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4.5 三角函數的圖象和性質
A組 基礎題組
1.函數y=3-2sin2x的最小正周期為( )
A.π2 B.π C.2π D.4π
答案 B ∵y=3-2sin2x=2+cos 2x,∴最小正周期T=π,故選B.
2.函數f(x)=sin xcos x+32cos 2x的最小正周期和振幅分別是( )
A.π,1 B.π,2 C.2π,1 D.2π,2
答案 A ∵f(x)=sin xcos x+32cos 2x
=12sin 2x+32cos 2x=sin2x+π3,
∴最小正周期和振幅分別是π,1.故選A.
3.(2019臺州中學月考)定義在R上的函數f(x)既是偶函數又是周期函數.若f(x)的最小正周期是π,且當x∈0,π2時,f(x)=sin x,則f5π3的值為( )
A.-12 B.12 C.-32 D.32
答案 D ∵f(x)的最小正周期是π,
∴f5π3=f53π-2π=f-π3,∵f(x)是偶函數,
∴f-π3=fπ3=sinπ3=32,∴f5π3=32,故選D.
4.(2017浙江金華十校聯(lián)考)設函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω >0),則f(x)的奇偶性( )
A.與ω有關,且與φ有關
B.與ω有關,但與φ無關
C.與ω無關,且與φ無關
D.與ω無關,但與φ有關
答案 D 因為f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ,
所以f(-x)=-sin ωxcos φ+cos ωxsin φ.
若f(x)為奇函數,則f(-x)=-f(x)恒成立,故cos ωxsin φ=0恒成立,所以sin φ=0,故φ=kπ,k∈Z;
若f(x)為偶函數,則f(-x)=f(x)恒成立,故sin ωxcos φ=0恒成立,所以cos φ=0,故φ=kπ+π2,k∈Z.
綜上, f(x)的奇偶性僅與φ有關,故選D.
5.(2017課標全國Ⅲ理,6,5分)設函數f(x)=cosx+π3,則下列結論錯誤的是( )
A.f(x)的一個周期為-2π
B.y=f(x)的圖象關于直線x=8π3對稱
C.f(x+π)的一個零點為x=π6
D.f(x)在π2,π單調遞減
答案 D f(x)的最小正周期為2π,易知A正確;f8π3=cos83π+π3=cos 3π=-1,為f(x)的最小值,故B正確;∵f(x+π)=cosx+π+π3=-cosx+π3,∴fπ6+π=-cosπ6+π3=-cosπ2=0,故C正確;由于f2π3=cos2π3+π3=cos π=-1,為f(x)的最小值,故f(x)在π2,π上不單調,故D錯誤.
6.函數f(x)=sin2x-π4+1的最小正周期為 ;單調遞增區(qū)間是 ;對稱軸方程為 .
答案 π;kπ-π8,kπ+3π8(k∈Z);x=kπ2+3π8(k∈Z)
解析 根據函數性質知,最小正周期T=2π2=π.
令2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z),
解得kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z),
所以單調遞增區(qū)間是kπ-π8,kπ+3π8(k∈Z).
再令2x-π4=kπ+π2(k∈Z),
解得x=kπ2+3π8(k∈Z),
即對稱軸方程為x=kπ2+3π8(k∈Z).
7.(2018溫州高中模擬)設ω=N*且ω≤15,則使函數y=sin ωx在區(qū)間π4,π3上不單調的ω的個數是 .
答案 8
解析 當x∈π4,π3時,ωx∈ωπ4,ωπ3,
由題意知ωπ4
0)的最小正周期為1,則ω= ,函數f(x)在區(qū)間-16,14上的值域為 .
答案 π;[-2,3]
解析 f(x)=2sin2ωx+23sin ωxsinωx+π2-1=3sin(2ωx)-cos(2ωx)=2sin2ωx-π6,
∴2π2ω=1?ω=π,∴f(x)=2sin2πx-π6,
∴當x∈-16,14時,2πx-π6∈-π2,π3,
∴2sin2πx-π6∈[-2,3],
∴f(x)=2sin2πx-π6在-16,14上的值域為[-2,3].
9.(2019杭州學軍中學質檢)已知f(x)=sin 2x-3cos 2x,若對任意實數x∈0,π4,都有|f(x)|0,|φ|≤π2的最小正周期為π,且x=π12為函數f(x)的圖象的一條對稱軸.
(1)求ω和φ的值;
(2)設函數g(x)=f(x)+fx-π6,求g(x)的單調遞減區(qū)間.
解析 (1)因為f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2的最小正周期為π,所以ω=2,
又2x+φ=kπ+π2,k∈Z,
所以f(x)的圖象的對稱軸為x=kπ2+π4-φ2,k∈Z.
由π12=kπ2+π4-φ2,得φ=kπ+π3(k∈Z).
又|φ|≤π2,則φ=π3.
(2)函數g(x)=f(x)+fx-π6=sin2x+π3+sin 2x
=12sin 2x+32cos 2x+sin 2x=3sin2x+π6.
令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,k∈Z,
得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z,
所以g(x)的單調遞減區(qū)間為kπ+π6,kπ+2π3,k∈Z.
B組 提升題組
1.(2018武漢武昌調研)若f(x)=cos 2x+acosπ2+x在區(qū)間π6,π2上是增函數,則實數a的取值范圍是( )
A.[-2,+∞) B.(-2,+∞)
C.(-∞,-4) D.(-∞,-4]
答案 D f(x)=1-2sin2x-asin x,令sin x=t,t∈12,1,則g(t)=-2t2-at+1,t∈12,1,因為f(x)在π6,π2上單調遞增,所以-a4≥1,即a≤-4,故選D.
2.已知0sin(2-y)
C.sin(2-x2)1,又y<52,所以11.44>x2>2-y>-12>-π2,所以sin x2>sin(2-y),故B正確;對于C,當2-x2=π2,π20,|φ|<π2的圖象過點0,32,若f(x)≤fπ6對x∈R恒成立,則ω的值為 ;
當ω最小時,函數g(x)=fx-π3-22在區(qū)間[0,22]的零點個數為 .
答案 1+12k(k∈N);8
解析 由題意得φ=π3,且當x=π6時,函數f(x)取到最大值,故π6ω+π3=π2+2kπ,k∈Z,解得ω=1+12k,k∈Z,又因為ω>0,所以ω的最小值為1,因此,g(x)=fx-π3-22=sin x-22在區(qū)間[0,22]的零點個數是8.
4.(2017浙江鎮(zhèn)海中學第一學期期中)已知f(x)=cos x(λsin x-cos x)+cos2π2-x+1(λ>0)的最大值為3.
(1)求函數f(x)的圖象的對稱軸方程;
(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若f(C)=3,c=7,△ABC的面積為332,求△ABC的周長.
解析 (1)f(x)=λ2sin 2x-cos2x+sin2x+1=λ2sin 2x-cos 2x+1,
故f(x)=λ24+1sin(2x-φ)+1tanφ=2λ的最大值為3,
所以λ24+1=2,又λ>0,得λ=23.
從而f(x)=3sin 2x-cos 2x+1=2sin2x-π6+1,
令2x-π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π3,k∈Z.
故函數f(x)的圖象的對稱軸方程為x=kπ2+π3,k∈Z.
(2)由f(C)=3,得sin2C-π6=1,
又0
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