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第一章 質(zhì)點的運動 1-1　已知質(zhì)點的運動方程為：，。式中x、y的單位為m，t的單位為ｓ。試求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向。 分析　由運動方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運動合成算出速度和加速度的大小和方向． 解　(1) 速度的分量式為 當(dāng)t ＝0 時, vox ＝-10 mｓ-1 , voy ＝15 mｓ-1 ,則初速度大小為 設(shè)vo與x 軸的夾角為α,則 α＝12341′ (2) 加速度的分量式為 , 則加速度的大小為 設(shè)a 與x 軸的夾角為β,則 β＝-3341′(或32619′) 1-2 一石子從空中由靜止下落，由于空氣阻力，石子并非作自由落體運動。現(xiàn)測得其加速度a＝A-Bv，式中A、B 為正恒量，求石子下落的速度和運動方程。 分析　本題亦屬于運動學(xué)第二類問題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),因此,需將式dv ＝a(v)dt 分離變量為后再兩邊積分． 解選取石子下落方向為y 軸正向,下落起點為坐標(biāo)原點． (1) 由題 (1) 用分離變量法把式(1)改寫為 (2) 將式(2)兩邊積分并考慮初始條件,有 得石子速度 由此可知當(dāng),t→∞時,為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度． (2) 再由并考慮初始條件有 得石子運動方程 1-3 一個正在沿直線行駛的汽船，關(guān)閉發(fā)動機后，由于阻力得到一個與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度，即a= - kv2，k為常數(shù)。在關(guān)閉發(fā)動機后，試證： （1）船在t時刻的速度大小為 ； （2）在時間t內(nèi)，船行駛的距離為 ； （3）船在行駛距離x時的速率為v=v0e-kx。 [證明]（1）分離變數(shù)得， 故 ， 可得： ． （2）公式可化為， 由于v = dx/dt， 所以： 積分 ． 因此 ． (3 ) 要求 v( x)，可由 ，有 積分得 證畢． H h v0 圖1-18 習(xí)題1-4圖 1－4行人身高為h，若人以勻速v0用繩拉一小車行走，而小車放在距地面高為H的光滑平臺上，求小車移動的速度和加速度。 解：人前進(jìn)的速度v0，則繩子前進(jìn)的速度大小等于車移動的速度大小， 所以小車移動的速度 小車移動的加速度 1-5 質(zhì)點沿軸運動，其加速度和位置的關(guān)系為 ，a 的單位為 m/s2，x 的單位為 m。質(zhì)點在x=0處，速度為10m/s，試求質(zhì)點在任何坐標(biāo)處的速度值。 解： ∵ 分離變量： 兩邊積分得 由題知，時，,∴ ∴ 1-6 如圖所示，一彈性球由靜止開始自由下落高度 h 后落在一傾角的斜面上，與斜面發(fā)生完全彈性碰撞后作拋射體運動，問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點多遠(yuǎn)。 解：小球落地時速度為 建立直角坐標(biāo)系，以小球第一次落地點為坐標(biāo)原點如圖 （1） （2） 第二次落地時 所以 1－7一人扔石頭的最大出手速率為v＝25m/s，他能擊中一個與他的手水平距離L=50m，高h(yuǎn)=13m的目標(biāo)嗎？在此距離上他能擊中的最大高度是多少？ 解：由運動方程,消去t得軌跡方程 以x＝05.0m ，v＝25ms－1代入后得 取g＝10.0，則當(dāng)時，〈13 所以他不能射中，能射中得最大高度為 1-8 一質(zhì)點沿半徑為R 的圓周按規(guī)律運動，v0 、b 都是常量。(1) 求t 時刻質(zhì)點的總加速度；(2) t 為何值時總加速度在數(shù)值上等于b？(3) 當(dāng)加速度達(dá)到b 時，質(zhì)點已沿圓周運行了多少圈？ 分析　在自然坐標(biāo)中,s 表示圓周上從某一點開始的曲線坐標(biāo)．由給定的運動方程s ＝s(t),對時間t 求一階、二階導(dǎo)數(shù),即是沿曲線運動的速度v 和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量為an＝v2 /R．這樣,總加速度為a ＝aｔeｔ＋anen．至于質(zhì)點在t 時間內(nèi)通過的路程,即為曲線坐標(biāo)的改變量Δs＝st -s0．因圓周長為2πR,質(zhì)點所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求得． 解　(1) 質(zhì)點作圓周運動的速率為 其加速度的切向分量和法向分量分別為 , 故加速度的大小為 其方向與切線之間的夾角為 (2) 要使｜a｜＝b,由可得 (3) 從t＝0 開始到t＝v0 /b 時,質(zhì)點經(jīng)過的路程為 因此質(zhì)點運行的圈數(shù)為 1-9 已知質(zhì)點的運動方程為： ，式中為正的常量。求：（1）質(zhì)點運動的軌道方程；（2）質(zhì)點的速度大小；（3）質(zhì)點的加速度大小。 解： （1）軌道方程為 這是一條空間螺旋線。 在O平面上的投影為圓心在原點，半徑為R的圓，螺距為h （2） （3） ， 1－10飛機以100ms-1的速度沿水平直線飛行，在離地面高為100m時，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標(biāo)處。問：（1）此時目標(biāo)在飛機下方前多遠(yuǎn)？（2）投放物品時，駕駛員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度？（3）物品投出2s后，它的法向加速度和切向加速度各為多少？ 解： （1） （2） （3） 1－11一無風(fēng)的下雨天，一列火車以v1=20m/s的速度勻速前進(jìn)，在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75角下降，求雨滴下落的速度v2。（設(shè)下降的雨滴作勻速運動） 解：以地面為參考系，火車相對地面運動的速度為V1,雨滴相對地面豎直下落的速度為V2，旅客看到雨滴下落速度V2’為相對速度，它們之間的關(guān)系為 1－12升降機以加速度a0=1.22ms-2上升，當(dāng)上升速度為2.44ms-1時，有一螺帽自升降機的天花板脫落，天花板與升降機的底面相距2.74m，試求：（1）螺帽從天花板落到底面所需時間；（2）螺帽相對于升降機外固定柱子的下降距離。解：（1）以升降機為參考系，此時，螺絲相對它的加速度為a’=g+a,螺絲落到底面時，有 （2）由于升降機在t時間內(nèi)的高度為 則 1－13飛機A相對地面以vA =1000km/h的速率向南飛行，另一飛機B相對地面以vB =800 km/h的速率向東偏南30方向飛行。求飛機A相對飛機B的速度。 解： 1－14 一人能在靜水中以1.10ms-1的速度劃船前進(jìn)，今欲橫渡一寬為1000m、水流速度為0.55ms－1的大河。（1），那么應(yīng)如何確定劃行方向？到達(dá)正對岸需多少時間？（2）如果希望用最短的時間過河，應(yīng)如何確定劃行方向？船到達(dá)對岸的位置在什么地方？ 解：如圖（1）若要從出發(fā)點橫渡該河而到達(dá)正對岸的一點，則劃行速度和水流速度u的合速度的方向正對著岸，設(shè)劃行速度合速度的夾角為α 如圖（2）用最短的時間過河，則劃行速度的方向正對著岸　 1－15設(shè)有一架飛機從A處向東飛到B處，然后又向西飛回到A處，飛機相對空氣的速率為，而空氣相對地面的速率為u，A、B間的距離為l。 （1）假定空氣是靜止的（即u=0），求飛機來回飛行的時間； （2）假定空氣的速度向東，求飛機來回飛行的時間； （3）假定空氣的速度向北，求飛機來回飛行的時間。 解：由相對速度的矢量關(guān)系有 （1）空氣時靜止的，即u＝0，則往返時，飛機相對地面的飛行速度就等于飛機相對空氣的速度v’（圖（1）），故飛機來回飛行的時間 (2) 空氣的速度向東時，當(dāng)飛機向東飛行時，風(fēng)速與飛機相對空氣的速度同向；返回時，兩者剛好相反（圖（2）），故飛機來回飛行的時間為 (3) 空氣的速度向北時，飛機相對地面的飛行速度的大小由可得為，故飛機來回飛行的時間為 α v u v’ (1) (2) v’ u 第二章 質(zhì)點動力學(xué) A B 習(xí)題2-1圖 aA mg TA TB aB mg 2－1如本題圖，A、B兩物體質(zhì)量均為m，用質(zhì)量不計的滑輪和細(xì)繩連接，并不計摩擦，則A和B的加速度大小各為多少 。 解：如圖由受力分析得 習(xí)題2－2圖 2－2如本題圖所示，已知兩物體A、B的質(zhì)量均為m=3.0kg，物體A以加速度a=1.0m/s2 運動，求物體B與桌面間的摩擦力。（滑輪與連接繩的質(zhì)量不計） 解：分別對物體和滑輪受力分析（如圖），由牛頓定律和動力學(xué)方程得， 2-3 如圖所示，細(xì)線不可伸長，細(xì)線、定滑輪、動滑輪的質(zhì)量均不計已知。求各物體運動的加速度及各段細(xì)線中的張力。 習(xí)題2-3 圖 解：設(shè)m1下落的加速度為a1，因而動滑輪也以a1上升。再設(shè)m2相對動滑輪以加速度a′下落，m3相對動滑輪以加速度a′上升，二者相對地面的加速度分別為：（下落）和（上升），設(shè)作用在m1上的線中張力為T1，作用在m2和m3上的線中張力為T2。列出方程組如下： 代入，，可求出： ，，，，， 2－4光滑的水平面上放置一半徑為R的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運動，其摩擦系數(shù)為μ。物體的初速率為v0，求：（1）t時刻物體的速率；（2）當(dāng)物體速率從v0減少到v0/2時，物體所經(jīng)歷的時間及經(jīng)過的路程。 解：（1）設(shè)物體質(zhì)量為m，取圖示的自然坐標(biāo)系，由牛頓定律得， （2） 當(dāng)物體速率從v0減少到v0/2時，由可得物體所經(jīng)歷的時間 經(jīng)過的路程 2－5從實驗知道，當(dāng)物體速度不太大時，可以認(rèn)為空氣的阻力正比于物體的瞬時速度，設(shè)其比例常數(shù)為k。將質(zhì)量為m的物體以豎直向上的初速度v0拋出。 （1）試證明物體的速度為 (2)證明物體將達(dá)到的最大高度為 (3)證明到達(dá)最大高度的時間為 證明：由牛頓定律可得 2－6 質(zhì)量為m的跳水運動員，從距水面距離為h的高臺上由靜止跳下落入水中。把跳水運動員視為質(zhì)點，并略去空氣阻力。運動員入水后垂直下沉，水對其阻力為－bv2，其中b為一常量。若以水面上一點為坐標(biāo)原點O，豎直向下為Oy軸，求：（1）運動員在水中的速率v與y的函數(shù)關(guān)系；（2）跳水運動員在水中下沉多少距離才能使其速率v減少到落水速率v0的1/10？（假定跳水運動員在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等） 解：運動員入水可視為自由落體運動，所以入水時的速度為 ，入水后如圖由牛頓定律的 y f＝－kv mg v 2－7一物體自地球表面以速率v0豎直上拋。假定空氣對物體阻力的值為f＝－kmv2，其中k為常量，m為物體質(zhì)量。試求：（1）該物體能上升的高度；（2）物體返回地面時速度的值。 解：分別對物體上拋和下落時作受力分析（如圖）， 2-8 質(zhì)量為的子彈以速度v0水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力f = - kv，為常數(shù)，求：(1) 子彈射入沙土后，速度隨時間變化的函數(shù)式；(2) 子彈進(jìn)入沙土的最大深度。 解：（1）由題意和牛頓第二定律可得：， 分離變量，可得： 兩邊同時積分，所以： （2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是v=0的時候子彈的位移，則： 由 可推出：，而這個式子兩邊積分就可以得到位移： 。 2-9 已知一質(zhì)量為的質(zhì)點在軸上運動，質(zhì)點只受到指向原點的力，是比例常數(shù)。設(shè)質(zhì)點在時的速度為零，求質(zhì)點在處的速度的大小。 解：由題意和牛頓第二定律可得： 再采取分離變量法可得： ， 兩邊同時取積分，則： 所以： 2-10 一顆子彈在槍筒里前進(jìn)時所受的合力大小為，子彈從槍口射出時的速率為。設(shè)子彈離開槍口處合力剛好為零。求：（1）子彈走完槍筒全長所用的時間；（2）子彈在槍筒中所受力的沖量；（3）子彈的質(zhì)量。 解：（1）由和子彈離開槍口處合力剛好為零，則可以得到： 算出t=0.003s。 （2）由沖量定義： （3）由動量定理： 2-11 高空作業(yè)時系安全帶是非常必要的。假如一質(zhì)量為51.0 kg 的人，在操作時不慎從高空豎直跌落下來，由于安全帶的保護，最終使他被懸掛起來。已知此時人離原處的距離為2.0 m ，安全帶彈性緩沖作用時間為0.50 s。求安全帶對人的平均沖力。 分析　從人受力的情況來看,可分兩個階段：在開始下落的過程中,只受重力作用,人體可看成是作自由落體運動；在安全帶保護的緩沖過程中,則人體同時受重力和安全帶沖力的作用,其合力是一變力,且作用時間很短．為求安全帶的沖力,可以從緩沖時間內(nèi),人體運動狀態(tài)(動量)的改變來分析,即運用動量定理來討論．事實上,動量定理也可應(yīng)用于整個過程．但是,這時必須分清重力和安全帶沖力作用的時間是不同的；而在過程的初態(tài)和末態(tài),人體的速度均為零．這樣,運用動量定理仍可得到相同的結(jié)果． 解　以人為研究對象,按分析中的兩個階段進(jìn)行討論．在自由落體運動過程中,人跌落至2 m 處時的速度為 (1) 在緩沖過程中,人受重力和安全帶沖力的作用,根據(jù)動量定理,有 (2) 由式(1)、(2)可得安全帶對人的平均沖力大小為 2－12長為60cm的繩子懸掛在天花板上，下方系一質(zhì)量為1kg的小球，已知繩子能承受的最大張力為20N。試求要多大的水平?jīng)_量作用在原來靜止的小球上才能將繩子打斷？ 解：由動量定理得， 如圖受力分析并由牛頓定律得， 2－13一作斜拋運動的物體，在最高點炸裂為質(zhì)量相等的兩塊，最高點距離地面為19.6m。爆炸1.0s后，第一塊落到爆炸點正下方的地面上，此處距拋出點的水平距離為100m。問第二塊落在距拋出點多遠(yuǎn)的地面上？(設(shè)空氣的阻力不計) 解：取如圖示坐標(biāo)系，根據(jù)拋體運動規(guī)律，爆炸前，物體在最高點得速度得水平分量為 2－14質(zhì)量為M的人手里拿著一個質(zhì)量為m的物體，此人用與水平面成θ角的速率v0向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高點時，他將物體以相對于人為u的水平速率向后拋出。問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？（假設(shè)人可視為質(zhì)點）（自己算一遍） 解：取如圖所示坐標(biāo)，把人和物視為一系統(tǒng)，當(dāng)人跳躍到最高點處，在向左拋物得過程中，滿足動量守恒，故有 2－15鐵路上有一靜止的平板車，其質(zhì)量為M，設(shè)平板車可無摩擦地在水平軌道上運動。現(xiàn)有N個人從平板車的后端跳下，每個人的質(zhì)量均為m，相對平板車的速度均為u。問：在下列兩種情況下，（1）N個人同時跳離；（2）一個人、一個人地跳離，平板車的末速是多少?所得的結(jié)果為何不同，其物理原因是什么?（典型） 解：取平板車及N個人組成的系統(tǒng)，以地面為參考系，平板車的運動方向為正方向，系統(tǒng)在該方向上滿足動量守恒。 考慮N個人同時跳車的情況，設(shè)跳車后平板車的速度為v，則由動量守恒定律得 0＝Mv+Nm（v－u） v＝Nmu/(Nm+M) (1) 又考慮N個人一個接一個的跳車的情況。設(shè)當(dāng)平板車上商有n個人時的速度為vn，跳下一個人后的車速為vn－1，在該次跳車的過程中，根據(jù)動量守恒有 （M+nm）vn=M vn－1+(n-1)m vn－1+m(vn－1-u) (2) 由式（2）得遞推公式 vn－1=vn+mu/(M+nm) (3) 當(dāng)車上有N個人得時（即N＝n），vN＝0；當(dāng)車上N個人完全跳完時，車速為v0， 根據(jù)式（3）有， vN-1=0+mu/(Nm+M) vN-2= vN-1+mu/((N-1)m+M) …………. v0= v1+mu/(M+nm) 將上述各等式的兩側(cè)分別相加，整理后得， 2-16 一物體在介質(zhì)中按規(guī)律x ＝ct3 作直線運動，c為一常量。設(shè)介質(zhì)對物體的阻力正比于速度的平方：，試求物體由x0 ＝0 運動到x ＝l 時，阻力所作的功。 分析　本題是一維變力作功問題,仍需按功的定義式來求解．關(guān)鍵在于尋找力函數(shù)F ＝F(x)．根據(jù)運動學(xué)關(guān)系,可將已知力與速度的函數(shù)關(guān)系F(v) ＝kv2 變換到F(t),進(jìn)一步按x ＝ct3 的關(guān)系把F(t)轉(zhuǎn)換為F(x),這樣,就可按功的定義式求解． 解　由運動學(xué)方程x ＝ct3 ,可得物體的速度 按題意及上述關(guān)系,物體所受阻力的大小為 則阻力的功為 2－17一人從10m深的井中提水，起始桶中裝有10kg的水，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水。求水桶被勻速地從井中提到井口，人所作的功。（典型） 解：水桶在勻速上提的過程中，加速度為0，拉力和重力平衡，在圖示坐標(biāo)下，水桶重力隨位置的變化關(guān)系為 G＝mg－αgy 其中α＝0.2kg/m,人對水桶的拉力的功為 2－18如本題圖所示，A和B兩塊板用一輕彈簧連接起來，它們的質(zhì)量分別為m1和m2。問在A板上需加多大的壓力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起來時B稍被提起。（設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k） 解：選取如圖所示坐標(biāo)系，取原點處為重力勢能和彈性勢能零點，作各種狀態(tài)下物體的受力圖。對A板而言，當(dāng)施以外力F時，根據(jù)受力平衡有 習(xí)題2－18圖 2－19如本題圖所示，質(zhì)量為m、速度為v的鋼球，射向質(zhì)量為M的靶，靶中心有一小孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為k的彈簧，此靶最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，但可在水平面上作無摩擦滑動，求子彈射入靶內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離。 解：設(shè)彈簧得最大壓縮量為x0。小球與靶共同運動得速度為v1。由動量守恒定律，有 習(xí)題2－19圖 習(xí)題2－20圖 2－20以質(zhì)量為m的彈丸，穿過如本題圖所示的擺錘后，速率由v減少到v/2。已知擺錘的質(zhì)量為M，擺線長度為l，如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個完全的圓周運動，彈丸的速度的最小值應(yīng)為多少？ 解： 2－21如本題圖所示，一質(zhì)量為M的物塊放置在斜面的最底端A處，斜面的傾角為α，高度為h，物塊與斜面的滑動摩擦因數(shù)為μ，今有一質(zhì)量為m的子彈以速度v0 沿水平方向射入物塊并留在其中，且使物塊沿斜面向上滑動，求物塊滑出頂端時的速度大小。 解： 圖2-40 習(xí)題2-22 圖 2-22 如圖2-40所示，在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連著物體、，它們質(zhì)量分別為和，彈簧勁度系數(shù)為，原長為。用力推，使彈簧壓縮，然后釋放。 求：（1）當(dāng)與開始分離時，它們的位置和速度；（2）分離之后，還能往前移動多遠(yuǎn)? 解：（1）當(dāng)A和B開始分離時，兩者具有相同的速度，根據(jù)能量守恒，可得到：，所以：; （2）分離之后，A的動能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢能，所以： ，則： 圖2-41 習(xí)題2-23 圖 2-23 如圖2-41所示，光滑斜面與水平面的夾角為a=30，輕質(zhì)彈簧上端固定。今在彈簧的另一端輕輕地掛上質(zhì)量為M= 1.0kg的木塊，木塊沿斜面從靜止開始向下滑動。當(dāng)木塊向下滑x=30cm時，恰好有一質(zhì)量m=0.01kg的子彈，沿水平方向以速度射中木塊并陷在其中。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為。求子彈打入木塊后它們的共同速度。 解：由機械能守恒條件可得到碰撞前木快的速度，碰撞過程中子彈和木快沿斜面方向動量守恒，（瞬間）可得： (碰撞前木快的速度) 習(xí)題2－21圖 2－24 二質(zhì)量相同的小球，一個靜止，另一個以速度0與靜止的小球作對心碰撞，求碰撞后兩球的速度。（1）假設(shè)碰撞是完全非彈性的；（2）假設(shè)碰撞是完全彈性的；（3）假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù)。 解：由碰撞過程動量守恒以及附加條件，可得 （1）假設(shè)碰撞是完全非彈性的，即兩者將以共同的速度前行： 所以： （2）假設(shè)碰撞是完全彈性的， 兩球交換速度， （3）假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù)，也就是 所以： ， 習(xí)題2－25圖 2－25如本題圖所示，一質(zhì)量為m的鋼球，系在一長為l的繩一端，繩另一端固定，現(xiàn)將球由水平位置靜止下擺，當(dāng)球到達(dá)最低點時與質(zhì)量為M，靜止于水平面上的鋼塊發(fā)生彈性碰撞，求碰撞后m和M的速率。 圖2-43 習(xí)題2-26 圖 2-26 如圖2-43所示，兩個質(zhì)量分別為m1和m2的木塊A、B，用一勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接，放在光滑的水平面上。A緊靠墻。今用力推B塊，使彈簧壓縮x0然后釋放。（已知）求：（1）釋放后兩滑塊速度相等時的速度大小；（2）彈簧的最大伸長量。 解：分析題意，可知在彈簧由壓縮狀態(tài)回到原長時，是彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)換為B木塊的動能，然后B帶動A一起運動，此時動量守恒，可得到兩者相同的速度v ，并且此時就是彈簧伸長最大的位置，由機械能守恒可算出其量值。 所以 （2） 那么計算可得： 2－27如本題圖示，繩上掛有質(zhì)量相等的兩個小球，兩球碰撞時的恢復(fù)系數(shù)e=0.5。球A由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，撞擊球B，剛好使球B到達(dá)繩成水平的位置，求證球A釋放前的張角q 應(yīng)滿足cosq = 1/9。 B q 2L 習(xí)題2－27圖 A B C L 證明：設(shè)球A到達(dá)最低點的速率為v，根據(jù)機械能守恒有 圖2-45 習(xí)題2-28 圖 2-28 如圖2-45所示，一質(zhì)量為m，半徑為R的球殼，靜止在光滑水平面上，在球殼內(nèi)有另一質(zhì)量也為m，半徑為r的小球，初始時小球靜止在圖示水平位置上。放手后小球沿大球殼內(nèi)往下滾，同時大球殼也會在水平面上運動。當(dāng)它們再次靜止在水平面上時，問大球殼在水平面上相對初始時刻的位移大小是多少？ 解：系統(tǒng)在水平方向上不受外力，因而系統(tǒng)質(zhì)心的水平位置始終不變。如圖所示，初始時，系統(tǒng)的質(zhì)心到球心O的距離為(從質(zhì)心公式算) 小球最終將靜止于大球殼的最下方，而系統(tǒng)質(zhì)心的水平位置始終不變，因而大球殼在水平面上相對初始時刻的位移大小(另外從質(zhì)心公式算) 圖2-46 習(xí)題2-29 圖 2-29 如圖2-46所示，從坐標(biāo)原點以v0的初速度發(fā)射一發(fā)炮彈，發(fā)射傾角q = 45。當(dāng)炮彈到達(dá) 處時，突然爆炸分成質(zhì)量相同的兩塊，其中一塊豎直下落，求另一塊落地時的位置x2是多少？ 解：炮彈爆炸后其質(zhì)心仍按原拋物線軌道運動，因而落地后的質(zhì)心坐標(biāo)為 由式，且 ，有 第三章 剛體力學(xué) 3－1　一通風(fēng)機的轉(zhuǎn)動部分以初角速度ω0繞其軸轉(zhuǎn)動，空氣的阻力矩與角速度成正比，比例系數(shù)C為一常量。若轉(zhuǎn)動部分對其軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，問：（1）經(jīng)過多少時間后其轉(zhuǎn)動角速度減少為初角速度的一半？（2）在此時間內(nèi)共轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？ 解：（1）由題可知：阻力矩， 又因為轉(zhuǎn)動定理 當(dāng)時，。 圖3-28 習(xí)題3-3圖 （2）角位移， 所以，此時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為。 3－2　質(zhì)量面密度為的均勻矩形板，試證其對與板面垂直的，通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為。其中a，b為矩形板的長，寬。 證明一：如圖，在板上取一質(zhì)元，對與板面垂直的、通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為 證明二：如圖，在板上取一細(xì)棒，對通過細(xì)棒中心與棒垂直的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量為，根據(jù)平行軸定理，對與板面垂直的、通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為 T (這道題以右邊為坐標(biāo)原點，左為正方向) 3-3 如圖3-28所示，一輕繩跨過兩個質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為和的重物，繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸光滑，求重物的加速度和各段繩中的張力。（現(xiàn)在滑輪質(zhì)量要計，所以繩子拉力會不等） 解：受力分析如圖　　　　　 　 　　　?。?） 　　　　　（2） 　　　　（3） 　　　　?。?） （對于質(zhì)量非常小的物體，轉(zhuǎn)動慣量為零，才有可能T=T1） ， (5) 聯(lián)立求出 ，　，， 圖3-29 習(xí)題3-4圖 3-4 如圖3-29所示，一均勻細(xì)桿長為L，質(zhì)量為，平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上，設(shè)開始時桿以角速度繞過細(xì)桿中心的豎直軸轉(zhuǎn)動，試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多長時間桿才會停止轉(zhuǎn)動。 （1） 解：設(shè)桿的線，在桿上取一小質(zhì)元　　　 　　　　 考慮對稱 （2） 根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 　　　　 　　　　 　　　　所以　 3－5　質(zhì)量為m1和m2的兩物體A、B分別懸掛在如本題圖所示的組合輪兩端。設(shè)兩輪的半徑分別為R和r，兩輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為J1和J2，輪與軸承間的摩擦力略去不計，繩的質(zhì)量也略去不計。試求兩物體的加速度和繩中的張力。 解：分別對兩物體做如圖的受力分析。根據(jù)牛頓定律有 又因為組合輪的轉(zhuǎn)動慣量是兩輪慣量之和，根據(jù)轉(zhuǎn)動定理有（從積分定義式即可算出） 而且，，，（列1.牛二2.轉(zhuǎn)動定律3.約束方程即可求解） 3－6　如本題圖所示裝置，定滑輪的半徑為r，繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，滑輪兩邊分別懸掛質(zhì)量為m1和m2的物體A、B。A置于傾角為θ的斜面上，它和斜面間的摩擦因數(shù)為μ。若B向下作加速運動時，求：（1）其下落加速度的大?。唬?）滑輪兩邊繩子的張力。（設(shè)繩的質(zhì)量及伸長均不計，繩與滑輪間無滑動，滑輪軸光滑） 解:A、B物體的受力分析如圖。根據(jù)牛頓定律有 對滑輪而言，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律有 由于繩子不可伸長、繩與輪之間無滑動，則 圖3-32 習(xí)題3-7圖 3-7 如圖3-32所示，定滑輪轉(zhuǎn)動慣量為 J，半徑為 r；物體的質(zhì)量為 m，用一細(xì)繩與勁度系數(shù)為 k 的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計。當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長時使物體由靜止開始下落。求：（1）物體下落的最大距離；(2) 物體的速度達(dá)最大值時的位置。 解：（1）機械能守恒?！≡O(shè)下落最大距離為 　　　　　 （2）（物體的重力勢能轉(zhuǎn)化為這些能） 　　　 若速度達(dá)最大值，， 圖3-36 習(xí)題3-11圖 3-8 如圖3-33所示，一輕彈簧與一均勻細(xì)棒連接，裝置如圖所示，已知彈簧的勁度系數(shù)，當(dāng)時彈簧無形變，細(xì)棒的質(zhì)量，求在的位置上細(xì)棒至少應(yīng)具有多大的角速度，才能轉(zhuǎn)動到水平位置？ 解：機械能守恒　　　　　　　　　　　　　　　　 圖3-33 習(xí)題3-8圖 　　?。ㄒ婚_始的機械能=后面的機械能，水平臨界狀態(tài)速度為零，沒有轉(zhuǎn)動能） 據(jù)幾何關(guān)系 圖3-34 習(xí)題3-9圖 3-9 如圖3-34所示，一質(zhì)量為、半徑為的圓盤，可繞過點的水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動。若盤從圖中實線位置開始由靜止下落，略去軸承的摩擦，求：（1）盤轉(zhuǎn)到圖中虛線所示的鉛直位置時，質(zhì)心C和盤緣A點的速率；（2）在虛線位置軸對圓盤的作用力。 解：在虛線位置的C點設(shè)為重力勢能的零點，下降過程機械能守恒圖3-34 習(xí)題3-9圖 （平行軸定理：圓心到O） 方向向上 圖3-35 習(xí)題3-10圖 3-10 如圖3-35所示，一質(zhì)量為的質(zhì)點以v的速度作勻速直線運動。試證明：從直線外任意一點O到質(zhì)點的矢量r在相同的時間內(nèi)掃過的面積相同。 解：質(zhì)點不受任何力作用才會作勻速直線運動，因而它對O點的力矩也為零，即對O點的角動量守恒 常量。另一方面，矢量r在單位時間內(nèi)掃過的面積：=常量。 3-11 如圖3-36所示，質(zhì)量的衛(wèi)星開始時繞地球作半徑為的圓周運動。由于某種原因衛(wèi)星的運動方向突然改變了q =30角，而速率不變，此后衛(wèi)星繞地球作橢圓運動。求（1）衛(wèi)星繞地球作圓周運動時的速率v；（2）衛(wèi)星繞地球橢圓運動時，距地心的最遠(yuǎn)和最近距離和。 解：（1）由 ，得 （2） 衛(wèi)星在運動過程中對地心的角動量守恒和機械能守恒： (rF=0，角動量守恒) （橢圓的三個點，突變前不守恒） （突變后橢圓的三個點） 其中，、分別是衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點與近地點時的速率，可求出 ， L o M m v 習(xí)題3-7圖 3－12　如本題圖所示，質(zhì)量為M長為L的均勻直桿可繞過端點o的水平軸轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為m的質(zhì)點以水平速度v與靜止桿的下端發(fā)生碰撞，如圖示，若M=6m，求質(zhì)點與桿分別作完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞后桿的角速度大小。 解：（1）質(zhì)點與桿完全彈性碰撞，則能量守恒 又因為角動量守恒 （碰撞的瞬間角動量守恒） 且 ， (2) 完全非彈性碰撞，角動量守恒 又 習(xí)題3－13圖 3－13如本題圖所示，A與B兩飛輪的軸桿由摩擦嚙合器連接，A輪的轉(zhuǎn)動慣量J1=10.0kgm2，開始時B輪靜止，A輪以n1=600r/min的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動，然后使A與B連接，因而B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于n=200r/min為止。求：（1）B輪的轉(zhuǎn)動慣量；（2）在嚙合過程中損失的機械能。 解：（1）取兩飛輪為系統(tǒng)，嚙合過程中系統(tǒng)角動量守恒，即（沒有外力） 所以B輪的轉(zhuǎn)動慣量為 （2）嚙合過程中系統(tǒng)機械能變化 圖3-39 習(xí)題3-14圖 圖3-39 習(xí)題3-14圖 3-14 如圖3-39所示，長為的輕桿（質(zhì)量不計），兩端各固定質(zhì)量分別為和的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為和。輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為的小球，以水平速度v0與桿下端小球作對心碰撞，碰后以的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。 解：根據(jù)角動量守衡 有　　　 　 圖3-40 習(xí)題3-15圖 3-15 如圖3-40所示，有一空心圓環(huán)可繞豎直軸OO′自由轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為J0 ，環(huán)的半徑為R，初始的角速度為ω0 ，今有一質(zhì)量為m 的小球靜止在環(huán)內(nèi)A 點，由于微小擾動使小球向下滑動。問小球到達(dá)B、C點時，環(huán)的角速度與小球相對于環(huán)的速度各為多少？ (假設(shè)環(huán)內(nèi)壁光滑。) 圖3-40 習(xí)題3-15圖 解: (1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒，當(dāng)小球滑至點時，有（球看成質(zhì)心J=mR2） ① 該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動過程中，機械能守恒，設(shè)小球相對于圓環(huán)的速率為，以點為重力勢能零點，則有 ② 聯(lián)立①、②兩式，得 (2)當(dāng)小球滑至點時，∵ ∴ 故由機械能守恒，有(A、C兩點沒有轉(zhuǎn)動，所以轉(zhuǎn)動慣量回到初始狀態(tài)，) ∴ 3－16一長為2L的均勻細(xì)桿，一端靠墻上，另一端放在的水平地板上，如本題圖所示，所有的摩擦均可略去不計，開始時細(xì)桿靜止并與地板成θ0角，當(dāng)松開細(xì)桿后，細(xì)桿開始滑下。問細(xì)桿脫離墻壁時，細(xì)桿與地面的夾角θ為多大？ 解：如圖，以初始細(xì)桿的質(zhì)心為原點建立坐標(biāo)系，則任意時刻質(zhì)心坐標(biāo)為 （1） （2） 取初始位置的勢能為零，則根據(jù)機械能守恒有 （3）（掉下了y，轉(zhuǎn)化為.......） 將式（1）代入（3）得 （4） （5） 當(dāng)細(xì)桿與墻壁脫離接觸時， （6） 將式（4）、（5）、（6）代入（2）解得 O C A B 3－17如本題圖所示，A、B兩個輪子的質(zhì)量分別為m1和m2，半徑分別為r1和r2。另有一細(xì)繩繞在兩輪上，并按圖所示連接。其中A輪繞固定軸O轉(zhuǎn)動。試求：（1）B輪下落時，其輪心的加速度；（2）細(xì)繩的拉力。 解：如圖，取豎直向下為正方向。輪A作定軸轉(zhuǎn)動，設(shè)其角加速度為，根據(jù)轉(zhuǎn)動定理有 輪B作平面運動，設(shè)質(zhì)心加速度為，角加速度為， 根據(jù)牛頓定律有 根據(jù)轉(zhuǎn)動定理有 A輪邊緣一點加速度 B輪邊緣一點加速度 C l h 習(xí)題3-18圖 而且 ， 3－18如本題圖所示，一長為l的均質(zhì)桿自水平放置的初始位置平動自由下落，落下h距離時與一豎直固定板的頂部發(fā)生完全彈性碰撞，桿上碰撞點在距質(zhì)心C為l/4處，求碰撞后瞬間的質(zhì)心速率和桿的角速度。 解： 由機械能守恒 其中J為繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量 由動量定理 由角動量定理 聯(lián)立解得 ，　 q 2q -4q 2q 習(xí)題4－1圖 第4章　　真空中的靜電場 4－1 在邊長為a的正方形的四角，依次放置點電荷q,2q,-4q和2q，它的幾何中心放置一個單位正電荷，求這個電荷受力的大小和方向。 解：如圖可看出兩2q的電荷對單位正電荷的在作用力將相互抵消，單位正電荷所受的力為 ＝方向由q指向-4q。 4－2 如圖，均勻帶電細(xì)棒，長為L，電荷線密度為λ。（1）求棒的延長線上任一點P的場強；(2)求通過棒的端點與棒垂直上任一點Q的場強。 0 dq x dx , P 習(xí)題4－2 圖a x 解：（1）如圖7－2 圖a，在細(xì)棒上任取電荷元dq，建立如圖坐標(biāo)，dq＝ldx，設(shè)棒的延長線上任一點P與坐標(biāo)原點0的距離為x， 則整根細(xì)棒在P點產(chǎn)生的電場強度的大小為 0 dq x dx , P 習(xí)題4－2 圖b y dE q y Q q0 0 ＝方向沿x軸正向。 （2）如圖7－2 圖b，設(shè)通過棒的端點與棒垂直上任一點Q與坐標(biāo)原點0的距離為y， ， 因， 代入上式，則 ＝，方向沿x軸負(fù)向。 ＝ 4－3 一細(xì)棒彎成半徑為R的半圓形，均勻分布有電荷q，求半圓中心O處的場強。 dq q q dE x y 習(xí)題4－3圖 R 解：如圖，在半環(huán)上任取dl=Rdq的線元，其上所帶的電荷為dq=lRdq。對稱分析Ey=0。 ，如圖，方向沿x軸正向。 a λ1 λ2 習(xí)題4－4圖 0 x dq 4－4 如圖線電荷密度為λ1的無限長均勻帶電直線與另一長度為l、線電荷密度為λ2的均勻帶電直線在同一平面內(nèi)，二者互相垂直，求它們間的相互作用力。 解：在λ2的帶電線上任取一dq，λ1的帶電線是無限長，它在dq處產(chǎn)生的電場強度由高斯定理容易得到為， 兩線間的相互作用力為 如圖，方向沿x軸正向。 4－5 兩個點電荷所帶電荷之和為Q，問它們各帶電荷多少時，相互作用力最大？ 解：設(shè)其中一個電荷的帶電量是q，另一個即為Q－q，若它們間的距離為r，它們間的相互作用力為 相互作用力最大的條件為 由上式可得：Q=2q，q=Q/2 y q r 習(xí)題4－6圖 o 4－6 一半徑為R的半球殼，均勻帶有電荷，電荷面密度為σ，求球心處電場強度的大小。 解：將半球殼細(xì)割為諸多細(xì)環(huán)帶，其上帶電量為 dq在o點產(chǎn)生的電場據(jù)（7－10）式為 ， 。如圖，方向沿y軸負(fù)向。 4－7 設(shè)勻強電場的電場強度E與半徑為R的半球面對稱軸平行，計算通過此半球面電場強度的通量。 S1 S2 E 習(xí)題4－7圖 解：如圖，設(shè)作一圓平面S1蓋住半球面S2， 成為閉合曲面高斯，對此高斯曲面電通量為0， 即 r 0 R 習(xí)題4－8圖 4－8 求半徑為R，帶電量為q的空心球面的電場強度分布。 解： 由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，因而它所產(chǎn)生的電場分布也具有球?qū)ΨQ性，與帶電球面同心的球面上各點的場強E的大小相等，方向沿徑向。在帶電球內(nèi)部與外部區(qū)域分別作與帶電球面同心的高斯球面S1與S2。對S1與S2，應(yīng)用高斯定理，即先計算場強的通量，然后得出場強的分布，分別為 得 （rR) d 習(xí)題4－9圖 0 x E 4－9 如圖所示，厚度為d的“無限大”均勻帶電平板，體電荷密度為ρ，求板內(nèi)外的電場分布。 解:帶電平板均勻帶電，在厚度為d/2的平分街面上電場強度為零，取坐標(biāo)原點在此街面上，建立如圖坐標(biāo)。對底面積為A，高度分別為xd/2的高斯曲面應(yīng)用高斯定理，有 得 習(xí)題4－10圖 r o 4－10 一半徑為R的無限長帶電圓柱，其體電荷密度為，ρ0為常數(shù)。求場強分布。 解： 據(jù)高斯定理有 時： 時： 4－11 帶電為q、半徑為R1的導(dǎo)體球，其外同心地放一金屬球殼，球殼內(nèi)、外半徑為R2、R3。 o R1 R2 R3 q -q q 習(xí)題4－11圖 （1）球殼的電荷及電勢分布； （2）把外球接地后再絕緣，求外球殼的電荷及球殼內(nèi)外電勢分布； （3）再把內(nèi)球接地，求內(nèi)球的電荷及外球殼的電勢。 解：（1）靜電平衡，球殼內(nèi)表面帶－q，外表面帶q電荷。 據(jù)（7－23）式的結(jié)論得： （2） （3）再把內(nèi)球接地，內(nèi)球的電荷及外球殼的電荷重新分布設(shè)靜電平衡，內(nèi)球帶q/，球殼內(nèi)表面帶－q/，外表面帶q/－q。 得： o o/ p r2 r1 習(xí)題4－12圖 4－12 一均勻、半徑為R的帶電球體中，存在一個球形空腔，空腔的半徑r(2rR），細(xì)線近端離球心的距離為L。設(shè)球和細(xì)線上的電荷分布固定，試求細(xì)線在電場中的電勢能。 解：在帶電細(xì)線中任取一長度為dr的線元，其上所帶的電荷元為dq=ldr，據(jù)（7－23）式帶電球面在電荷元處產(chǎn)生的電勢為 電荷元的電勢能為: 細(xì)線在帶電球面的電場中的電勢能為： p 習(xí)題4－15圖 x o *4－15 半徑為R的均勻帶電圓盤，帶電量為Q。過盤心垂直于盤面的軸線上一點P到盤心的距離為L。試求P點的電勢并利用電場強度與電勢的梯度關(guān)系求電場強度。 解：P到盤心的距離為L，p點的電勢為 圓盤軸線上任意點的電勢為 利用電場強度與電勢的梯度關(guān)系得： P到盤心的距離為L，p點的電場強度為： 4－16 兩個同心球面的半徑分別為R1和R2,各自帶有電荷Q1和Q2。求：（1）各區(qū)城電勢分布，并畫出分布曲線；（2）兩球面間的電勢差為多少？ 解：（1）據(jù)（7－23）式的結(jié)論得各區(qū)城電勢分布為 o Q1 Q2 R1 R2 習(xí)題4－16圖 （2）兩球面間的電勢差為 4－17 一半徑為R的無限長帶電圓柱，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷體密度為ρ，若取棒表面為零電勢，求空間電勢分布并畫出電勢分布曲線。 解： 據(jù)高斯定理有 時： 時，V=0，則 時： 時： R r o V 空間電勢分布并畫出電勢分布曲線大致如圖。 4－18 兩根很長的同軸圓柱面半徑分別為R1、R2，帶有等量異號的電荷，兩者的電勢差為U，求：（1）圓柱面單位長度帶有多少電荷？（2）兩圓柱面之間的電場強度。 習(xí)題4－18圖 r o 解：設(shè)圓柱面單位長度帶電量為l，則兩圓柱面之間的電場強度大小為 兩圓柱面之間的電勢差為 由上式可得： 所以 4－19 在一次典型的閃電中，兩個放電點間的電勢差約為109V，被遷移的電荷約為 30庫侖，如果釋放出來的能量都用來使00C的冰熔化成00C的水，則可融化多少冰?（冰的熔 解熱為3.34105J﹒kg-1) 解：兩個放電點間的電勢差約為109V，被遷移的電荷約為30庫侖，其電勢能為 上式釋放出來的能量可融化冰的質(zhì)量為：8.98104kg 4－20 在玻爾的氫原子模型中，電子沿半徑為a的玻爾軌道上繞原子核作圓周運動。（1）若把電子從原子中拉出來需要克服電場力作多少功?（2）電子在玻爾軌道上運動的總能量為多少？ 解：電子沿半徑為a的玻爾軌道上繞原子核作圓周運動，其電勢能為 （1）把電子從原子中拉出來需要克服電場力作功為： （2）電子在玻爾軌道上運動的總能量為： 電子的總能量為： 第五章 靜電場中的導(dǎo)體與電介質(zhì) R2 R1 習(xí)題 5－1圖 q -q q 5－1 點電荷+q處在導(dǎo)體球殼的中心，殼的內(nèi)外半徑分別為Rl和R2，試求，電場強度和電勢的分布。 解：靜電平衡時，球殼的內(nèi)球面帶－q、外球殼帶q電荷 在rR2的區(qū)域內(nèi): 5－2 把一厚度為d的無限大金屬板置于電場強度為E0的勻強電場中，E0與板面垂直，試求金屬板兩表面的電荷面密度。 E0 E0 習(xí)題 5－2圖 s1 s2 解：靜電平衡時，金屬板內(nèi)的電場為0， 金屬板表面上電荷面密度與緊鄰處的電場成正比 所以有 5－3 一無限長圓柱形導(dǎo)體，半徑為a，單位長度帶有電荷量l1，其外有一共軸的無限長導(dǎo)體圓簡，內(nèi)外半徑分別為b和c，單位長度帶有電荷量l2，求（1）圓筒內(nèi)外表面上每單位長度的電荷量；（2）求電場強度的分布。 解：（1）由靜電平衡條件，圓筒內(nèi)外表面上每單位長度的電荷量為 習(xí)題 5－3圖 （2）在rb的區(qū)域內(nèi):Een 5－4 三個平行金屬板A、B和C，面積都是200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C兩板都接地，如圖所示。如果A板帶正電3.010－7C，略去邊緣效應(yīng)（1）求B板和C板上感應(yīng)電荷各為多少?（2）以地為電勢零點，求A板的電勢。 解：（1）設(shè)A板兩側(cè)的電荷為q1、q2，由電荷守恒 原理和靜電平衡條件，有 A B C 習(xí)題 5－4圖 d1 d2 （1） ，（2） 依題意VAB=VAC,即 ＝ 代入（1）（2）式得 q1＝1.010-7C，q2＝2.010-7C，qB＝－1.010-7C，qC=-q2＝－2.010-7C， （2） ＝ =2.3103V 習(xí)題 5－5圖 q -q q+Q 5－5 半徑為R1=l.0cm的導(dǎo)體球帶電量為q=1.010－10 C，球外有一個內(nèi)外半徑分別為R2=3.0cm和R3=4.0cm的同心導(dǎo)體球殼，殼帶有電量Q=1110－10 C，如圖所示，求（1）兩球的電勢；（2）用導(dǎo)線將兩球連接起來時兩球的電勢；（3）外球接地時，兩球電勢各為多少？（以地為電勢零點） 解：靜電平衡時，球殼的內(nèi)球面帶－q、外球殼帶q+Q電荷 （1）代入數(shù)據(jù) ＝3.3102V =2.7102V （2）用導(dǎo)線將兩球連接起來時兩球的電勢為 =2.7102V （3）外球接地時，兩球電勢各為 ＝60V 5－6 證明:兩平行放置的無限大帶電的平行平面金屬板A和B相向的兩面上電荷面密度大小相等，符號相反，相背的兩面上電荷面密度大小等，符號相同。如果兩金屬板的面積同為100cm2，帶電量分別為QA=610－8 C和QB=410－8C，略去邊緣效應(yīng)，求兩個板的四個表面上的電面密度。 證：設(shè)A板帶電量為QA、兩側(cè)的電荷為q1、q2， B板板帶電量為QB、兩側(cè)的電荷為q3、q4。由電荷守恒有 q2 A B 習(xí)題 5－6圖 q1 q3 q4 （1） （2） 在A板與B板內(nèi)部取兩場點，金屬板內(nèi)部的電場為零有 ，得（3） ，得（4） 聯(lián)立上面4個方程得： , 即相向的兩面上電荷面密度大小相等，符號相反，相背的兩面上電荷面密度大小等，符號相同，本題得證。 如果兩金屬板的面積同為100cm2，帶電量分別為QA=610－8 C和QB=410－8C，則 5.010－6C/m2, 1.010-6C/m2 5－7 半徑為R的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用細(xì)導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距離為D=3R處有一點電荷+q，試求金屬球上的感應(yīng)電荷。 q Q D=3R R 習(xí)題 5－7圖 解：設(shè)金屬球上的感應(yīng)電荷為Q，金屬球接地 電勢為零，即 t d b x 習(xí)題 5－8圖 5－8 一平行板電容器，兩極板為相同的矩形，寬為a，長為b，間距為d，今將一厚度為t、寬度為a的金屬板平行地向電容器內(nèi)插入，略去邊緣效應(yīng)，求插入金屬板后的電容量與金屬板插入深度x的關(guān)系。 解：設(shè)如圖左邊電容為C1，右邊電容為C2 左右電容并聯(lián)，總電容即金屬板后的電容量與金屬板插入深度x的關(guān)系，為 = (a) (b) 習(xí)題 5－9圖 5－9 收音機里的可變電容器如圖（a）所示，其中共有n塊金屬片，相鄰兩片的距離均為d，奇數(shù)片聯(lián)在一起固定不動（叫定片）偶數(shù)片聯(lián)在起而可一同轉(zhuǎn)動（叫動片）每片的形狀如圖（b）所示。求當(dāng)動片轉(zhuǎn)到使兩組片重疊部分的角度為q時，電容器的電容。 解：當(dāng)動片轉(zhuǎn)到使兩組片重疊部分的角度 為q時，電容器的電容的有效面積為 此結(jié)構(gòu)相當(dāng)有n-1的電容并聯(lián)，總電容為 ＝ 5－10 半徑都為a的兩根平行長直導(dǎo)線相距為d（d>>a），（1）設(shè)兩直導(dǎo)線每單位長度上分別帶電十l和一l求兩直導(dǎo)線的電勢差；（2）求此導(dǎo)線組每單位長度的電容。 解：（1）兩直導(dǎo)線的電電場強度大小為 o r 習(xí)題 5－10圖 兩直導(dǎo)線之間的電勢差為 （2）求此導(dǎo)線組每單位長度的電容為 = A B C1 C3 C2 習(xí)題 5－11圖 5－11 如圖，C1=10mF，C2=5mF，C3=5mF，求（1）AB間的電容；（2）在AB間加上100V電壓時，求每個電容器上的電荷量和電壓；（3）如果C1被擊穿，問C3上的電荷量和電壓各是多少？ 解：（1）AB間的電容為 =3.75mF； （2）在AB間加上100V電壓時，電路中的總電量就是C3電容器上的電荷量，為 （3）如果C1被擊穿，C2短路，AB間的100V電壓全加在C3上，即V3=100V， C3上的電荷量為 V 習(xí)題 5－12圖 5－12 平行板電容器，兩極間距離為l.5cm，外加電壓39kV，若空氣的擊穿場強為30kV/cm，問此時電容器是否會被擊穿？現(xiàn)將一厚度為0.3cm的玻璃插入電容器中與兩板平行，若玻璃的相對介電常數(shù)為7，擊穿場強為100kV/cm，問此時電容器是否會被擊穿？結(jié)果與玻璃片的位置有無關(guān)系? 解：（1）未加玻璃前，兩極間的電場為 不會擊穿 （2）加玻璃后，兩極間的電壓為 空氣部分會擊穿，此后，玻璃中的電場為 ，玻璃部分也被擊穿。結(jié)果與玻璃片的位置無關(guān)。 5－13 一平行板電容器極板面積為S，兩板間距離為d,其間充以相對介電常數(shù)分別為er1、er2，的兩種均勻電