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第一章數和數的運算 一 概念 （一）整數 1 整數的意義 自然數和 0 都是整數。 2 自然數 我們在數物體的時候，用來表示物體個數的 1，2，3……叫做自然數。 一個物體也沒有，用 0 表示。0 也是自然數。 3 計數單位 一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數單位。 每相鄰兩個計數單位之間的進率都是 10。這樣的計數法叫做十進制計數 法。 4 數位 計數單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數位。 5 數的整除 整數 a 除以整數 b(b ≠ 0），除得的商是整數而沒有余數，我們就說 a 能 被 b 整除，或者說 b 能整除 a 。 如果數 a 能被數 b（b ≠ 0）整除，a 就叫做 b 的倍數，b 就叫做 a 的因數 （或約數）。倍數和因數是相互依存的。因為 35 能被 7 整除，所以 35 是 7 的倍數，7 是 35 的因數。 一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是 1，最大的因數是它本身。例如：10 的因數有 1、2、5、10，其中最小的因數是 1，最大的因數是10。 一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身。3 的倍數有： 3、6、9、12……其中最小的倍數是 3 ，沒有最大的倍數。 個位上是 0、2、4、6、8 的數，都能被2整除，例如：202、480、304 都能被 2 整除。 個位上是 0 或 5 的數，都能被 5 整除，例如：5、30、405 都能被 5 整除。 一個數的各位上的數的和能被 3 整除，這個數就能被 3 整除，例如：12、 108、204 都能被 3 整除。 一個數各位數上的和能被 9 整除，這個數就能被 9 整除。 能被 3 整除的數不一定能被 9 整除， 但是能被 9 整除的數一定能被 3 整除。 一個數的末兩位數能被 4（或 25）整除，這個數就能被 4（或 25）整除。 例如：16、404、1256 都能被 4 整除，50、325、500、1675 都能被 25 整 除。 一個數的末三位數能被 8（或 125）整除，這個數就能被 8（或 125）整除。 例如：1168、4600、5000、12344 都能被 8 整除，1125、13375、5000 都 能被 125 整除。 能被 2 整除的數叫做偶數。 不能被 2 整除的數叫做奇數。 0 也是偶數。自然數按能否被 2 整除的特征可分為奇數和偶數。 一個數，如果只有 1 和它本身兩個因數，這樣的數叫做素數（或素數）， 100 以內的素數有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一個數，如果除了 1 和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數，例如 4、 6、8、9、12 都是合數。 1 不是素數也不是合數，自然數除了 1 外，不是素數就是合數。如果把自然數按其因數的個數的不同分類，可分為素數、合數和 1。 每個合數都可以寫成幾個素數相乘的形式。其中每個素數都是這個合數的因數，叫做這個合 數的素因數，例如 15=3×5，3 和 5 叫做 15 的 素因數。 把一個合數用素因數相乘的形式表示出來，叫做分解素因數。 （ 例如把 28 分解素因數 ） 幾個數公有的因數，叫做這幾個數的公因數。其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公因數，例如 12 的因數有 1、2、3、4、6、12； 18 的因數有 1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6 是 12 和 1 8 的公因數，6 是它們 的最大公因數。 公因數只有 1 的兩個數，叫做互素數，成互素關系的兩個數，有下列幾種情況： 1 和任何自然數互素。 相鄰的兩個自然數互素。 兩個不同的素數互素。 當合數不是素數的倍數時，這個合數和這個素數互素。 兩個合數的公因數只有 1 時，這兩個合數互素，如果幾個數中任意兩個都互素，就說這幾個數兩兩互素。 如果較小數是較大數的因數，那么較小數就是這兩個數的最大公因數。 如果兩個數是互素數，它們的最大公因數就是 1。 幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數，如 2 的倍數有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 …… 3 的倍數有 3、6、9、12、15、18 …… 其中 6、12、18……是 2、3 的公 倍數，6 是它們的最小公倍數。 如果較大數是較小數的倍數，那么較大數就是這兩個數的最小公倍數。 如果兩個數是互素數，那么這兩個數的積就是它們的最小公倍數。 幾個數的公因數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。 （二）小數 1 小數的意義 把整數 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份…… 得到的十分之幾、百分之 幾、千分之幾…… 可以用小數表示。 一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之 幾…… 一個小數由整數部分、小數部分和小數點部分組成。數中的圓點叫做小數點，小數點左邊的數叫做整數部分，小數點左邊的數叫做整數部分，小數點右邊的數叫做小數部分。 在小數里，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是 10。小數部分的最高分數單位“十分之一”和整數部分的最低單位“一”之間的進率也是 10。 2 小數的分類 純小數：整數部分是零的小數，叫做純小數。例如： 0.25 、 0.368 都是純小數。 帶小數：整數部分不是零的小數，叫做帶小數。 例如： 3.25 、 5.26 都是帶小數。 有限小數：小數部分的數位是有限的小數，叫做有限小數。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數。 無限小數：小數部分的數位是無限的小數，叫做無限小數。例如： 4.33 …… 3.1415926 …… 無限不循環(huán)小數：一個數的小數部分，數字排列無規(guī)律且位數無限，這樣的小數叫做無限不循環(huán)小數。 循環(huán)小數：一個數的小數部分，有一個數字或者幾個數字依次不斷重復出 現(xiàn)，這個數叫做循環(huán)小數。 如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……一個循環(huán)小數的小數部分， 依次不斷重復出現(xiàn)的數字叫做這個循環(huán)小數的循環(huán)節(jié)。 例如： 3.99 ……的循環(huán)節(jié)是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循環(huán)節(jié)是 “ 54 ” 。 純循環(huán)小數：循環(huán)節(jié)從小數部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數。 例 如： 3.111 …… 0.5656 …… 混循環(huán)小數：循環(huán)節(jié)不是從小數部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小 數。 3.1222 …… 0.03333 …… 寫循環(huán)小數的時候，為了簡便，小數的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié)，并 在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數字上各點一個圓點。如果循環(huán)節(jié)只有 一個數字，就只在它的上面點一個點。 （三）分數 1 分數的意義 把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數叫做分數。 在分數里，中間的橫線叫做分數線；分數線下面的數，叫做分母，表示把 單位“1”平均分成多少份；分數線下面的數叫做分子，表示有這樣的多 少份。 把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數，叫做分數單位。 2 分數的分類 真分數：分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小于 1。 假分數：分子比分母大或者分子和分母相等的分數，叫做假分數。假分數大于或等于 1。 帶分數：假分數可以寫成整數與真分數合成的數，通常叫做帶分數。 3 約分和通分 把一個分數化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數，叫做約分。 分子分母是互素數的分數，叫做最簡分數。 把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。 （四）百分數 表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數,也叫做百分率或百分比。百分數通常用"%"來表示。百分號是表示百分數的符號。 二 方法 （一）數的讀法和寫法 1. 整數的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在后面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的 0 都不讀出來，其它數位連續(xù)有幾個 0 都只讀一個零。 2. 整數的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數位上一個單位也沒有，就在那個數位上寫 0。 3. 小數的讀法：讀小數的時候，整數部分按照整數的讀法讀，小數點讀作“點”，小數部分從左向右順次讀出每一位數位上的數字。 4. 小數的寫法：寫小數的時候，整數部分按照整數的寫法來寫，小數點寫在個位右下角，小數部分順次寫出每一個數位上的數字。 5. 分數的讀法：讀分數時，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數的讀法來讀。 6. 分數的寫法：先寫分數線，再寫分母，最后寫分子，按照整數的寫法來寫。 7. 百分數的讀法：讀百分數時，先讀百分之，再讀百分號前面的數，讀數時按照整數的讀法來讀。 8. 百分數的寫法：百分數通常不寫成分數形式，而在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。 （二）數的改寫 一個較大的多位數，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數。有時還可以根據需要，省略這個數某一位后面的數，寫成近似數。 1. 準確數：在實際生活中，為了計數的簡便，可以把一個較大的數改寫 成以萬或億為單位的數。改寫后的數是原數的準確數。 例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數是 125430 萬；改寫成以億做單位的數 12.543 億。 2. 近似數：根據實際需要，我們還可以把一個較大的數，省略某一位后面的尾數，用一個近似數來表示。 例如： 1302490015 省略億后面的尾數是 13 億。 3. 四舍五入法：要省略的尾數的最高位上的數是 4 或者比 4 小，就把尾數去掉；如果尾數的最高位上的數是 5 或者比 5 大，就把尾數舍去，并向它的前一位進 1。例如：省略 345900 萬后面的尾數約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數約是 47 億。 4. 大小比較 （1）比較整數大小：比較整數的大小，位數多的那個數就大，如果位數相同，就看最高位，最高位上的數大，那個數就大；最高位上的數相同， 就看下一位，哪一位上的數大那個數就大。 （2）比較小數的大?。合瓤此鼈兊恼麛挡糠?，整數部分大的那個數就大；整數部分相同的，十分位上的數大的那個數就大；十分位上的數也相同的，百分位上的數大的那個數就大…… （3）比較分數的大小:分母相同的分數，分子大的分數比較大；分子相同的數，分母小的分數大。分數的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個數的大小。 （三）數的互化 1. 小數化成分數：原來有幾位小數，就在 1 的后面寫幾個零作分母，把原來的小數去掉小數點作分子，能約分的要約分。 2. 分數化成小數：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數，有的不能除盡，不能化成有限小數的，一般保留三位小數。 3. 一個最簡分數，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含有其他的素因數， 這個分數就能化成有限小數；如果分母中含有 2 和 5 以外的素因數，這個分數就不能化成有限小數。 4. 小數化成百分數：只要把小數點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。 5. 百分數化成小數：把百分數化成小數，只要把百分號去掉，同時把小數點向左移動兩位。 6. 分數化成百分數：通常先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數)，再把小數化成百分數。 7. 百分數化成分數： 先把百分數改寫成分數， 能約分的要約成最簡分數。 （四）數的整除 1. 把一個合數分解素因數，通常用短除法。先用能整除這個合數的素數去除，一直除到商是素數為止，再把除數和商寫成連乘的形式。 2. 求幾個數的最大公因數的方法是：先用這幾個數的公因數連續(xù)去除， 一直除到所得的商只有公因數 1 為止，然后把所有的除數連乘求積，這個積就是這幾個數的的最大公因數 。 3. 求幾個數的最小公倍數的方法是：先用這幾個數（或其中的部分數） 的公因數去除，一直除到互素（或兩兩互素）為止，然后把所有的除數和商連乘求積，這個積就是這幾個數的最小公倍數。 4. 成為互素關系的兩個數： 1 和任何自然數互素 ； 相鄰的兩個自然數互素； 當合數不是素數的倍數時，這個合數和這個素數互素； 兩個合數的公因數只有 1 時，這兩個合數互素。 （五） 約分和通分 約分的方法：用分子和分母的公約數（1 除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分數為止。 通分的方法：先求出原來的幾個分數分母的最小公倍數，然后把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數。 三 性素和規(guī)律 （一）商不變的規(guī)律 商不變的規(guī)律： 在除法里， 被除數和除數同時擴大或者同時縮小相同的倍， 商不變。 （二）小數的性素 小數的性素：在小數的末尾添上零或者去掉零小數的大小不變。 （三）小數點位置的移動引起小數大小的變化 1. 小數點向右移動一位，原來的數就擴大 10 倍；小數點向右移動兩位， 原來的數就擴大 100 倍；小數點向右移動三位，原來的數就擴大 1000 倍…… 2. 小數點向左移動一位，原來的數就縮小 10 倍；小數點向左移動兩位， 原來的數就縮小 100 倍；小數點向左移動三位，原來的數就縮小 1000 倍…… 3. 小數點向左移或者向右移位數不夠時，要用“0"補足位。 （四）分數的基本性素 分數的基本性素： 分數的分子和分母都乘以或者除以相同的數 （零除外） ， 分數的大小不變。 （五）分數與除法的關系 1. 被除數÷除數= 被除數/除數 2. 因為零不能作除數，所以分數的分母不能為零。 3. 被除數相當于分子，除數相當于分母。 四 運算的意義 （一）整數四則運算 1 整數加法：把兩個數合并成一個數的運算叫做加法。 在加法里，相加的數叫做加數，加得的數叫做和。加數是部分數，和是總數。 加數+加數=和 一個加數=和 — 另一個加數 2整數減法：已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算叫做減法。 在減法里，已知的和叫做被減數，已知的加數叫做減數，未知的加數叫做差。被減數是總數，減數和差分別是部分數。 加法和減法互為逆運算。 3 整數乘法：求幾個相同加數的和的簡便運算叫做乘法。 在乘法里，相同的加數和相同加數的個數都叫做因數。相同加數的和叫做積。 在乘法里，0 和任何數相乘都得 0. 1 和任何數相乘都的任何數。 一個因數× 一個因數 =積 一個因數=積÷另一個因數 4 整數除法：已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算叫做除法 在除法里，已知的積叫做被除數，已知的一個因數叫做除數，所求的因數叫做商。 乘法和除法互為逆運算。 在除法里，0 不能做除數。因為 0 和任何數相乘都得 0，所以任何一個數除以 0，均得不到一個確定的商。 被除數÷除數=商 除數=被除數÷商 被除數=商×除數 （二）小數四則運算 1. 小數加法：小數加法的意義與整數加法的意義相同。是把兩個數合并成一個數的運算。 2. 小數減法：小數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算. 3. 小數乘法：小數乘整數的意義和整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算；一個數乘純小數的意義是求這個數的十分之幾、百 分之幾、千分之幾……是多少。 4. 小數除法：小數除法的意義與整數除法的意義相同，就是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。 5. 乘方 求幾個相同因數的積的運算叫做乘方。 （三）分數四則運算 1. 分數加法：分數加法的意義與整數加法的意義相同。 是把兩個數合并成一個數的運算。 2. 分數減法：分數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算。 3. 分數乘法：分數乘法的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算。 4. 乘積是 1 的兩個數叫做互為倒數。 5. 分數除法：分數除法的意義與整數除法的意義相同。就是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。 （四）運算定律 1. 加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變，即 a+b=b+a 。 2. 加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，再加上第三個數；或者先把后兩個數相加，再和第一個數相加它們的和不變，即 （a+b)+c=a+(b+c) 。 3. 乘法交換律：兩數相乘，交換因數位置它們的積不變，即 a×b=b×a。 4. 乘法結合律：三數相乘，先把前兩數相乘，再乘以第三數；或者先把后兩數相乘， 再和第一數相乘， 它們的積不變， 即(a×b)×c=a×(b×c) 。 5. 乘法分配律：兩個數的和與一個數相乘，可以把兩個加數分別與這個數相乘再把兩個積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。 6. 減法的性素：從一個數里連續(xù)減去幾個數，可以從這個數里減去所有減數的和，差不變，即 a-b-c=a-(b+c) 。 （五）運算法則 1. 整數加法計算法則：相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數相加滿十，就向前一位進一。 2. 整數減法計算法則：相同數位對齊，從低位減起，哪一位上的數不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數合并在一起，再減。 3. 整數乘法計算法則：先把兩個因數的個位對齊，再用第二個因數從個位起依次和第一個因數的每個位相乘；從個位開始依次相乘，乘到哪一位，得數的個位就和哪一位對齊，然后把各次乘得的相加。 (整數末尾有0的乘法，先把0前面的整數相乘，再看各因數的末尾有幾個0，就在乘得的數的末尾加幾個0。） 4. 整數除法計算法則：先從被除數的高位除起，除數是幾位數，就看被除數的前幾位數； 如果不夠除，就多看一位，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商 1，要補“0”占位。每次除得的余數要小于除數。 5. 小數乘法法則：先按照整數乘法的計算法則算出積，再看因數中共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點；如果位數不夠，就用 “0”補足。 6. 除數是整數的小數除法計算法則：先按照整數除法的法則去除，商的小數點要和被除數的小數點對齊；如果除到被除數的末尾仍有余數，就在余數后面添“0”，再繼續(xù)除。 7. 除數是小數的除法計算法則：先移動除數的小數點，使它變成整數， 同時被除數的小數點也向右移動幾位（位數不夠的補“0”），然后按照除數是整數的除法法則進行計算。 8. 同分母分數加減法計算方法:同分母分數相加減，只把分子相加減，分母不變。 9. 異分母分數加減法計算方法:先通分， 然后按照同分母分數加減法的的法則進行計算。 10. 帶分數加減法的計算方法:整數部分和分數部分分別相加減，再把所得的數合并起來。 11. 分數乘法的計算法則: 分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變； 分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。 12. 分數除法的計算法則:甲數除以乙數（0 除外），等于甲數乘乙數的 倒數。 （六） 運算順序 1. 小數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。 2. 分數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。 3. 沒有括號的混合運算:同級運算從左往右依次運算；兩級運算先算乘、除法，后算加減法。 4. 有括號的混合運算:先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括 號外面的。 5. 第一級運算：加法和減法叫做第一級運算。 6. 第二級運算：乘法和除法叫做第二級運算。 五 應用 （一）整數和小數的應用 1 簡單應用題 （1） 簡單應用題：只含有一種基本數量關系，或用一步運算解答的應用題，通常叫做簡單應用題。 （2） 解題步驟： a 審題理解題意：了解應用題的內容，知道應用題的條件和問題。讀題時，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以復述條件和問題，幫助理解題意。 b 選擇算法和列式計算： 這是解答應用題的中心工作。 從題目中的已知什么， 要求什么著手，逐步根據所給的條件和問題，聯(lián)系四則運算的含義，分析數量關系，確定算法，進行解答并標明正確的單位名稱。 c 檢驗：就是根據應用題的條件和問題進行檢查看所列算式和計算過程是否正確，是否符合題意。如果發(fā)現(xiàn)錯誤，馬上改正。 d 答案：根據計算的結果，先口答，逐步過渡到筆答。 ( 3 ) 解答加法應用題： a 求總數的應用題：已知甲數是多少，乙數是多少，求甲乙兩數的和是多少。 b 求比一個數多幾的數應用題：已知甲數是多少和乙數比甲數多多少，求乙數是多少。 (4 ) 解答減法應用題： a 求剩余的應用題：從已知數中去掉一部分，求剩下的部分。 b 求兩個數相差的多少的應用題：已知甲乙兩數各是多少，求甲數比乙數多多少，或乙數比甲數少多少。 c 求比一個數少幾的數的應用題：已知甲數是多少，，乙數比甲數少多少， 求乙數是多少。 (5 ) 解答乘法應用題： a 求相同加數和的應用題：已知相同的加數和相同加數的個數，求總數。 b 求一個數的幾倍是多少的應用題：已知一個數是多少，另一個數是它的幾倍，求另一個數是多少。 ( 6) 解答除法應用題： a 把一個數平均分成幾份，求每一份是多少的應用題：已知一個數和把這個數平均分成幾份的，求每一份是多少。 b 求一個數里包含幾個另一個數的應用題：已知一個數和每份是多少，求可以分成幾份。 c 求一個數是另一個數的的幾倍的應用題：已知甲數乙數各是多少，求較大數是較小數的幾倍。 d 已知一個數的幾倍是多少，求這個數的應用題。 （7）常見的數量關系： 總價= 單價×數量 路程= 速度×時間 工作總量=工作時間×工作效率 總產量=單產量×數量 2 復合應用題 （1）有兩個或兩個以上的基本數量關系組成的，用兩步或兩步以上運算解答的應用題，通常叫做復合應用題。 （2）含有三個已知條件的兩步計算的應用題。 求比兩個數的和多（少）幾個數的應用題。 比較兩數差與倍數關系的應用題。 （3）含有兩個已知條件的兩步計算的應用題。已知兩數相差多少（或倍數關系）與其中一個數，求兩個數的和（或差）已知兩數之和與其中一個數，求兩個數相差多少（或倍數關系）。 （4）解答連乘連除應用題。 （5）解答三步計算的應用題。 （6）解答小數計算的應用題：小數計算的加法、減法、乘法和除法的應用題，他們的數量關系、結構、和解題方式都與正式應用題基本相同，只是在已知數或未知數中間含有小數。 3 典型應用題 具有獨特的結構特征的和特定的解題規(guī)律的復合應用題， 通常叫做典型應 用題。 （1）平均數問題：平均數是等分除法的發(fā)展。 解題關鍵：在于確定總數量和與之相對應的總份數。 算術平均數：已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數，求平均每份是多少。數量關系式：數量之和÷數量的個數=算術平均數。 加權平均數：已知兩個以上若干份的平均數，求總平均數是多少。 數量關系式 （部分平均數×權數）的總和÷（權數的和）=加權平均數。 差額平均數：是把各個大于或小于標準數的部分之和被總份數均分， 求的是標準數與各數相差之和的平均數。 數量關系式：（大數－小數）÷2=小數應得數 ÷總份數=最大數應給數得數。 例：明明開汽車以每小時 100 千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小 時 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。 分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為 “1” ， 則汽車行駛的總路程為 “2” ， 從甲地到乙地的速度為 100 ， 所用的時間為 1÷100 =1/100（小時） ，汽車從乙地到甲地速度為 60 千 米 ，所用的時間是 1÷60 =1/60（小時），汽車共行的時間為 1/100+1/60 =2/75(小時), 汽車的平均速度為 2 ÷2/75 =75（千米/小時） （2） 歸一問題：已知相互關聯(lián)的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。根據求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。根據求出單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一?！?最大數與各數之差的和最大數與個數之差的和÷總份數=最小數應 兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一?！?正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結果的歸一問題。 反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結果的歸一問題。 解題關鍵： 從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數量 （單一量） ， 然后以它為標準，根據題目的要求算出結果。 數量關系式：單一量×份數=總數量（正歸一） 總數量÷單一量=份數（反歸一） 例： 一個織布工人，在七月份織布 4774 米 ， 照這樣計算，織布 6930 米 ， 需要多少天？ 分析必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。 6930 ÷ （ 4774 ÷ 31 ） =45（天） （3）歸總問題： 是已知單位數量和計量單位數量的個數，以及不同的單位數量（或單位數量的個數），通過求總數量求得單位數量的個數（或單位數量）。 特點：兩種相關聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。 數量關系式：單位數量×單位個數÷另一個單位數量 = 另一個單位數量。 例： 修一條水渠，原計劃每天修 800 米 ， 6 天修完。實際 4 天修完，每天修了多少米？ 分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總 量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。 800 × 6 ÷ 4=1200 （米） （4） 和差問題： 已知大小兩個數的和，以及他們的差，求這兩個數各是 多少的應用題叫做和差問題。 解題關鍵： 是把大小兩個數的和轉化成兩個大數的和 （或兩個小數的和） ， 然后再求另一個數。 解題規(guī)律：（和＋差）÷2 = 大數 （和－差）÷2=小數 大數－差=小數 和－小數= 大數 例：某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時從乙班調 46 人到甲班工作，這時乙班比甲班人數少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少 人？ 分析： 從乙班調 46 人到甲班， 對于總數沒有變化， 現(xiàn)在把乙數轉化成 2 個 乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到現(xiàn)在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人） ， 乙班在調出 46 人之前應該為 41+46=87 （人），甲班為 9 4 － 87=7 （人） （5）和倍問題：已知兩個數的和及它們之間的倍數 關系，求兩個數各是多少的應用題，叫做和倍問題。 解題關鍵：找準標準數（即 1 倍數）一般說來，題中說是“誰”的幾倍， 把誰就確定為標準數。求出倍數和之后，再求出標準的數量是多少。根據另一個數（也可能是幾個數）與標準數的倍數關系，再去求另一個數（或 幾個數）的數量。 解題規(guī)律： 和÷倍數和=標準數 標準數×倍數=另一個數 例:汽車運輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？ 分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數 115 輛內，為了使總數與（ 5+1 ）倍對應，總車輛數應（ 115-7 ）輛 。 列式為（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （輛）， 18 × 5+7=97 （輛） （6）差倍問題：已知兩個數的差，及兩個數的倍數關系，求兩個數各是多少的應用題。 解題規(guī)律：兩個數的差÷（倍數－1 ）= 標準數 標準數×倍數=另一個數。 例：甲乙兩根繩子， 甲繩長 63 米 ， 乙繩長 29 米 ， 兩根繩剪去同樣的長度， 結果甲所剩的長度是乙繩長的 3 倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？ 各減去多少米？ 分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍，實比乙繩多（ 3-1 ）倍，以乙繩的長度為標準數。列式（ 63-29 ） ÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙繩剩下的長度， 17 × 3=51 （米）…甲繩剩 下的長度， 29-17=12 （米）…剪去的長度。 （7）行程問題：關于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、 速度和、速度差等概念，了解他們之間的關系，再根據這類問題的規(guī)律解答。 解題關鍵及規(guī)律： 同時同地相背而行：路程=速度和×時間。 同時相向而行：相遇時間=速度和×時間 同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時間=追及路程÷速度差。 同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×時間。 例：甲在乙的后面 28 千米 ，兩人同時同向而行，甲每小時行 16 千米 ，乙每小時行 9 千米 ，甲幾小時追上乙？ 分析：甲每小時比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時可以追近乙 （ 16-9 ）千米，這是速度差。 已知甲在乙的后面 28千米（追擊路程），28 千米里包含著幾個 （ 16-9 ） 千米，也就是追擊所需要的時間。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小時） （8）流水問題： 一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。 船速：船在靜水中航行的速度。 水速：水流動的速度。 順水速度：船順流航行的速度。 順速=船速＋水速 逆水速度：船逆流航行的速度。 逆速=船速－水速 解題關鍵：因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當作和差問題解答。 解題時要以水流為線索。 解題規(guī)律：船行速度=（順水速度+ 逆流速度）÷2 流水速度=（順流速度- 逆流速度）÷2 路程=順流速度× 順流航行所需時間 路程=逆流速度×逆流航行所需時間 例：一只輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行 28 千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比順水多行 2 小時，已知水速每小時 4 千 米。求甲乙兩地相距多少千米？ 分析：此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，只知道順水比逆水少用 2 小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為 28- 4 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千 米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小時） 28 × 5=140 （千米）。 （9） 還原問題：已知某未知數，經過一定的四則運算后所得的結果，求這個未知數的應用題，我們叫做還原問題。 解題關鍵：要弄清每一步變化與未知數的關系。 解題規(guī)律：從最后結果出發(fā)，采用與原題中相反的運算（逆運算）方法， 逐步推導出原數。 根據原題的運算順序列出數量關系，然后采用逆運算的方法計算推導出原數。 解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時別忘記寫括號。 例：某小學三年級四個班共有學生 168 人，如果四班調 3 人到三班，三班調 6 人到二班，二班調 6 人到一班，一班調 2 人到四班，則四個班的人數相等，四個班原有學生多少人？ 分析： 當四個班人數相等時， 應為 168 ÷ 4 ， 以四班為例， 它調給三班 3 人，又從一班調入 2 人，所以四班原有的人數減去 3 再加上 2 等于平均數。 四班原有人數列式為 168 ÷ 4-2+3=43 （人） 一班原有人數列式為 168 ÷ 4-6+2=38 （人）； 二班原有人數列式為 168 ÷ 4-6+6=42 （人） 三班原有人數列式為 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。 （10）植樹問題：這類應用題是以“植樹”為內容。凡是研究總路程、株距、段數、棵樹四種數量關系的應用題，叫做植樹問題。 解題關鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進行計算。 解題規(guī)律：沿線段植樹 棵樹=段數+1 棵樹=總路程÷株距+1 株距=總路程÷（棵樹-1） 總路程=株距×（棵樹-1） 沿周長植樹 棵樹=總路程÷株距 株距=總路程÷棵樹 總路程=株距×棵樹 例：沿公路一旁埋電線桿 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米 。后來全部改裝，只埋了 201 根。求改裝后每相鄰兩根的間距。 分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數減掉一。列式為 50 × （ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米） （11 ）盈虧問題：是在等分除法的基礎上發(fā)展起來的。 他的特點是把一 定數量的物品，平均分配給一定數量的人，在兩次分配中，一次有余，一次不足（或兩次都有余，或兩次都不足），已知所余和不足的數量，求物品適量和參加分配人數的問題，叫做盈虧問題。 解題關鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除后一個差，就得到分配者的數，進而再求得物品數。 解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數 總差額的求法可以分為以下四種情況： 第一次多余，第二次不足，總差額=多余+ 不足 第一次正好，第二次多余或不足 ，總差額=多余或不足 第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余 第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足-小不足 例： 參加美術小組的同學， 每個人分的相同的支數的色筆， 如果小組 10 人， 則多 25 支，如果小組有 12 人，色筆多余 5 支。求每人分得幾支？共有多少支色鉛筆？ 分析： 每個同學分到的色筆相等。 這個活動小組有 12 人， 比 10 人多 2 人， 而色筆多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 個人多出 20 支，一個人分得 10 支。 列式為（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。 （12）年齡問題：將差為一定值的兩個數作為題中的一個條件，這種應用題被稱為“年齡問題”。 解題關鍵：年齡問題與和差、和倍、 差倍問題類似，主要特點是隨著時間的變化， 年歲不斷增長， 但大小兩個不同年齡的差是不會改變的， 因此年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要善于利用差不變的特點。 例：父親 48 歲，兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍？ 分析：父子的年齡差為 48-21=27 （歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可知父子年齡的倍數差是（ 4-1 ）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。列式為： 21- （ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年） （13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數和總腿數。求“雞”和“兔”各 多少只的一類應用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題 解題關鍵：解答雞兔問題一般采用假設法，假設全是一種動物（如全是 “雞”或全是“兔”，然后根據出現(xiàn)的腿數差，可推算出某一種的頭數。 解題規(guī)律： （總腿數－雞腿數×總頭數）÷一只雞兔腿數的差=兔子只數 兔子只數=（總腿數-2×總頭數）÷2 如果假設全是兔子，可以有下面的式子： 雞的只數=（4×總頭數-總腿數）÷2 兔的頭數=總頭數-雞的只數 例：雞兔同籠共 50 個頭， 170 條腿。問雞兔各有多少只？ 兔子只數 （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只） 雞的只數 50-35=15 （只） （二）分數和百分數的應用 1 分數加減法應用題： 分數加減法的應用題與整數加減法的應用題的結構、數量關系和解題方法基本相同，所不同的只是在已知數或未知數中含有分數。 2 分數乘法應用題： 是指已知一個數，求它的幾分之幾是多少的應用題。 特征：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對應的實際數量。 解題關鍵：準確判斷單位“1”的量。找準要求問題所對應的分率，然后根據一個數乘分數的意義正確列式。 3 分數除法應用題： 求一個數是另一個數的幾分之幾（或百分之幾）是多少。 特征：已知一個數和另一個數，求一個數是另一個數的幾分之幾或百分之幾?！耙粋€數”是比較量，“另一個數”是標準量。求分率或百分率， 也就是求他們的倍數關系。 解題關鍵：從問題入手，搞清把誰看作標準的數也就是把誰看作了“單位一”，誰和單位一的量作比較，誰就作被除數。 甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比較量，乙是標準量，用甲除以乙。 甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分之 幾）或（百分之幾）。關系式（甲數減乙數）/乙數 或（甲數減乙數）/ 甲數 。 已知一個數的幾分之幾（或百分之幾 ） ,求這個數。 特征：已知一個實際數量和它相對應的分率，求單位“1”的量。 解題關鍵：準確判斷單位“1”的量把單位“1”的量看成 x 根據分數乘 法的意義列方程，或者根據分數除法的意義列算式，但必須找準和分率相 對應的已知實際 數量。 4 出勤率 發(fā)芽率=發(fā)芽種子數/試驗種子數×100% 小麥的出粉率= 面粉的重量/小麥的重量×100% 產品的合格率=合格的產品數/產品總數×100% 職工的出勤率=實際出勤人數/應出勤人數×100% 5 工程問題： 是分數應用題的特例，它與整數的工作問題有著密切的聯(lián)系。它是探討工作總量、工作效率和工作時間三個數量之間相互關系的一種應用題。 解題關鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時間的倒數， 然后根據題目的具體情況，靈活運用公式。 數量關系式： 工作總量=工作效率×工作時間 工作效率=工作總量÷工作時間 工作時間=工作總量÷工作效率 工作總量÷工作效率和=合作時間 6 納稅 納稅就是把根據國家各種稅法的有關規(guī)定，按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。 繳納的稅款叫應納稅款。 應納稅額與各種收入的（銷售額、營業(yè)額、應納稅所得額 ……）的比率叫做稅率。 利息 存入銀行的錢叫做本金。 取款時銀行多支付的錢叫做利息。 利息與本金的比值叫做利率。 利息=本金×利率×時間 第二章度量衡 一 長度 (一) 什么是長度 長度是一維空間的度量。 (二) 長度常用單位 公里(km) 米(m) 分米(dm) 厘米(cm) 毫米(mm) 微米(um) (三) 單位之間的換算 1 毫米 ＝1000 微米 1 厘米 ＝10 毫米 1 分米 ＝10 厘米 1 米 ＝1000 毫米 1 千米 ＝1000 米 二 面積 （一）什么是面積 面積就是物體所占平面的大小。對立體物體的表面的多少的測量一般稱 表面積。 （二）常用的面積單位 平方毫米 平方分米 平方厘米 平方米 平方千米 （三）面積單位的換算 1 平方厘米 ＝100 平方毫米 1 平方分米=100 平方厘米 1平方米 ＝100 平方分米 1 平方公里 ＝100 公頃 1 公傾 ＝10000 平方米 三 體積和容積 （一）什么是體積、容積 體積就是物體所占空間的大小。 箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。 （二）常用單位 1 - 體積單位 立方米 立方分米 立方厘米 2 容積單位 升 毫升 （三）單位換算 1 體積單位 1 立方米=1000 立方分米 1 立方分米=1000 立方厘米 2 容積單位 * 1 升=1000 毫升 1 升=1 立方米 毫升=1 立方厘米 四 質量 （一）什么是質量 質量，就是表示表示物體有多重。 （二）常用單位 噸 t 千克 kg 克g （三）常用換算 一噸=1000 千克 1 千克=1000 克 五 時間 （一）什么是時間 是指有起點和終點的一段時間 （二）常用單位 世紀 年 月 日 時 分 秒 （三）單位換算 1 世紀=100 年 一年=365 天 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有31 天 四、六、九、十一是小月 小月有 30 天 平年 2 月有 28 天 閏年 2 月有 29 天 1 天= 24 小時 1 小時=60 分 一分=60 秒 六 貨幣 （一）什么是貨幣 貨幣是充當一切商品的等價物的特殊商品。貨幣是價值的一般代表，可以購買任何別的商品。 （二）常用單位 元 角 分 （三）單位換算 1 元=10 角 1 角=10 分 第三章 代數初步知識 一、用字母表示數 1 用字母表示數的意義和作用 用字母表示數，可以把數量關系簡明的表達出來，同時也可以表示運算的結果。 2 用字母表示常見的數量關系、運算定律和性素、幾何形體的計算公式 （1） 常見的數量關系 路程用 s 表示，速度 v 用表示，時間用 t 表示，三者之間的關系： s=vt v=s/t t=s/v 總價用 a 表示，單價用 b 表示，數量用 c 表示，三者之間的關系: a=bc b=a/c c=a/b （2）運算定律和性素 加法交換律：a+b=b+a 加法結合律： （a+b）+c=a+(b+c) 減法的性素：a-(b+c) =a-b-c 乘法結合律：（ab）c=a(bc) 乘法交換律：ab=ba 乘法分配律：（a+b）c=ac+bc （3）用字母表示幾何形體的公式 長方形的長用 a 表示，寬用 b 表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示： c=2(a+b) s=ab 正方形的邊長 a 用表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示： c=4a s= a2 平行四邊形的底 a 用表示，高用 h 表示，面積用 s 表示： s=ah 三角形的底用 a 表示，高用 h 表示，面積用 s 表示： s=ah/2 梯形的上底用 a 表示，下底 b 表示，高用 h 表示，中位線用 m 表示，面積用 s 表示： s=(a+b)h/2 s=mh 圓的半徑用 r 表示，直徑用 d 表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示: c=d=2πr s=πr 2 扇形的半徑用 r 表示，n 表示圓心角的度數，面積用 s 表： s=πnr 2 /360 長方體的長用 a 表示，寬用 b 表示，高用 h 表示，表面積用 s 表示，體 積用 v 表示： v=sh s=2(ab+ah+bh) v=abh 正方體的棱長用 a 表示，底面周長 c 用表示，底面積用 s 表示， 體積用 v 表示： s=6a2 v=a3 圓柱的高用 h 表示，底面周長用 c 表示，底面積用 s 表示， 體積用 v表示： s 側=ch s 表=s 側+2s 底 v=sh - 圓錐的高用 h 表示，底面積用 s 表示， 體積用 v 表示. - v=sh/3 3用字母表示數的寫法 數字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作“.”或者省略 不寫， 數字要寫在字母的前面。 當“1”與任何字母相乘時，“1”省略不寫。 在一個問題中， 同一個字母表示同一個量， 不同的量用不同的字母表示。 用含有字母的式子表示問題的答案時，除數一般寫成分母，如果式子中有加號或者減號，要先用括號把含字母的式子括起來，再在括號后面寫上單位的名稱。 4 將數值代入式子求值 把具體的數代入式子求值時，要注意書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式， 再把數代入式子求值。 字母表示的是數， 后面不寫單位名稱。 同一個式子，式子中所含字母取不同的數值，那么所求出的式子的值也不相同。 二、簡易方程 （一）方程和方程的解 1 方程：含有未知數的等式叫做方程。 注意方程是等式，又含有未知數，兩者缺一不可。 方程和算術式不同。算術式是一個式子，它由運算符號和已知數組成， 它表示未知數。方程是一個等式，在方程里的未知數可以參加運算，并且只有當未知數為特定的數值時，方程才成立 。 2 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。 三、解方程 解方程，求方程的解的過程叫做解方程。 四、列方程解應用題 1 列方程解應用題的意義 用方程式去解答應用題求得應用題的未知量的方法。 2 列方程解答應用題的步驟 a弄清題意，確定未知數并用 x 表示； b找出題中的數量之間的等量關系； c列方程，解方程； d檢查或驗算，寫出答案。 3 列方程解應用題的方法 綜合法：先把應用題中已知數（量）和所設未知數（量）列成有關的代數式，再找出它們之間的等量關系，進而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過程，其思考方向是從已知推理到未知。 分析法：先找出等量關系，再根據具體建立等量關系的需要，把應用題中已知數（量）和所設的未知數（量）列成有關的代數式進而列出方程。 這是從整體到部分的一種思維過程，其思考方向是從未知推理到已知。 4 列方程解應用題的范圍 小學范圍內常用方程解的應用題： a 一般應用題； b 和倍、差倍問題； c 幾何形體的周長、面積、體積計算 d 分數、百分數應用題； e 比和比例應用題。 五 比和比例 1 比的意義和性素 （1） 比的意義 兩個數相除又叫做兩個數的比。 “：”是比號，讀作“比”。比號前面的數叫做比的前項，比號后面的 數叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。 同除法比較， 比的前項相當于被除數， 后項相當于除數， 比值相當于商。 比值通常用分數表示，也可以用小數表示，有時也可能是整數。 比的后項不能是零。 根據分數與除法的關系，可知比的前項相當于分子，后項相當于分母，比值相當于分數值。 （2）比的性素 比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數（0 除外），比值不變，這叫做比的基本性素。 （3）求比值和化簡比 求比