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實(shí)驗(yàn)三 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 04013222 張嘉俊 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? （1）掌握雙線形變換法及脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的具體設(shè)計(jì)方法及其原理，熟悉用雙線形變換法及脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)低通，高通和帶通IIR數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)編程。 （2）觀察雙線形變換法及脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的濾波器的頻域特性，了解雙線形變換法及脈沖響應(yīng)不變法的特點(diǎn)。 （3）熟悉巴特沃思濾波器，切比雪夫?yàn)V波器和橢圓濾波器的頻率特性。 （3）實(shí)驗(yàn)中有關(guān)變量的定義 （4）設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器一般包括以下兩步 a. 按照任務(wù)要求，確定濾波器性能指標(biāo) b. 用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求 （5）數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn) 對(duì)于IIR濾波器，其逼近問題就是尋找濾波器的各項(xiàng)系數(shù)，使其系統(tǒng)函數(shù)逼近一個(gè)所要求的特性。先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換成滿足約定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。 用雙線形變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的過(guò)程： a. 將設(shè)計(jì)性能指標(biāo)中的關(guān)鍵頻率點(diǎn)進(jìn)行“預(yù)畸” b. 利用“預(yù)畸”得到的頻率點(diǎn)設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器。 c. 雙線形變換，確定系統(tǒng)函數(shù) 二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 （1）fc=0.3kHz，δ=0.8dB，fr=0.2kHz，At=20dB，T=1ms；設(shè)計(jì)一切比雪夫高通濾波器，觀察其通帶損耗和阻帶衰減是否滿足要求。 源程序： clc,clear; wc=2000*tan(2*pi*300*0.001/2); wr=2000*tan(2*pi*200*0.001/2); [N,wn]=cheb1ord(wc,wr,0.8,20,s); [B,A]=cheby1(N,0.8,wn,high,s); [num,den]=bilinear(B,A,1000); [h,w]=freqz(num,den); f=w/(2*pi)*1000; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0,500,-80,10]); grid; xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Amplitude/dB); title(Chebyshev High-pass Filter); 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 分析與結(jié)論： 觀察圖形可知，δ趨近于0；f=200Hz時(shí)，幅度約為-30dB，滿足At=20dB的要求，故其通帶損耗和阻帶衰減滿足要求。 （2）fc=0.2kHz，δ=1dB，fr=0.3kHz，At=25dB，T=1ms；分別用脈沖響應(yīng)不變法及雙線形變換法設(shè)計(jì)一巴特沃思數(shù)字低通濾波器，觀察所設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線，記錄帶寬和衰減量，檢查是否滿足要求。比較這兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。 clc,clear; wc=2*pi*200; wr=2*pi*300; wc2=2*1000*tan((2*pi)*200*0.001/2); wr2=2*1000*tan((2*pi)*300*0.001/2); %脈沖響應(yīng)不變法 [N1,wn]=buttord(wc,wr,1,25,s); [B1,A1]=butter(N1,wn,s); [num1,den1]=impinvar(B1,A1,1000); [h1,w1]=freqz(num1,den1); %雙線性變換法 [N2,wn2]=buttord(wc2,wr2,1,25,s); [B2,A2]=butter(N2,wn2,s); [num2,den2]=bilinear(B2,A2,1000); [h2,w2]=freqz(num2,den2); f1=w1/pi*500; f2=w2/pi*500; plot(f1,20*log10(abs(h1)),-,f2,20*log10(abs(h2)),--); legend(脈沖響應(yīng)不變法,雙線性變換法); axis([0,500,-80,10]);grid;xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Amplitude/dB); title(Butterworth Low-pass Filter); 分析與結(jié)論： 通帶邊界和阻帶邊界分別為200Hz,300Hz,最小阻帶衰減量滿足25dB。 脈沖響應(yīng)不變法 優(yōu)點(diǎn)：模擬頻率到數(shù)字頻率的轉(zhuǎn)換是線性的，ω＝ΩΤ，時(shí)域特性逼近。 缺點(diǎn)：有頻譜周期延拓效應(yīng)，會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象，因此只適合帶限濾波器 雙線性變換法 優(yōu)點(diǎn)：通過(guò)嚴(yán)重非線性關(guān)系將S平面與Z平面一一對(duì)應(yīng)，不存在頻譜混迭效應(yīng)。 缺點(diǎn)：時(shí)域到頻域是非線性變換，數(shù)字濾波器的響應(yīng)有畸變，在高頻處有較大失真。 （3）利用雙線性變換法分別設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的巴特沃思濾波器，切比雪夫?yàn)V波器和橢圓濾波器，并作圖驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果：fc=1.2kHz，δ<=0.5dB，fr=2kHz，At>=40dB，fs=8kHz。比較這三種濾波器的階數(shù)。 源程序： clc,clear; wr=2*8000*tan(2*pi*2000/(2*8000)); wc=2*8000*tan(2*pi*1200/(2*8000)); %巴特沃思型 [N1 wn1]=buttord(wc,wr,0.5,40,s); [B1 A1]=butter(N1,wn1,low,s); [num1 den1]=bilinear(B1,A1,8000); [h1 w]=freqz(num1,den1); %切比雪夫型 [N2 wn2]=cheb1ord(wc,wr,0.5,40,s); [B2 A2]=cheby1(N2,0.5,wn2,low,s); [num2 den2]=bilinear(B2,A2,8000); [h2 w]=freqz(num2,den2); [N3 wn3]=ellipord(wc,wr,0.5,40,s); %橢圓型 [B3 A3]=ellip(N3,0.5,40,wn3,low,s); [num3 den3]=bilinear(B3,A3,8000); [h3 w]=freqz(num3,den3); f=w/(2*pi)*8000; plot(f,20*log10(abs(h1)),-,f,20*log10(abs(h2)),-.,f,20*log10(abs(h3)),--); legend(巴特沃思型,切比雪夫型,橢圓型); axis([0 4000 -100 10]);grid; xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Amplitude/dB); 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 分析與結(jié)論： 在題設(shè)指標(biāo)下：Butterworth型濾波器需要9階，Chebyshev型需要5階，橢圓型需要4階。 （4）分別用脈沖響應(yīng)不變法及雙線形變換法設(shè)計(jì)一巴特沃思數(shù)字帶通濾波器，已知fs=3kHz，其等效的模擬濾波器指標(biāo)為δ<3kHz，2kHz=5dB，f>=6kHz，At>=20dB，f<=1.5kHz。 源程序： clc,clear; %脈沖響應(yīng)不變法 w1=2*pi*2000; w2=2*pi*3000; wr1=2*pi*1500; wr2=2*pi*6000; [N1 wn1]=buttord([w1 w2],[wr1 wr2],3,20,s); [B A]=butter(N1,wn1,s); [num1 den1]=impinvar(B,A,30000); [h1 w]=freqz(num1,den1); %雙線性變換法 w1=2*30000*tan(2*pi*2000/(2*30000)); w2=2*30000*tan(2*pi*3000/(2*30000)); wr1=2*30000*tan(2*pi*1500/(2*30000)); wr2=2*30000*tan(2*pi*6000/(2*30000)); [N2 wn2]=buttord([w1 w2],[wr1 wr2],3,20,s); [B A]=butter(N2,wn2,s); [num2 den2]=bilinear(B,A,30000); [h2 w]=freqz(num2,den2); f=w/pi*15000; plot(f,20*log10(abs(h1)),-.,f,20*log10(abs(h2)),-); axis([0 15000 -80 10]);grid; xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Amplitude/dB); title(Butterworth Bandpass Filter); 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 分析與結(jié)論： 由上圖可以看出，用脈沖響應(yīng)不變法由于濾波器的混疊作用在過(guò)渡帶和阻帶都衰減的較雙線性變換法慢。 （5）利用雙線性變換法設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的切比雪夫型數(shù)字帶阻濾波器，并作圖驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果：當(dāng)1kHz<=f<=2kHz時(shí)，At>=18dB；當(dāng)f<=500Hz以及f>=3kHz 時(shí)，δ<=3dB ；采樣頻率fs=10kHz。 源程序： clc,clear; w1=2*10000*tan(2*pi*1000/(2*10000)); w2=2*10000*tan(2*pi*2000/(2*10000)); w3=2*10000*tan(2*pi*500/(2*10000)); w4=2*10000*tan(2*pi*3000/(2*10000)); [N wn]=cheb1ord([w3 w4],[w1 w2],3,18,s); [B A]=cheby1(N,3,wn,stop,s); [num den]=bilinear(B,A,10000); [h w]=freqz(num,den); f=w/pi*5000; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0 5000 -120 5]);grid; xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Amplitude/dB); title(Chebyshev Bandstop Filter); 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 三、思考題 （1）雙線性變換法中模擬頻率和數(shù)字頻率的關(guān)系是非線性的，在實(shí)驗(yàn)中你注意到這種非線性關(guān)系了嗎？從哪幾種數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線中可以觀察到這種非線性關(guān)系？ 答：從設(shè)計(jì)出的巴特沃斯低通及帶通數(shù)字濾波器可以看出，由于雙線性變換法把模擬頻率的無(wú)窮大映射到數(shù)字頻率的pi處，使得用雙線性變換法設(shè)計(jì)的濾波器在高頻部分衰減的更快。 （2）能否利用公式完成脈沖響應(yīng)不變法的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)？為什么？ 答：不能，H(s)未知，而Ha(s)已知。應(yīng)該由得到完成脈沖響應(yīng)不變法。