. 2.不清楚空間線面平行與垂直關系中的判定定理和性質定理，忽視判定定理和性質定理中的條件，導致判斷出錯.如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結論，就是因為忽視面面垂直的性質定理中m?α的限制條件. 3.注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關系.對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關系與數量關系去探求變化后的元素在空間中的位置與數量關系. 1.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的側面積是________. 答案　2π 解析　幾何體的底面圓半徑為1，高為1，則側面積S＝2πrh＝2π11＝2π. 2.用平面α截球O所得截面圓的半徑為3，球心O到平面α的距離為4，則此球的表面積為__________. 答案　100π 解析　依題意，設球的半徑為R，滿足R2＝32＋42＝25， ∴S球＝4πR2＝100π. 3.若正四棱錐的底面邊長為2，體積為8，則其側面積為__________. 答案　4 解析　因為V＝(2)2h＝8，所以h＝3， 所以斜高h′＝＝. 所以其側面積為S側＝4＝4. 4.設m，n是不同的直線，α，β，γ是不同的平面，有以下四個命題： ①?β∥γ；②?m⊥β； ③?α⊥β；④?m∥α. 其中正確的命題是________.(填序號) 答案?、佗? 解析　①中平行于同一平面的兩平面平行是正確的；②中m，β可能平行，相交或直線在平面內；③中由面面垂直的判定定理可知結論正確；④中m，α可能平行或線在面內. 5.在三棱錐S－ABC中，底面ABC是邊長為3的等邊三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA＝SB＝2，則該三棱錐的體積為________. 答案　 解析　如圖，∵SA⊥SC，SB⊥SC，且SA∩SB＝S，SA，SB?平面SAB， ∴SC⊥平面SAB， 在Rt△BSC中，由SB＝2，BC＝3，得SC＝. 在△SAB中，取AB中點D，連結SD， 則SD⊥AB，且BD＝， ∴SD＝＝， ∴V＝3＝. 6.已知m，n為不同直線，α，β為不同平面，給出下列命題： ①若m⊥α，m⊥n，則n∥α； ②若m⊥β，n⊥β，則m∥n； ③若m⊥α，m⊥β，則α∥β； ④若m?α，n?β，α∥β，則n∥m； ⑤若α⊥β，α∩β＝m，n?α，m⊥n，則n⊥β. 其中正確的命題是________.(填寫所有正確命題的序號) 答案　②③⑤ 解析　命題①，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故不正確；命題②，若m⊥β，n⊥β，則m∥n，由線面垂直的性質定理易知正確；命題③，由線面垂直的性質定理易知正確；命題④，若m?α，n?β，α∥β，則n∥m或m，n異面，所以不正確；命題⑤是面面垂直的性質定理，所以是正確命題.故答案為②③⑤. 7.如圖，三棱錐A－BCD的棱長全相等，點E為AD的中點，則直線CE與BD所成角的余弦值為__________. 答案　 解析　方法一　取AB的中點G，連結EG，CG. ∵E為AD的中點，∴EG∥BD. ∴∠GEC為CE與BD所成的角.設AB＝1， 則EG＝BD＝， CE＝CG＝， ∴cos∠GEC＝ ＝＝. 方法二　設AB＝1，則＝(－)(－)＝(－) ＝2－－＋ ＝－cos 60－cos 60＋cos 60＝. ∴cos〈，〉＝＝＝. 8.如圖所示，在邊長為5＋的正方形ABCD中，以A為圓心畫一個扇形，以O為圓心畫一個圓，M，N，K為切點，以扇形為圓錐的側面，以圓O為圓錐底面，圍成一個圓錐，則圓錐的表面積S＝________. 答案　10π 解析　設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，由已知條件得 解得r＝，l＝4， 則S＝πrl＋πr2＝10π. 9.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥BC，G為PA上一點. (1)求證：平面PCD⊥平面ABCD； (2)若PC∥平面BDG，求證：G為PA的中點. 證明　(1)∵底面ABCD為矩形，∴BC⊥CD， 又∵PD⊥BC，PD∩CD＝D，CD，PD?平面PCD， ∴BC⊥平面PCD. 又∵BC?平面ABCD， ∴平面ABCD⊥平面PCD. (2)連結AC交BD于點O，連結GO，∵PC∥平面BDG， 平面PCA∩平面BDG＝GO， ∴PC∥GO， ∴＝. ∵底面ABCD為矩形， ∴O是AC的中點，即CO＝OA， ∴PG＝GA， ∴G為PA的中點. 10.在正四棱錐S－ABCD中，底面邊長為a，側棱長為a，P為側棱SD上的一點. (1)當四面體ACPS的體積為時，求的值； (2)在(1)的條件下，若E是SC的中點，求證：BE∥平面APC. (1)解　設PD＝x，連結BD，AC，交點為O.過P作PH⊥BD于點H，∵平面SBD⊥平面ABCD且BD為交線，∴PH⊥平面ABCD， 又SO⊥平面ABCD， ∴PH∥SO. 在Rt△SOB中，SO＝＝a， ∵＝， ∴PH＝＝＝x， ∴VSPAC＝VS－ACD－VP－ACD ＝＝a3， 解得x＝a， ∴＝＝2. (2)證明　取SP的中點Q，連結QE，BQ， 則EQ∥PC，又EQ?平面PAC，PC?平面PAC， ∴EQ∥平面PAC. ∵P為QD的中點，O為BD的中點， ∴BQ∥PO，又BQ?平面PAC， PO?平面PAC， ∴BQ∥平面PAC， 而EQ與BQ為平面BEQ內的兩條相交直線， ∴平面BEQ∥平面PAC， 而BE?平面BEQ， ∴BE∥平面APC.