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第7章 光的衍射 一、選擇題 1(D)，2(B)，3(D)，4(B)，5(D)，6(B)，7(D)，8(B)，9(D)，10(B) 二、填空題 (1)． 1.2mm，3.6mm (2)． 2， 4 (3)． N 2， N (4)． 0，1，3，......... (5)． 5 (6)． 更窄更亮 (7)． 0.025 (8)． 照射光波長(zhǎng)，圓孔的直徑 (9)． 2.2410-4 (10)． 13.9 三、計(jì)算題 1. 在某個(gè)單縫衍射實(shí)驗(yàn)中，光源發(fā)出的光含有兩種波長(zhǎng)l1和l2，垂直入射于單縫上．假如l1的第一級(jí)衍射極小與l2的第二級(jí)衍射極小相重合，試問(wèn) (1) 這兩種波長(zhǎng)之間有何關(guān)系？ (2) 在這兩種波長(zhǎng)的光所形成的衍射圖樣中，是否還有其他極小相重合？ 解：(1) 由單縫衍射暗紋公式得 由題意可知 , 代入上式可得 (2) (k1 = 1, 2, ……) (k2 = 1, 2, ……) 若k2 = 2k1，則q1 = q2，即l1的任一k1級(jí)極小都有l(wèi)2的2k1級(jí)極小與之重合． 2. 波長(zhǎng)為600 nm (1 nm=10-9 m)的單色光垂直入射到寬度為a=0.10 mm的單縫上，觀察夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，透鏡焦距f=1.0 m，屏在透鏡的焦平面處．求： (1) 中央衍射明條紋的寬度D x0； (2) 第二級(jí)暗紋離透鏡焦點(diǎn)的距離x2 解：(1) 對(duì)于第一級(jí)暗紋， 有a sinj 1≈l 因j 1很小，故 tg j 1≈sinj 1 = l / a 故中央明紋寬度 Dx0 = 2f tg j 1=2fl / a = 1.2 cm (2) 對(duì)于第二級(jí)暗紋， 有 a sinj 2≈2l x2 = f tg j 2≈f sin j 2 =2f l / a = 1.2 cm 3. 如圖所示，設(shè)波長(zhǎng)為l的平面波沿與單縫平面法線成q角的方向入射，單縫AB的寬度為a，觀察夫瑯禾費(fèi)衍射．試求出各極小值(即各暗條紋)的衍射角j． 解：1、2兩光線的光程差，在如圖情況下為 由單縫衍射極小值條件 a(sinq －sinj ) = kl k = 1,2,…… 得 j = sin—1( kl / a+sinq ) k = 1,2,……(k 0) 4. (1) 在單縫夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)中，垂直入射的光有兩種波長(zhǎng)，l1=400 nm，l2=760 nm (1 nm=10-9 m)．已知單縫寬度a=1.010-2 cm，透鏡焦距f=50 cm．求兩種光第一級(jí)衍射明紋中心之間的距離． (2) 若用光柵常數(shù)d=1.010-3 cm的光柵替換單縫，其他條件和上一問(wèn)相同，求兩種光第一級(jí)主極大之間的距離． 解：(1) 由單縫衍射明紋公式可知 (取k＝1 ) , 由于 , 所以 ， 則兩個(gè)第一級(jí)明紋之間距為 =0.27 cm (2) 由光柵衍射主極大的公式 且有 所以 =1.8 cm 5.一衍射光柵，每厘米200條透光縫，每條透光縫寬為a=210-3 cm，在光柵后放一焦距f=1 m的凸透鏡，現(xiàn)以l=600 nm (1 nm=10-9 m)的單色平行光垂直照射光柵，求： (1) 透光縫a的單縫衍射中央明條紋寬度為多少？ (2) 在該寬度內(nèi)，有幾個(gè)光柵衍射主極大？ 解：(1) a sinj = kl tgj = x / f 當(dāng) x<< f時(shí)，, a x / f = kl , 取k= 1有 x= f l / a= 0.03 m ∴中央明紋寬度為 Dx= 2x= 0.06 m (2) ( a + b) sin j ( a＋b) x / (f l)= 2.5 取k = 2，共有k = 0，1，2 等5個(gè)主極大. 6. 用一束具有兩種波長(zhǎng)的平行光垂直入射在光柵上，l1=600 nm，l2=400 nm (1nm=10﹣9m)，發(fā)現(xiàn)距中央明紋5 cm處l1光的第k級(jí)主極大和l2光的第(k+1)級(jí)主極大相重合，放置在光柵與屏之間的透鏡的焦距f=50 cm，試問(wèn)： (1) 上述k=？ (2) 光柵常數(shù)d=？ 解：(1) 由題意,l1的k級(jí)與l2的(k+1)級(jí)譜線相重合所以 d sinj1=k l1，d sinj1= (k+1) l2 , 或 k l1 = (k+1) l2 (2) 因x / f很小， tg j1≈sin j1≈x / f 2分 ∴ d= kl1 f / x=1.2 10-3 cm 7. 氦放電管發(fā)出的光垂直照射到某光柵上，測(cè)得波長(zhǎng)l1=0.668 mm的譜線的衍射角為j=20。如果在同樣j角處出現(xiàn)波長(zhǎng)l2=0.447 mm的更高級(jí)次的譜線，那么光柵常數(shù)最小是多少？ 解：由光柵公式得 sinj= k1 l 1 / (a+b) = k2 l 2 / (a+b) k1 l 1 = k2 l 2 k2 / k1 = l 1/ l 2=0.668 / 0.447 將k2 / k1約化為整數(shù)比 k2 / k1=3 / 2=6 / 4=12 / 8 ...... 取最小的k1和k2 ， k1=2，k2 =3， 則對(duì)應(yīng)的光柵常數(shù) (a + b) = k1 l 1 / sinj =3.92 mm 8. 氫放電管發(fā)出的光垂直照射在某光柵上，在衍射角j =41的方向上看到l1=656.2 nm和l2=410.1 nm(1nm=10-9m)的譜線相重合，求光柵常數(shù)最小是多少？ 解：(a+b) sinj = k l 在j =41處， k1l1= k2l2 k2 / k1 =l1 / l2 =656.2 / 410.1=8 / 5=16 / 10=24 / 15= ........ 取k1=5，k2=8，即讓l1的第5級(jí)與l2的第8級(jí)相重合 ∴ a＋b= k1l1/sinj =510-4 cm 四 研討題 1. 假設(shè)可見(jiàn)光波段不是在，而是在毫米波段，而人眼睛瞳孔仍保持在左右，設(shè)想人們看到的外部世界是什么景象？ 參考解答： 將人的瞳孔看作圓孔。圓孔衍射中央極大的半角寬度與入射波長(zhǎng)和衍射孔徑線度的關(guān)系是。 當(dāng)衍射孔徑與波長(zhǎng)的量級(jí)差不多時(shí)衍射最顯著，入射光經(jīng)衍射后完全偏離原來(lái)直線傳播的方向，廣能幾乎分布在衍射后的整個(gè)空間。由于衍射，使一個(gè)物點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)圓孔后，在觀察屏上不再是一個(gè)清晰的像點(diǎn)，而是一個(gè)相當(dāng)大的衍射斑。 如果，則，每個(gè)物點(diǎn)經(jīng)圓孔后就是一個(gè)清晰的像點(diǎn)。 在我們的生活的世界，可見(jiàn)光波長(zhǎng)的大小和人眼瞳孔的孔徑配合得是非常巧妙的，“天然地”滿足的條件，物體在視網(wǎng)膜上成像時(shí)就可以不考慮瞳孔的衍射，而認(rèn)為光線是直線傳播，那么物體上的任一物點(diǎn)通過(guò)眼睛的水晶體成像到視網(wǎng)膜上的像也是一個(gè)點(diǎn)，我們就可以清楚地分辨眼前的景物了。 而如果可見(jiàn)光的波長(zhǎng)也變成毫米量級(jí)，則波長(zhǎng)與瞳孔孔徑大小可比，每個(gè)物點(diǎn)在視網(wǎng)膜上的像將不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)很大的衍射斑，以至于無(wú)法把它們分辨出來(lái)，人們看不到目前所看到的物體形狀了，而是一片模糊的景象。 2. 某光學(xué)顯微鏡的數(shù)值孔徑N.A.=1.5，試估算它的有效放大率Vmin. 參考解答： 分析：顯微鏡是助視光學(xué)儀器,應(yīng)該針對(duì)人眼進(jìn)行設(shè)計(jì).人眼的最小分辨角,一般人眼能分辨遠(yuǎn)處相隔的兩條刻線，或者說(shuō)，在明視距離(相隔人眼)處相隔的兩條刻線.人眼敏感的波長(zhǎng)是. 合理的設(shè)計(jì)方案是把顯微鏡的最小分辨距離放大到明視距離的,這樣才能充分利用鏡頭的分辨本領(lǐng). 解題：本題條件下的光學(xué)顯微鏡的最小分辨距離為 按合理設(shè)計(jì)將其放大到明視距離可分辨的dye=0.075mm. 所以 倍, 實(shí)際放大率還可設(shè)計(jì)得比這數(shù)值更高些，譬如500倍，以使人眼看得更舒服些. 3. 在地面進(jìn)行的天文觀測(cè)中，光學(xué)望遠(yuǎn)鏡所成星體的像會(huì)受到大氣密度漲落的影響（所以要發(fā)射太空望遠(yuǎn)鏡以排除這種影響），而無(wú)線電天文望遠(yuǎn)鏡則不會(huì)受到這種影響。為什么？ 參考解答： 星體輻射的光在進(jìn)入望遠(yuǎn)鏡的路徑中必然通過(guò)大氣層，所以必須考慮大氣分子的衍射對(duì)圖像質(zhì)量的影響。 教材中的理論已經(jīng)指出，衍射物的線度與入射波波長(zhǎng)愈相近，衍射現(xiàn)象愈明顯；衍射物線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于入射波波長(zhǎng)時(shí)可不考慮衍射。 大氣粒子的平均線度在納米量級(jí)上下，光波的波長(zhǎng)是百納米量級(jí)，大氣微粒的線度與光波的波長(zhǎng)可比，所以對(duì)光波的衍射作用顯著，直接影響觀測(cè)圖像。隨著大氣密度的漲落，圖樣也將隨著變化，所以用光學(xué)望遠(yuǎn)鏡就無(wú)法準(zhǔn)確地獲得星體的圖像。 無(wú)線電波長(zhǎng)在微米到米的量級(jí)，大氣粒子的平均線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于無(wú)線電波的波長(zhǎng)，觀測(cè)中可忽略衍射的影響。所以在天文觀測(cè)中無(wú)線電天文望遠(yuǎn)鏡就可不受大氣密度漲落的影響，從而可精確獲得星體的圖像。 4. 近年來(lái)出現(xiàn)了一種新的光測(cè)應(yīng)變方法——衍射光柵法，請(qǐng)查閱金屬材料應(yīng)變測(cè)量衍射光柵法的相關(guān)資料，說(shuō)明其基本原理。 參考解答： 對(duì)大多數(shù)實(shí)用金屬而言, 在彈性加載下其變形非常小. 這樣, 細(xì)觀變形測(cè)量的諸多光測(cè)方法在一定程度上受到限制. 近年來(lái)出現(xiàn)了一種新的光測(cè)應(yīng)變方法——衍射光柵法. 其基本思想是在試件表面欲測(cè)處貼上低頻正交光柵, 通過(guò)測(cè)取試件變形前后正交光柵變形來(lái)獲取試件測(cè)點(diǎn)處的應(yīng)變量. 具體測(cè)量方式是通過(guò)光學(xué)中的衍射效應(yīng), 用細(xì)激光束垂直照射光柵, 產(chǎn)生衍射點(diǎn)陣, 通過(guò)對(duì)衍射點(diǎn)陣的測(cè)量, 就可以獲得應(yīng)變的信息. 衍射光柵法測(cè)量應(yīng)變的基本原理： 如圖所示, 在試件表面欲測(cè)處貼上正交光柵應(yīng)變片, 當(dāng)一束細(xì)激光束垂直照射測(cè)點(diǎn)時(shí), 光柵將使反射光發(fā)生衍射, 衍射光線在接收屏上形成點(diǎn)陣. 衍射點(diǎn)的位置與光柵柵距的關(guān)系可由光柵方程導(dǎo)出 式中: m為衍射級(jí)次,qm為m級(jí)衍射光線與光柵法線方向的夾角, d為柵距,l為激光波長(zhǎng). 當(dāng)試件受力變形后, 光柵柵距發(fā)生變化, d變?yōu)閐′, 則變形前后沿垂直于該組柵線方向的線應(yīng)變?yōu)? 由衍射光柵法基本光路圖可知 將其代入上式可知 ，此即衍射光柵法測(cè)量應(yīng)變的基本公式。