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對《變量與函數》的教學研究 鄭超予 一．內容和內容解析 【內容】變量與函數的概念 【內容解析】 “14.1變量與函數”是人教版義務教育課程標準實驗教科書八年級上冊第十四章第一單元，本設計是第1課時，引導學生從生活實例中抽象出常量、變量與函數等概念，其中函數的概念是本節(jié)核心內容．函數概念的核心是兩個變量間的特殊對應關系：（1）由哪一個變量確定另一個變量；（2）唯一對應關系.如果直接研究某個量y有一定困難，我們可以去研究另一個與之有關的量x，從而達到研究的目的.這也是一種化繁為簡的轉化思想。 本節(jié)課是函數入門課，首先必須準確認識變量與常量的特征，初步感受到現實世界各種變量之間聯系的復雜性，同時感受到研究主要從化繁就簡入手，在初中階段主要研究兩個變量之間的特殊對應關系．本設計把重點放在認識“兩個變量間的特殊對應關系：由哪一個變量確定另一變量；唯一確定的含義?！?而函數圖象較為直觀形象，有助于學生理解函數的概念，因此把函數圖象中的部分內容提前到本課時學習。 二．目標和目標解析 【目標】理解常量、變量與函數的概念． 【目標解析】 （1）借助簡單實例，學生初步感知用常量與變量來刻畫一些簡單的數學問題，能指出具體問題中的常量、變量．初步理解存在一類變量可以用函數方式來刻畫，能舉出涉及兩個變量的實例，并指出由哪一個變量確定另一個變量，這兩個變量是否具有函數關系。初步理解對應的思想，體會函數概念的核心是兩個變量之間的特殊對應關系，能判斷兩個變量間是否具有函數關系。 （2）借助簡單實例，引領學生參與變量的發(fā)現和函數概念的形成過程,體會從生活實例抽象出數學知識的方法，感知現實世界中變量之間聯系的復雜性，數學研究從最簡單的情形入手，化繁為簡。 （3）從學生熟悉、感興趣的實例引入課題，引領學生參與變量的發(fā)現和函數概念的形成過程,體驗“發(fā)現、創(chuàng)造”數學知識的樂趣。學生初步感知實際生活蘊藏著豐富的數學知識，感知數學是有用、有趣的學科。 三、教學問題診斷分析 變量與函數的概念把學生由常量數學的學習引入變量數學學習中。學生知道代數式中的字母可以表示數，方程中的未知數求出來后也是一個“已知數”，從“靜態(tài)”的角度理解字母所表示的數，另外，學生在日常生活中也接觸到函數圖象、兩個變量的關系等樸素的函數關系的生活實例。但是學生初次接觸函數的概念，難以理解定義中“唯一確定”的準確含義。 【教學重點】借助簡單實例，從兩個變量間的特殊對應關系抽象出函數的概念。 【教學難點】怎樣理解“唯一對應”． 四、教學過程設計 （一）導言： 我們生活在一個運動的世界中，周圍的事物都是運動的，例如：地球在宇宙中的運動這一問題，此時地球在宇宙中的位置隨著時間的變化而變化，這是生活中的常識，學生都很容易理解。再例如，氣溫隨著高度的升高而降低，年齡隨著時間的增長而增長。 這幾個問題中都涉及兩個量的關系，地球的位置與時間，溫度與高度，年齡與時間。 【設計意圖】從學生的生活入手，開門見山，在極短的時間(一兩分鐘)內指明本節(jié)課的學習內容?，F實世界中各種量之間的聯系紛繁復雜，應向學生說明我們數學的研究方法是化繁就簡，本節(jié)課只關注一類簡單的問題。 （二）概念的引入 1.票房收入問題：每張電影票的售價為10元。 （1）若一場售出150張電影票，則該場的票房收入是 元；若售出205張、310張呢？ （2）若一場售出x張電影票，則該場的票房收入y元，則y= 。 思考： （1）票房收入隨售出的電影票變化而變化，即y隨 的變化而變化； （2）當售出票數x取定一個確定的值時，對應的票房收入y的取值是否唯一確定？ 2．行程問題：汽車以60千米/小時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時間為t小時.請根據題意填表： 思考： 行駛路程隨 的變化而變化，有關系式s= ，即s隨 的變化而變化； 3.氣溫問題：圖一是北京春季某一天的氣溫Ｔ隨時間t變化的圖象，看圖回答： （1）這天的8時的氣溫是 ℃，14時的氣溫是 ℃，最高氣溫是 ℃，最低氣溫是 ℃； （3）這一天中，在4時~12時，氣溫（ ），在16時~24時，氣溫（ ）。 A.持續(xù)升高 B.持續(xù)降低 C.持續(xù)不變 思考： （1）天氣溫度隨 的變化而變化，即T隨 的變化而變化； （2）當時間t取定一個確定的值時，對應的溫度T的取值是否唯一確定？ 【設計意圖】這三個問題中都含有變量之間的單值對應關系，通過研究這些問題引出常量、變量、函數等概念，通過這種從實際問題出發(fā)開始討論的方式，使學生體驗從具體到抽象地認識過程。問題的形式有填空、列表、求值、寫解析式、讀圖等，隱含著在函數關系中表示兩個變量的對應關系有解析法、列表法、圖象法。 （三）概念的界定 思考：上述三個問題中，分別涉及哪些量的關系？那些量是變化的？那些量是不變的？哪個量的變化導致另一個量的變化而變化？在一個問題中，當一個量取了確定的值之后，另一個量對應的能取幾個值？ 在上面的三個問題中，其中一個量的變化引起另一個量的變化（按照某種規(guī)律變化），變化的量叫做變量；有些量的值始終不變（例如電影票的單價10元……）．并且當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就隨之確定，且它的對應值只有一個。 教師根據學生的回答，在黑板上板書： 售出票數－－－－票房收入 行駛時間－－－－行駛路程 時間－－－－－－－－氣溫 學生們會得出： 師生對上述三個問題進行分析，找出它們的共性，歸納出函數的概念。 在某一變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y總有唯一的值與它對應，我們就說x是自變量，y是x的函數。 【設計意圖】（1）如何把具體的實例進行抽象，形式化為數學知識是本課的關鍵。這里提出的問題“上述三個問題中，分別涉及哪些量的關系？通過哪一個量可以確定另一個量？”是一個關鍵的“腳手架”，借助“腳手架”，學生經歷數學概念的形成過程，引導學生認識為什么要引進變量、常量、函數的概念，逐步了解如何給數學概念下定義。（2）此處板書是“腳手架”的重要組成部分，揭示“兩個量的對應關系”。 問題回顧：指出前面三個問題中涉及到的量，并指出其中的變量、常量、自變量與函數。 【設計意圖】鞏固常量、變量、自變量、函數的概念。 例1 一個三角形的底邊為5，這一邊上的高h可以任意伸縮。 （1）高h的變化會引起三角形中哪些量發(fā)生變化？這些變量是高h的函數嗎？ （2）試求面積s隨h變化的關系式，并指出其中的常量、變量與自變量。 例2 如果用r表示圓的半徑，半徑r的變化會引起圓中哪些量發(fā)生變化？這些變量是半徑r的函數嗎？ 【設計意圖】例1、例2的引入用幾何畫板做動態(tài)演示。此兩例引導學生體會幾何問題中兩個變量在動態(tài)變化過程中的依存關系。 例3 問題1中，售出票數是票房的函數嗎？問題2中，學號x是成績f的函數嗎？ 【設計意圖】（1）引導學生從逆向思維的角度進行思考，更全面地理解函數的概念。（2）培養(yǎng)學生逆向思維的習慣。（3）讓學生對這三個問題留下更深刻的印象，特別是“成績問題，”它將在函數這一章書的教學中反復被引用，幫助學生深入理解函數的概念。 （4） 概念鞏固 1.請同學們找出這些函數的常量、變量、自變量和函數： (1) y =3000-300x； (2) y=x； (3) S= ； 解：(1)常量是3000，－300；變量是x，y；自變量是x；y是x的函數。 (2)常量是1；變量是x，y；自變量是x；y是x的函數。 (3)常量是π；變量是r，s；自變量是r；s是r的函數。 2. 根據所給的 條件，寫出y與x的函數關系式： ① y 比 x的1/3 少2。 ② y 是 x的倒數的4倍。 ③ 矩形的周長是18 cm ,它的長是ycm，寬是x cm。 ④ 等腰三角形的頂角度數y與底角x的關系。 【設計意圖】（1）例題和鞏固練習，鞏固變量與函數等概念，讓學生充分體會到許多問題中的變量關系都存在著函數關系，隱含著在函數關系中表示兩個變量的對應關系有解析法、列表法、圖象法。（2）練習二提出具有實際背景的問題有利于學生理解函數，在理解了函數的基礎上，讓學生自己根據題意寫出函數關系。 （五）概念辨析 1.兩個變量x、y滿足關系式，填表并回答問題： y是x的函數嗎？為什么？ 2.下列各圖中，表示y是x的函數的有_________________（可以多選）。 3．你能舉出涉及兩個變量的例子嗎？它們具有函數關系嗎？ 【設計意圖】理解函數概念的核心是“①由哪一個變量確定另一個變量；②唯一對應關系”，給定自變量x的任意一個值就有唯一確定的y的值和它對應，這樣的對應可以是“自變量的一個取值對應因變量的一個取值”（簡稱“一對一”），也可以是“自變量的多個取值對應因變量的同一個取值”（簡稱“多對一”），但不可以是“自變量的同一個取值對應因變量的多個取值”（簡稱“一對多”）。 （六）質疑、小結 1．這一節(jié)課你有什么收獲？還有什么疑問？你可以編一道題考一考同學，也可以向同學請教。 2．函數是一種“數”嗎？ 【設計意圖】通過小結，讓學生抓住函數概念的實質。 9