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習(xí)題 一 1．（1）因=，故由歸納法知 。 （2）直接計(jì)算得，故設(shè)，則，即只需算出即可。 （3）記J=，則 ， 。 2．設(shè) 不可能。 而由知所以所求矩陣為， 其中P為任意滿秩矩陣，而 。 注：無(wú)實(shí)解，的討論雷同。 3．設(shè)A為已給矩陣，由條件對(duì)任意n階方陣X有AX=XA，即把X看作個(gè)未知數(shù)時(shí)線 性方程AXXA=0有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，由線性方程組的理論知其系數(shù)矩陣為零矩陣， 通過(guò)直接檢驗(yàn)即發(fā)現(xiàn)A為純量矩陣。 4．分別對(duì)（A B）和作行（列）初等變換即可。 5．先證A或B是初等到陣時(shí)有，從而當(dāng)A或B為可逆陣時(shí)有。 考慮到初等變換A對(duì)B的階子行列式的影響及即可得前面提到的結(jié)果。 下設(shè)，（這里P，Q滿秩），則由前討論只需證下式成立即可： ， （1） r1）有重根不能對(duì)角化，故冪0陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形不能對(duì)角 化，那它自己當(dāng)然也不能對(duì)角化。 8．設(shè)為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 及 ，， 易算出，，而 。 9．特征值為，可對(duì)角化后計(jì)算。 10．記V的基為則 ， 可初等變換為，故初等因子為；以下略。 11．設(shè)A的標(biāo)準(zhǔn)形的Jordan塊為，則 ，而，故時(shí)對(duì)應(yīng)于每個(gè)特征值的Jordan塊僅有一個(gè)。 習(xí)題 六 1．（1）（2）略 （3）直接計(jì)算有 ， 由內(nèi)積的性質(zhì)得。 2． 設(shè)，（U為酉矩陣），故，所以 ， 3．（1）由及即得， （2）由第2題得； （3），故由知必為1或0 4．（1）（2）略 （3），由 （4），又為實(shí)數(shù)，故為，所以 5． 為AB的特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為X，則；由A，B正定及正定和（A滿秩）知 6． 由紹爾定理存在酉陣U使得， 故 ，故 7．設(shè)，U為正交陣， 令，則 ，其中 8．設(shè)，而 AB正規(guī)正規(guī)正規(guī)并且，故不妨設(shè) ， 其中互不相同，則由AB=BA知 （當(dāng)時(shí)），即； 易證為正規(guī)陣，故存在酉陣使得 為對(duì)角陣，令，則 為對(duì)角陣，故AB為正規(guī)陣。 9．略 10．，故 由此即可算出。 11．特征多項(xiàng)式相同特征值及其重?cái)?shù)都相同兩個(gè)矩陣與同一對(duì)角陣相似。 12．計(jì)算出，特征值為，故 1所對(duì)應(yīng)的特征向量為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)角由決定。 13．特征值為，求出特征向量即可。 14． 對(duì)， 注意到上式已用到。 15．兩者均為正規(guī)陣，故求出特征向量并標(biāo)準(zhǔn)化即可。 習(xí)題 七 1． 略；2。略 3．（1）由得 （2）由得 4．見(jiàn)習(xí)題六第6題的證明，注意被酉陣乘后不改變這兩種范數(shù)。 5．略； 6．不一定，反例略； 7．由得； 8．可簡(jiǎn)單計(jì)算出最小多項(xiàng)式為，且函數(shù)在A的譜上的數(shù)值為，故與多項(xiàng)式2x在A的譜上的數(shù)值相同，所以f(A)=2A 9.易計(jì)算出其特征值為0，0.2，故。 10．，后略； 11． 后略； 12．特征多項(xiàng)式為 或 或，故尋找二次多項(xiàng)式使得 或 或； 13．（1）， 后略； 14．略 15．略 16．（1）設(shè)，故 ，注意到A與有相同的特征值及其重?cái)?shù)，故 ，即，所以 。 （2）的證明類(lèi)似，略。