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承諾書 我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則. 我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。 我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。 我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。 投資收益和風(fēng)險問題的分析 摘 要 在現(xiàn)代商業(yè)、金融的投資中，任何理性的投資者總是希望收益能夠取得最大化，但是他也面臨著不確定性和不確定性所引致的風(fēng)險。而且，大的收益總是伴隨著高的風(fēng)險。在有很多種資產(chǎn)可供選擇，又有很多投資方案的情況下，投資越分散，總的風(fēng)險就越小。為了同時兼顧收益和風(fēng)險，追求大的收益和小的風(fēng)險構(gòu)成一個兩目標(biāo)決策問題，依據(jù)決策者對收益和風(fēng)險的理解和偏好將其轉(zhuǎn)化為一個單目標(biāo)最優(yōu)化問題求解。隨著投資者對收益和風(fēng)險的日益關(guān)注,如何選擇較好的投資組合方案是提高投資效益的根本保證。傳統(tǒng)的投資組合遵循“不要將所有的雞蛋放在一個藍子里”的原則,將投資分散化。 關(guān)鍵詞：投資；收益；風(fēng)險；數(shù)學(xué)建模 0問題提出 市場上有n種資產(chǎn)si (i = 1,2, ,n)可以選擇，現(xiàn)用數(shù)額為M的 相當(dāng)大的資金作一個時期的投資。這 n 種資產(chǎn)在這一時期內(nèi)購買 的 si 平均收益率為ri ，風(fēng)險損失率為 qi ，投資越分散，總的風(fēng) 險越少，總體風(fēng)險可用投資的si中最大的一個風(fēng)險來度量。購買 si時要付交易費（費率pi），當(dāng)購買額不超過給定值ui 時，交易 費按購買ui計算。另外，假定同期銀行存款利率是r0，既無交易 費又無風(fēng)險。（r0 = 5%） Table:已知n=4時相關(guān)數(shù)據(jù) Si ri(%) qi(%) pi(%) ui S1 28 2.5 1 103 S2 21 1.5 2 198 S3 23 5.5 4.5 52 S4 25 2.6 6.5 40 1問題分析 這是一個優(yōu)化問題，要決策的是向每種資產(chǎn)的投資額，即所謂投資組合，要達到的目標(biāo)有二，凈收益最大和整體風(fēng)險最小。一般來說這兩個目標(biāo)是矛盾的，收益大，風(fēng)險必然也大；反之亦然，所以不可能給出這兩個目標(biāo)同時達到最優(yōu)的所謂的完美決策，我們追求的只能是滿足投資者本身要求的投資組合，即在一定風(fēng)險下收益最大的決策，或在一定收益下風(fēng)險最小的決策，或收益和風(fēng)險按一定比例組合最優(yōu)的決策。冒險性投資者會從中選擇高風(fēng)險下收益最大的決策，保守型投資者則可從低風(fēng)險下的決策中選取。 建立優(yōu)化問題的模型最主要的是用數(shù)學(xué)符號和式子表述決策變量、構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和確定約束條件。對于本題決策變量是明確的，即對Si (i=0,1，…，n)的投資份額（S0表示存入銀行），目標(biāo)函數(shù)之一是總風(fēng)險最大，目標(biāo)函數(shù)之二是總風(fēng)險最小，而總風(fēng)險用投資資產(chǎn)Si中的最大的一個風(fēng)險衡量。約束條件應(yīng)為總資金M的限制。 2 模型假設(shè) 1. 投資數(shù)額M相當(dāng)大，為了便于計算，假設(shè)M=1； 2. 投資越分散，總的風(fēng)險越?。? 3. 總體風(fēng)險用投資項目si中最大的一個風(fēng)險來度量； 4. n種資產(chǎn)si之間是相互獨立的； 5. 在投資的這一時期內(nèi)，ri、pi、qi、r0為定值，不受意外因素影響； 6. 凈收益和總體風(fēng)險只受ri、pi、qi影響，不受其他因素干擾。 3 符號說明 si—第i種投資項目，如股票、債券等，s0表示不投資 ri，pi,qi—分別為si的平均收益率，風(fēng)險損失率，交易費率 ui—si的交易定額 r0—同期銀行利率 xi—投資項目si的資金 a— 投資風(fēng)險度 Q—總體收益 ?Q—總體收益的增量 4模型建立 在實際投資中，投資者承擔(dān)風(fēng)險的程度不一樣，若給定風(fēng)險一個界限a，使最大的一個風(fēng)險qixiM≤a,可找到相應(yīng)的投資方案。將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)線性規(guī)劃。 模型一：固定風(fēng)險水平，優(yōu)化收益模型 max i=0n(ri-pi)xi qixiM ≤a s.t. i=0n(1+pi)xi=M xi≥0，i=0,1,…,n 若投資者希望總盈利至少達到k以上，在風(fēng)險最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合。 模型二：固定盈利水平，極小化風(fēng)險模型 min{max{qixi}} i=0n(ri-pi)xi≥k s.t. i=0n(1+pi)xi=M xi≥0，i=0,1,…,n 投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險和預(yù)期收益兩方面后，希望選擇一個令自己滿意的投資組合。 模型三：均衡模型 mins{max{qixi}}-(1-s)i=0n(ri-pi)xi i=0n1+pixi=M s.t. xi≥0,i=0，1，…，n 其中s為投資偏好系數(shù)。 5模型求解 模型一： 0.025x1≤x5 0.015x2≤x5 s.t. 0.055x3≤≤x5 0.026x4≤x5 x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1 xi≥0，i=0,1,…,n 模型二: 假定 qi.xi≤x5 （1） 要求：在收益一定k的情況下，所冒的風(fēng)險最小 qi.xi≤x5 x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4+0=1 0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4+0≥k 0.025x1≤x5 0.015x2≤x5 0.055x3≤x5 0.026x4≤x5 模型三： xiqi<=x5 x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1 0.025x1≤x5 0.015x2≤x5 0.055x3≤x5 0.026x4≤x5 6 模型結(jié)果分析與檢驗 模型一： 1.風(fēng)險大，收益也大。 2．當(dāng)投資越分散時，投資者承擔(dān)的風(fēng)險越小，這與題意一致。冒險的投資者會出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。 3.曲線上的任一點都表示該風(fēng)險水平的最大可能收益和該收益要求的最小風(fēng)險?？梢葬槍Σ煌L(fēng)險的承受能力，選擇該風(fēng)險水平下的最有投資組合。 4.在a=0.006附近有一個轉(zhuǎn)折點，在這一點左邊，風(fēng)險增加很少時，利潤增長很快；在這一點右邊，風(fēng)險增加很大時，利潤增長很緩慢。對于風(fēng)險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點作為最優(yōu)投資組合，大約是a=0.6%，Q=20%，所對應(yīng)投資方案為：風(fēng)險度：0.006，收益：0.2019，x0:0,x1:0.24,x2:0.4,x3:0.1091,x4:0.2212 模型二： 1.風(fēng)險越大，收益越大。 2.當(dāng)投資越分散時，投資者承擔(dān)的風(fēng)險越小，這與題意一致。冒險的投資者會出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。 3.根據(jù)曲線的走勢，我們可以看到曲線剛開始的時候風(fēng)險增長緩慢，收益增長很快，當(dāng)達到曲線的拐點時，風(fēng)險增長很快。對于抗風(fēng)險能力較弱的投資者來說，應(yīng)該講拐點作為最有投資組合。x5:0.2,風(fēng)險度：0.006. 模型三： 1. 我們通過s來將風(fēng)險與收益加權(quán)，來選擇最優(yōu)組合。 2. 模型三的曲線收益隨著s的增大而減小，我們可以通過觀察圖形的斜率來觀察s與Q之間的關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)曲線在s為0.8左右的時候出現(xiàn)拐點，我們可以通過這一點來選擇投資組合，獲得較高收益。 7模型的評價與推廣 本文我們建立了投資收益與風(fēng)險的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，通過建立模型一、模型二、模型三分別來使收益最大，保證收益的同時使風(fēng)險最小，模型一和模型二都是先固定一個量然后研究另一個量，而模型三是引入一個偏好系數(shù)使風(fēng)險與收益之間找到平衡點，并使用Matlab求解，所得結(jié)果具有一定的指導(dǎo)意義。 但是，本文沒有討論收益和風(fēng)險的評估方法，在實際應(yīng)用中還存在資產(chǎn)相關(guān)的情形，此時用最大風(fēng)險代表組合投資的風(fēng)險未必合理，因此對不同風(fēng)險度量下的最優(yōu)投資組合進行比較研究是進一步的改進方向。 附錄 模型一： Matlab clc,clear a=0; while a<0.05 c=[-0.05;-0.27;-0.19;-0.185;-0.185]; A=diag([0,0.025,0.015,0.055,0.026]); b=a*ones(5,1); Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065]; beq=1; lb=zeros(5,1); [x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb); a x=x Q=-Q plot(a,Q,*r); hold on a=a+0.001; end xlabel(a),ylabel(Q) 模型二： Matlab k=0.15 while k<0.27 c=[0,0,0,0,0,1]; a=[0,0.025,0,0,0,-1;0,0,0.015,0,0,-1;0,0,0,0.055,0,-1;0,0,0,0,0.026,-1; -0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185,0;]; b=[0;0;0;0;-k]; aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065,0]; beq=[1]; lb=zeros(6,1); [x,Q]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb); k x=x Q plot(k,Q,.r); k=k+0.005; hold on grid on end xlabel(k),ylabel(Q) 模型三： Matlab s=0; while s<1 c=[-0.05*(1-s),-0.27*(1-s),-0.19*(1-s),-0.185*(1-s),-0.185*(1-s),s]; a=[0,0.025,0,0,0,-1;0,0,0.015,0,0,-1;0,0,0,0.055,0,-1;0,0,0,0,0.026,-1]; b=[0;0;0;0]; aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065,0]; beq=[1]; lb=zeros(6,1); ub=[ ]; [x,Q]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub); s x=x Q=-Q plot(s,Q,*r);5 hold on s=s+0.001; grid on end xlabel(s),ylabel(Q) 12