《（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件講義 理.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件講義 理.doc（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 1．命題的概念 用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題． 2．四種命題及其關(guān)系 四種命題間的相互關(guān)系 四種命題的真假關(guān)系 (1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性； (2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系 3．充分條件、必要條件的判定? 充分條件與必要條件的定義 從集合角度理解 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件 p成立的對(duì)象的集合為A，q成立的對(duì)象的集合為B p是q的充分不必要條件 p?q且qp A是B的真子集 集合與充要條件的關(guān)系? p是q的必要不充分條件 p q且q?p B是A的真子集 p是q的充要條件 p?q A＝B p是q的既不充分也不必要條件 p q且qp A，B互不包含 否命題對(duì)題設(shè)和結(jié)論都進(jìn)行否定． 在判斷充分、必要條件的時(shí)候，一定要從p能否推出q，q能否推出p兩方面去判斷：對(duì)于q?p，要能夠證明，而對(duì)于p q，只需舉一反例即可． 小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范圍)?x>1(大范圍)，x>1(大范圍) x>2(小范圍)． [熟記常用結(jié)論] 1．充分條件與必要條件的兩個(gè)特征 (1)對(duì)稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”?“q?p”． (2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)． 2．利用互為逆否命題“同真、同假”的特點(diǎn)，可得： (1)p?q等價(jià)于綈q?綈p； (2)qp等價(jià)于綈p綈q. [小題查驗(yàn)基礎(chǔ)] 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“”) (1)“x2＋2x－8＜0”是命題．(　　) (2)一個(gè)命題非真即假．(　　) (3)四種形式的命題中，真命題的個(gè)數(shù)為0或2或4.(　　) 答案：(1)　(2)√　(3)√ 二、選填題 1．已知命題p：若x≥a2＋b2，則x≥2ab，則下列說法正確的是(　　) A．命題p的逆命題是“若x＜a2＋b2，則x＜2ab” B．命題p的逆命題是“若x＜2ab，則x＜a2＋b2” C．命題p的否命題是“若x＜a2＋b2，則x＜2ab” D．命題p的否命題是“若x≥a2＋b2，則x＜2ab” 解析：選C　命題p的逆命題是“若x≥2ab，則x≥a2＋b2”，故A、B都錯(cuò)誤；命題p的否命題是“若x＜a2＋b2，則x＜2ab”，故C正確，D錯(cuò)誤． 2．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　因?yàn)閏os 2α＝cos2α－sin2α＝0，所以sin α＝cos α，所以“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要條件．故選A. 3．原命題“設(shè)a，b，c∈R，若a>b，則ac2>bc2”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．4 解析：選C　當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，所以原命題是假命題；由于原命題與逆否命題的真假一致，所以逆否命題也是假命題；逆命題為“設(shè)a，b，c∈R，若ac2>bc2，則a>b”，它是真命題；由于否命題與逆命題的真假一致，所以否命題也是真命題．綜上所述，真命題有2個(gè)． 4．(2019青島模擬)命題“若a，b都是偶數(shù)，則ab是偶數(shù)”的逆否命題為______________________． 答案：若ab不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù) 5．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________條件(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)． 解析：x(x－1)＝0?x＝0或x＝1， 即x(x－1)＝0不一定有x＝1成立； 但x＝1能推出x(x－1)＝0成立． 故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分條件． 答案：必要不充分 考點(diǎn)一 [基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)] 命題及其關(guān)系 [題組練透] 1．命題“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，則x＝y(tǒng)＝0”的逆否命題是(　　) A．若x≠y≠0(x，y∈R)，則x2＋y2＝0 B．若x＝y(tǒng)≠0(x，y∈R)，則x2＋y2≠0 C．若x≠0且y≠0(x，y∈R)，則x2＋y2≠0 D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，則x2＋y2≠0 解析：選D　x2＋y2＝0的否定為x2＋y2≠0； x＝y(tǒng)＝0的否定為x≠0或y≠0. 故“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，則x＝y(tǒng)＝0”的逆否命題為“若x≠0或y≠0(x，y∈R)，則x2＋y2≠0”． 2．有以下命題： ①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題； ②“面積相等的兩個(gè)三角形全等”的否命題； ③“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實(shí)數(shù)解”的逆否命題； ④“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題． 其中真命題為(　　) A．①②　　　　　　　　 B．②③ C．④ D．①②③ 解析：選D?、佟叭魓，y互為倒數(shù)，則xy＝1”是真命題； ②“面積不相等的兩個(gè)三角形一定不全等”，是真命題； ③若m≤1，則Δ＝4－4m≥0，所以原命題是真命題，故其逆否命題也是真命題； ④由A∩B＝B，得B?A，所以原命題是假命題，故其逆否命題也是假命題．故選D. 3．給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：選C　易知原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題，而逆命題、否命題是假命題，故它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題只有一個(gè)． [名師微點(diǎn)] 1．由原命題寫出其他3種命題的方法 由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將條件與結(jié)論互換即得逆命題，將條件與結(jié)論同時(shí)否定即得否命題，將條件與結(jié)論互換的同時(shí)進(jìn)行否定即得逆否命題． [提醒]　(1)對(duì)于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫； (2)當(dāng)命題有大前提時(shí)，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提． 2．判斷命題真假的2種方法 (1)直接判斷：判斷一個(gè)命題為真命題，要給出嚴(yán)格的推理證明；說明一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可． (2)間接判斷：根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假． 考點(diǎn)二 [師生共研過關(guān)] 充分條件、必要條件的判定 [典例精析] (1)(2018天津高考)設(shè)x∈R，則“＜”是“x3＜1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(2018北京高考)設(shè)a，b，c，d是非零實(shí)數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (3)“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝sin x－＋a為奇函數(shù)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　(1)由＜，得0＜x＜1，則0＜x3＜1，即“＜”?“x3＜1”； 由x3＜1，得x＜1，當(dāng)x≤0時(shí)，≥， 即“x3＜1”? / “＜”． 所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要條件． (2)a，b，c，d是非零實(shí)數(shù)，若a＜0，d＜0，b>0，c>0，且ad＝bc，則a，b，c，d不成等比數(shù)列(可以假設(shè)a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比數(shù)列，則由等比數(shù)列的性質(zhì)可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的必要而不充分條件． (3)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝sin x－，f(－x)＝sin(－x)－＝－sin x＋＝－＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)； 反之，當(dāng)f(x)＝sin x－＋a為奇函數(shù)時(shí)，f(－x)＋f(x)＝0，又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝2a，故a＝0，所以“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝sin x－＋a為奇函數(shù)”的充要條件，故選C. [答案]　(1)A　(2)B　(3)C [解題技法] 充分、必要條件的判斷3種方法 利用定義判斷 直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假．在判斷時(shí)，確定條件是什么、結(jié)論是什么 從集合的角度判斷 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分必要性的問題 利用等價(jià)轉(zhuǎn)化法 條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來判斷真假 [過關(guān)訓(xùn)練] 1．(2018衡陽模擬)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“y＝f(x)是奇函數(shù)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　若y＝f(x)為奇函數(shù)，則y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反過來不成立，因?yàn)楫?dāng)y＝f(x)為偶函數(shù)時(shí)，y＝|f(x)|的圖象也關(guān)于y軸對(duì)稱．故選B. 2．(2018北京高考)設(shè)a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2， 即a2＋9b2－6ab＝9a2＋b2＋6ab. 又a，b均為單位向量，所以a2＝b2＝1， 所以ab＝0，能推出a⊥b. 由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝， 能推出|a－3b|＝|3a＋b|， 所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要條件． 3．設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“a>b”是“a2>b2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選D　a>b不能推出a2>b2，例如a＝－1，b＝－2；a2>b2也不能推出a>b，例如a＝－2，b＝1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件． 考點(diǎn)三 [師生共研過關(guān)] 充分條件、必要條件的探求與應(yīng)用 [典例精析] (1)命題“?x∈[1,3]，x2－a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是(　　) A．a(chǎn)≥9 B．a(chǎn)≤9 C．a(chǎn)≥10 D．a(chǎn)≤10 (2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為________． [解析]　(1)命題“?x∈[1,3]，x2－a≤0”?“?x∈[1,3]，x2≤a”?9≤a.則a≥10是命題“?x∈[1,3]，x2－a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件． (2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}． ∵x∈P是x∈S的必要條件，則S?P， ∴解得0≤m≤3， 故0≤m≤3時(shí)，x∈P是x∈S的必要條件． [答案]　(1)C　(2)[0,3] 1．(變條件)本例(2)中條件“若x∈P是x∈S的必要條件”變?yōu)椤敖怭是綈S的必要不充分條件”，其他條件不變．求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：由例題知P＝{x|－2≤x≤10}． ∵綈P是綈S的必要不充分條件， ∴P是S的充分不必要條件，∴P?S且SP. ∴[－2,10][1－m,1＋m]． ∴或∴m≥9， 則m的取值范圍是[9，＋∞)． 2．(變?cè)O(shè)問)本例(2)條件不變，問是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件？并說明理由． 解：由例題知P＝{x|－2≤x≤10}． 若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S， ∴∴ 這樣的m不存在． [解題技法] 根據(jù)充分、必要條件求解參數(shù)范圍的方法及注意點(diǎn) (1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解． (2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象． [過關(guān)訓(xùn)練] 1．使a>0，b>0成立的一個(gè)必要不充分條件是(　　) A．a(chǎn)＋b>0 B．a(chǎn)－b>0 C．a(chǎn)b>1 D.>1 解析：選A　因?yàn)閍>0，b>0?a＋b>0，反之不成立，而由a>0，b>0不能推出a－b>0，ab>1，>1，故選A. 2．已知命題p：x2＋2x－3>0；命題q：x>a，且綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3] 解析：選A　由x2＋2x－3>0，得x＜－3或x>1，由綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件，故a≥1.故選A. 一、題點(diǎn)全面練 1．命題“若a>b，則a＋c>b＋c”的否命題是(　　) A．若a≤b，則a＋c≤b＋c　 B．若a＋c≤b＋c，則a≤b C．若a＋c>b＋c，則a>b D．若a>b，則a＋c≤b＋c 解析：選A　“若p，則q”的否命題是“若綈p，則綈q”，所以原命題的否命題是“若a≤b，則a＋c≤b＋c”，故選A. 2．命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是(　　) A．若α≠，則tan α≠1 B．若α＝，則tan α≠1 C．若tan α≠1，則α≠ D．若tan α≠1，則α＝ 解析：選C　以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為逆否命題，即“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是“若tan α≠1，則α≠”． 3．有下列幾個(gè)命題： ①“若a>b，則>”的否命題； ②“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題； ③“若x2＜4，則－2＜x＜2”的逆否命題． 其中真命題的序號(hào)是(　　) A．①　　　　　　　　　 B．①② C．②③ D．①②③ 解析：選C?、僭}的否命題為“若a≤b，則≤”，假命題；②原命題的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，真命題；③原命題為真命題，故逆否命題為真命題．所以真命題的序號(hào)是②③. 4．設(shè)A，B是兩個(gè)集合，則“A∩B＝A”是“A?B”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　由A∩B＝A可得A?B，由A?B可得A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A?B”的充要條件．故選C. 5．(2019西城區(qū)模擬)設(shè)平面向量a，b，c均為非零向量，則“a(b－c)＝0”是“b＝c”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　由b＝c，得b－c＝0，得a(b－c)＝0；反之不成立．故“a(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分條件． 6．(2019撫州七校聯(lián)考)A，B，C三個(gè)學(xué)生參加了一次考試，A，B的得分均為70分，C的得分為65分．已知命題p：若及格分低于70分，則A，B，C都沒有及格．則下列四個(gè)命題中為p的逆否命題的是(　　) A．若及格分不低于70分，則A，B，C都及格 B．若A，B，C都及格，則及格分不低于70分 C．若A，B，C至少有一人及格，則及格分不低于70分 D．若A，B，C至少有一人及格，則及格分高于70分 解析：選C　根據(jù)原命題與它的逆否命題之間的關(guān)系知，命題p的逆否命題是若A，B，C至少有一人及格，則及格分不低于70分．故選C. 7．(2019湘東五校聯(lián)考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是(　　) A．m> B．0＜m＜1 C．m>0 D．m>1 解析：選C　若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，則Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m>，因此當(dāng)不等式x2－x＋m>0在R上恒成立時(shí)，必有m>0，但當(dāng)m>0時(shí)，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m>0. 8．(2019安陽模擬)設(shè)p：f(x)＝ex＋2x2＋mx＋1在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，q：m＋5≥0，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，只需f′(x)＝ex＋4x＋m≥0在[0，＋∞)上恒成立，又因?yàn)閒′(x)＝ex＋4x＋m在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(0)＝1＋m≥0，即m≥－1，故p是q的充分不必要條件． 二、專項(xiàng)培優(yōu)練 (一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分 1．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，直線l?β，則“α∥β”是“l(fā)∥α”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　∵α，β是兩個(gè)不同的平面，直線l?β，則“α∥β”?“l(fā)∥α”，反之不成立，∴α，β是兩個(gè)不同的平面，直線l?β，則“α∥β”是“l(fā)∥α”的充分不必要條件．故選A. 2．(2019太原模擬)“m＝2”是“函數(shù)y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期為”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　∵當(dāng)函數(shù)y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期為時(shí)，m＝2，∴“m＝2”是“函數(shù)y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期為”的充分不必要條件． 3．“單調(diào)函數(shù)不是周期函數(shù)”的逆否命題是_______________________________． 解析：原命題可改寫為“若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)不是周期函數(shù)”，故其逆否命題是“若函數(shù)是周期函數(shù)，則函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)”，簡(jiǎn)化為“周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)”． 答案：周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù) (二)素養(yǎng)專練——學(xué)會(huì)更學(xué)通 4．[邏輯推理]若命題A的逆命題為B，命題A的否命題為C，則B是C的(　　) A．逆命題 B．否命題 C．逆否命題 D．都不對(duì) 解析：選C　根據(jù)題意，設(shè)命題A為“若p，則q”，則命題B為“若q，則p”，命題C為“若綈p，則綈q”， 顯然，B與C是互為逆否命題．故選C. 5．[邏輯推理]若a，b都是正整數(shù)，則a＋b>ab成立的充要條件是(　　) A．a(chǎn)＝b＝1 B．a(chǎn)，b至少有一個(gè)為1 C．a(chǎn)＝b＝2 D．a(chǎn)>1且b>1 解析：選B　∵a＋b>ab，∴(a－1)(b－1)＜1. ∵a，b∈N*，∴(a－1)(b－1)∈N，∴(a－1)(b－1)＝0， ∴a＝1或b＝1.故選B. 6．[數(shù)學(xué)運(yùn)算]圓x2＋y2＝1與直線y＝kx－3有公共點(diǎn)的充分不必要條件是(　　) A．k≤－2或k≥2 B．k≤－2 C．k≥2 D．k≤－2或k>2 解析：選B　若直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心(0,0)到直線kx－y－3＝0的距離d＝≤1，即≥3，∴k2＋1≥9，即k2≥8，∴k≥2或k≤－2，∴圓x2＋y2＝1與直線y＝kx－3有公共點(diǎn)的充分不必要條件是k≤－2，故選B. 7．[數(shù)學(xué)運(yùn)算]方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一負(fù)兩實(shí)根的充要條件是(　　) A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＜－1 C．－1＜a＜0 D．a(chǎn)>－1 解析：選B　∵方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一負(fù)兩實(shí)根， ∴解得a＜－1.故選B. 8．[數(shù)學(xué)抽象]能說明“若f(x)>f(0)對(duì)任意的x∈(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是________． 解析：設(shè)f(x)＝sin x，則f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．由正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性知，當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x滿足條件f(x)>f(0)對(duì)任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函數(shù)． 答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)