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《直線與平面垂直的判定》教學設計 一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 本節(jié)課是在學生學習了空間點、直線、平面之間的位置關系和直線、平面平行的判定及其性質(zhì)之后進行的，其主要內(nèi)容是直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理及其應用。直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中直線與直線垂直位置關系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎，是空間中垂直位置關系間轉化的重心，同時它又是直線和平面所成的角、直線與平面、平面與平面距離等內(nèi)容的基礎，因而它是空間點、直線、平面間位置關系中的核心概念之一。 直線與平面垂直是通過直線和平面內(nèi)的任意一條直線（無一例外）都垂直來定義的，定義本身也表明了直線與平面垂直的意義，即如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的所有直線，這也可以看成是線線垂直的一個判定方法；直線與平面垂直的判定定理，本節(jié)是通過折紙試驗來感悟的，即一條直線只要與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直就可以判定直線與平面垂直了，它把原來定義中要求與任意一條（無限）垂直轉化為只要與兩條（有限）相交直線垂直就行了，概言之，線不在多，相交就行。直線與平面垂直的判定方法除了定義法、判定定理外，還有如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面，這是直線與平面 垂直判定的一種間接方法，也是十分重要的。 本節(jié)學習內(nèi)容蘊含豐富的數(shù)學思想，即“空間問題轉化為平面問題”，“無限轉化為有限”“線線垂直與線面垂直互相轉化”等數(shù)學思想。直線與平面垂直是研究空間中的線線關系和線面關系的橋梁，為后繼面面垂直的學習、距離的學習奠定基礎。 二、學情分析 （1）學生的起點能力分析 學生已有的認知基礎是熟悉的日常生活中的具體直線與平面垂直的直觀形象（學生的客觀現(xiàn)實）和直線與直線垂直的定義、直線與平面平行的判定定理等數(shù)學知識結構（學生的數(shù)學現(xiàn)實），這為學生學習直線與平面垂直定義和判定定理等新知識奠定基礎。 學生學習的困難在于如何從直線與平面垂直的直觀形象中提煉出直線與平面垂直的定義，感悟直線與平面垂直的意義；以及如何從折 紙試驗中探究出直線與平面垂直的判定定理。 （2）學習行為分析 本節(jié)課安排在立體幾何的初始階段，是學生空間觀念形成的關鍵時期，課堂上學生通過感知、觀察、提煉直線與平面垂直的定義，進而通過辨析討論，深化對定義的理解。進一步，在一個具體的數(shù)學問題情境中猜想直線與平面垂直的判定定理，并在教師的指導下，通過動手操作、觀察分析、自主探索等活動，切身感受直線與平面垂直判定定理的形成過程,體會蘊涵在其中的思想方法。繼而，通過課本例1的學習概括直線與平面垂直的幾種常用判定方法。再通過練習與課后小結，使學生進一步加深對直線與平面垂直的判定定理的理解。 三、教學目標 知識與技能目標：通過觀察圖片和折紙試驗，使學生理解直線與平面垂直的定義，歸納和確認直線與平面垂直的判定定理，并能簡單應用定義和判定定理； 過程與方法目標：通過對判定定理的探究和運用，初步培養(yǎng)學生的幾何直觀能力和抽象概括能力； 情感態(tài)度與價值觀目標：通過對探索過程的引導，努力提高學生學習 數(shù)學的熱情，培養(yǎng)學生主動探究的習慣． 四、教學重難點 教學重點：對直線與平面垂直的定義和判定定理的理解及其簡單應用。 教學難點：探究、歸納直線與平面垂直的判定定理，體會定義和定理中所包含的轉化思想． 五、教學方式 啟發(fā)式與試驗探究式相結合。 六、教學過程設計 （一）、觀察歸納直線與平面垂直的定義 1、直觀感知 問題1：請同學們觀察圖片，說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置 關系？你能舉出一些類似的例子嗎？ 設計意圖：從實際背景出發(fā)，直觀感知直線和平面垂直的位置關系，使學生在頭腦中產(chǎn)生直線與地面垂直的初步印象，為下一步的數(shù)學抽象做準備。 師生活動：觀察圖片，引導學生舉出更多直線與平面垂直的例子，如教室內(nèi)直立的墻角線和地面位置關系，桌子腿與地面的位置關系，直立書的書脊與桌面的位置關系等，由此引出課題。 2、觀察思考 思考：如何定義一條直線與一個平面垂直呢？ 我們已經(jīng)學過直線和平面平行的判定和性質(zhì)，知道直線和平面平行的問題可轉化為考察直線和平面內(nèi)直線平行的關系, 直線和平面垂直的問題同樣可以轉化為考察一條直線和一個平面內(nèi)直線的關系，然后加以解決。 問題2：（1）如圖1，在陽光下觀察直立于地面旗桿AB及它在地面的影子BC，旗桿所在的直線與影子所在直線位置關系是什么？ （2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線B1C1的位置關系又是什么？ 設計意圖：引導學生用“平面化”的思想來思考問題，通過觀察，感知直線與平面垂直的本質(zhì)屬性。 師生活動：教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時間的變化而移動的過程，引導學生得出旗桿所在直線與地面內(nèi)的直線都垂直。 3、抽象概括 問題3、通過上述觀察分析，你認為應該如何定義一條直線與一個平面垂直？ 設計意圖：讓學生歸納、概括出直線與平面垂直的定義。 師生活動：學生思考作答，教師補充完善，指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同意詞，定義是說這條直線和平面內(nèi)所有直線垂直。同時給出線面垂直的記法與畫法。 定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線 l與平面α互相垂直，記作： l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足。 畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖2。 4、辯析舉例 辨析：下列命題是否正確，為什么？ （1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直。 （2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的任一直線。 設計意圖：通過問題辨析，加深概念的理解，掌握概念的本質(zhì)屬性。由（1）使學生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思，定義的實質(zhì)就是直線與平面內(nèi)所有直線都垂直。由（2）使學生明確，線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質(zhì)，線線垂直與線面垂直可以相互轉化。 師生活動：命題（1）判斷中引導學生用鐵絲表直線，用三角板兩直角邊表兩垂直直線，桌面表平面舉出反例。教師利用三角板和教鞭進行演示，將一塊大直角三角板的一條直角邊AC放在講臺上演示，這時另一 條直角邊BC就和講臺上的一條直線（即三角板與桌面的交線AC）垂直，但它不一定和講臺桌面垂直.在此基礎上在講臺上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移動，那么BC始終和EF垂直，但它不一定和講臺桌面垂直，最后教師用多媒體課件展示反例的直觀圖，如圖3。 由命題（2）給出下列常用命題： 這個命題體現(xiàn)了平行關系與垂直關系的聯(lián)系，它是判斷線線垂直的常用方法。 （二）、探究發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理 1、觀察猜想 思考：我們該如何檢驗學校廣場上的旗桿是否與地面垂直？ 雖然可以根據(jù)定義判定直線與平面垂直，但這種方法實際上難以實施。有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？ 問題4、觀察跨欄、簡易木架等實物，你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎？ 設計意圖：通過問題思考與實例分析，尋找具有可操作性的判定方法，體驗有限與無限之間的辯證關系。 師生活動：引導學生觀察思考，給出猜想：一條直線與一個平面內(nèi)兩相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。 2、操作確認 問題5：如圖4，請同學們拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.觀察并思考： （1）折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？ （2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關系，即AD⊥CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結論？ 設計意圖：通過實驗，引導學生獨立發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的條件，培養(yǎng)學生的動手操作能力和幾何直觀能力。 師生活動：在折紙試驗中，學生會出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導學生進行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因。學生再次折紙，進而探究直線與平面垂直的條件，經(jīng)過討論交流，使學生發(fā)現(xiàn)只要保證折痕AD是BC邊上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就與桌面垂直，再利用多媒體演示翻折過程，增強幾何直觀性。 3、合情推理 問題6：根據(jù)上面的試驗，結合兩條相交直線確定一個平面的事實，你能給出直線與平面垂直的判定方法嗎？ 設計意圖：引導學生根據(jù)直觀感知及已有知識經(jīng)驗，進行合情推理，獲得判定定理。 師生活動：教師引導學生回憶出“兩條相交直線確定一個平面”，以及直觀過程中獲得的感知，將“與平面內(nèi)所有直線垂直”逐步歸結到“與平面內(nèi)兩條相交直線垂直”，進而歸納出直線與平面垂直的判定定理。同時指出要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關緊要的.定理充分體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉化的數(shù)學思想。 定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。 用符號語言表示為： 4、質(zhì)疑深化 辨析：如果一條直線與一個梯形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面嗎？ 設計意圖：通過辨析，強化定理中“兩條相交直線”的條件。 師生活動：學生思考作答，教師再次強調(diào)“相交”條件。 （三）、直線與平面垂直的判定定理的初步應用 嘗試練習1、求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。 設計意圖：初步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運用線面垂直判定定理的條件。 師生活動：學生根據(jù)題意畫圖（如圖6），將其轉化為幾何命題：不妨設a⊥AC,a⊥BC求證：a⊥AB。請兩位同學板演，其余同學在練習本上完成，師生共同評析，明確運用線面垂直判定定理時的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相交”的條件。 嘗試練習2、如圖7，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。 設計意圖：進一步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直，體會轉化思想在證題中的作用，發(fā)展學生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力。 師生活動：教師引導學生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可用判定定理證，提示輔助線的添法，將思路集中在如何在平面內(nèi)α內(nèi)找到兩條與直線b垂直的相交直線上。另外，再引導學生將已知條件具體化的過程中，逐步明確根據(jù)異面直線所成角的概念解決問題。學生練習本上完成，對照課本P73例1,完善自己的解題步驟。同時指出：本例結果可以作為直線和平面垂直的又一個判定定理.這樣判定一條直線與已知平面垂直，可以用這條直線垂直于平面兩條相交直線來證明，也可以用這條直線的平行直線垂直于平面來證明. （四）、總結反思 （1）通過本節(jié)課的學習，你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？ （2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)的什么數(shù)學思想？ （3）關于直線與平面垂直你還有什么問題？ 設計意圖：培養(yǎng)學生反思的習慣，鼓勵學生對問題多質(zhì)疑、多概括。 師生活動：學生發(fā)言，互相補充，教師點評完善，歸納出判斷直線與平面垂直的方法，給出框圖（投影展示）。 七、目標檢測設計 1、如圖，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD. 求證：PO⊥平面ABCD 2、課本P74 練習1、2 3、課本P86 A組10 4、如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，則圖中有幾個直角三角形?由此你認為三棱錐中最多有幾個直角三角形？ （板書設計）