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有限維線性空間上線性變換的值域與核 數(shù)學(xué)系 04數(shù)本 410401142 郭文靜 摘要： 定義在有限維空間V上的線性變換的值域與核都是V的子空間。本文主要討論了這兩個子空間與大空間的關(guān)系。本文還進一步討論了冪等變換的值域與核的有關(guān)性質(zhì)。簡明介紹了用線性變換的值域與核來刻劃可逆變換. 關(guān)鍵詞：值域、核、直和、冪等變換。 正文： 定義1：設(shè)是線性空間V上的一個線性變換，的全體象的集合稱為的值域,用或表示，所有被變成零的向量的集合稱為核，用或表示。且記為： . 不難證明，與都是的不變子空間。 一:線性空間與的關(guān)系 結(jié)論1: 的秩＋的零度＝. 證明見　《高等代數(shù)》北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研代數(shù)小組編。 應(yīng)當(dāng)指出，雖然子空間與的維數(shù)之和為，但是， 不一定是整個子空間，那么當(dāng)滿足什么條件時？若成立，必須滿足什么條件呢？結(jié)論2就回答了這個問題. 結(jié)論2: 為維線性空間V上的線性變換，則 　　　　　秩秩 證明：設(shè)是V的一組基， 而 這里為的一組基.于是， 已知　秩秩　則 　則　為的基。 　 　則 且 從而 即 故 即為直和. 又因為 所以 ； 設(shè) ，任取 ， 而 于是，故 顯然， 所以， 得，秩秩. 特別的，如果，那么 結(jié)論3: 數(shù)域P上的維線性空間V的任一子空間W必為某一線性變換的核。 證明：設(shè)V的任一子空間W的一組基為 則它可擴充為V的一組基 . 作線性變換 下面驗證 ， 則 否則 　　 故 又 故 與矛盾 結(jié)論4: 設(shè)是維線性空間V的兩個子空間,且其維數(shù)之和為,則存在 V線性變換,使 證明: 設(shè)則 在中任取一組基 再在中取一組基 并將其擴充為V的基 用表示以下條件所確定的線性變換: 首先,顯然= 其次,由于是的基, , 另一方面, 設(shè), 則由 由線性無關(guān)，得 知 ， 故 注： 對于非線性空間V的線性變換，有子空間與， 反過來，若有兩個子空間與，有， 與能否成為某個線性變換的值域與核，本例題就回答了這個問題. 且易驗證，秩秩，故. 結(jié)論5: 設(shè)A是維線性空間V的一個線性變換，證明：若的維數(shù)為，則必有一個維的子空間W，使 證明： 因的維數(shù)為，故可設(shè)為的一組基，于是存在 顯然，是線性無關(guān)，令 則W是V的一個維子空間. 下證 ，設(shè)， 即 因無關(guān)，故 因，得 因此. 注：雖有，但未必有，本例提出卻有與維數(shù)相同的子空間W，使用使成立。此結(jié)論是顯然的。由《高等代數(shù)》北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編第2版第268頁定理10，U是線性空間V的一個子空間，那么一定存在一個子空間W使。 本題也可設(shè)的一組基，將其擴充為V的一組基,.那么滿足題目要求. 下面是一道非常有趣的例題: 例題1:設(shè)維線性空間V有兩個子空間,便得,其中則存在,使得且. 證明: (1)時是顯然的 (2) 設(shè)為的基,將其擴充為的基. 分別為和由維數(shù)公式知 線性無關(guān). 故可擴充為V的基 從而,作 則就是所求. 此類題目是根據(jù)要求構(gòu)造維線性空間V的線性變換這類題目難度也較大. 二:下面是關(guān)于線性變換的值域與核的維數(shù)的兩個結(jié)論： 結(jié)論1：設(shè)線性空間的線性映射，W是的子空間，且則 是V的子空間，且。 結(jié)論2：W是有限維線空間V的子空間，是V上的線性變換，則 （1） （2） 其中。 證明: (1)可證明 設(shè)的基為將其擴充為W的基 設(shè)則 故為的基 容易知 故 可得 (2)設(shè) 由的定義知，， 設(shè)為的基，將其擴充為的一組基： 由的定義知 …………………. 故 則必線性無關(guān). 因為 設(shè) 則 從而 由線性無關(guān) 得 ； 另外 斷定.首先,(由義) 又 故 另則 故 . 從而, 從而得到,又 因為 故 , 又因為 這樣得； 綜上得 也即證明了 結(jié)論1中有條件限制,所以由(*) 可得到用同樣的方法可證明結(jié)論1.這樣就給出了結(jié)論2中的等式成立的一個充分條件. 注:結(jié)論2可證明關(guān)于兩個階方陣的不等式: 證明: 設(shè)階方陣為維線性空間上的兩個線性變換在一組基 下的矩陣. 令,于是 由結(jié)論2知 三: 下面是冪等變換的值域與核的一些結(jié)論 結(jié)論1：若則 （1） （2） （3） 證明略 應(yīng)用此結(jié)論來解下面的例題： 例題2:設(shè)，是V上的線性變換且適合條件： ，求證：，并求及，又若是的基，是的基，求在基下的的矩陣。 證明： ，， 由 而 故 而 故 而. 結(jié)論2:設(shè)V是域P上的維線性空間，與是V的兩個子空間，若，證明存在唯一的V上的冪等線性變換，使得：，，即 證明： 例2中的線性變換就的要求的線性變換。 ，， 已證，且， 下面只要證明唯一性 若還存在冪等變換，使得， 可以證明 故 有 ……………………………….(1) 又因 于是 故 ……………………………(2) 由(1)(2)知 因此上述的冪等變換是唯一的. 結(jié)論3:設(shè)是數(shù)域P上的線性變換,且, 則 (1) (2) (3) (4) 若 則 且 (5) 則 證明：（1）()設(shè) 則 又 即 () 則 （2）() .同理可證. () 故 同理可證 . （3）() 即 由的任意性 . 同理可得 . () 故 同理可得 . （4） 故 又, （5） 1) 反之 有 , 因為 故 于是 = 得 所以 . 下證 則且 故 因 故 所以 因此 . 2) 則 故 反之 , , ………………………..（*） 又 代入（*） 得 ， 故. 例題3：設(shè) 是線性空間V的線性變換.滿足 (1) , (2) 則 證明: 令 則有 因而 于是 故V= 設(shè)=0, = 從而 也即 0 元素分解唯一,因而. 若特別的 則 四: 下面講一些線性變換的值域與核的包含關(guān)系 結(jié)論1：設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，則 1） 2） 3） 證明：1） 2) 則 于是 故 3） 故 結(jié)論2：是線性空間V的線性變換，則存在正整數(shù)，使得對任意的非負整數(shù)，都有 證明：由結(jié)論一知 又 必定有正整數(shù)，使得 但 故 于是 遞推得知 對一切的自然數(shù)都有 由 以及的整數(shù) 注：由證明過程知，存在正整數(shù)，滿足此結(jié)論。 結(jié)論3：（費定（引理）沿用結(jié)論2的符號，令，其中為滿足結(jié)論3的正整數(shù)，則： 證明： 設(shè)，則 又 于是 故， 和的和是直和，又 因此 . 當(dāng) 時,.就滿足結(jié)論2即,令 則必有. 在證明結(jié)論3時,注意到 ,則,也即為冪等變換, 必有. 那么，對于的值域是否也有類似的性質(zhì)？ 結(jié)論4： 則存在正整數(shù)，使得對任何非負整數(shù)，都有 ， 進一步, 存在正整數(shù) ,滿足上述結(jié)論. 存在類似于結(jié)論2的證明過程。 下面的例題是用結(jié)論2來證明： 例題4：如果 滿足，但是，（這時的最小多項式是），那么存在V 的一個基，使得在該基下的矩陣是. 證明: 由結(jié)論2,對 都有, 故, 設(shè),滿足 . 但是不屬于,容易用數(shù)學(xué)歸納法證明. 線性無關(guān),因此它是V的一組基,在此基下的矩為. 結(jié)論5:設(shè)是有限維線性空間上的一個線性變換,令 , 證明: 都是的不變子空間,并且. 證明：由結(jié)論2,3知,是的不變子空間, 也 因而 是的不變子空間. 因 令 , 設(shè),則,故 又設(shè),則 從而即,故, 從而 . 接下來是線性變換的多項式的值域與核的相關(guān)結(jié)論： 設(shè)是數(shù)域P線性空間V上的線性變換，， 則（1） （2）當(dāng)，則 （3）若 且 是兩兩互素的，則. 證明略. 此結(jié)論說明,對是數(shù)域P線性空間V上的線性變換, , 一般情況下, ,但是時, . 下面是可逆變換的一些等價條件 結(jié)論1：設(shè)是數(shù)域P線性空間V上的線性變換，為的一組基，則可逆線性無關(guān)。 結(jié)論2：對有限維線性空間的線性變換：可逆是的映上的. 結(jié)論3：設(shè)是數(shù)域P上的維線性空間V的線性變換，是V的子空間，并且，則 可逆 證明：必要性：是滿的， 于是必有. ， 而顯然 故 由于是單射，故僅有唯一的使 且 即且 從而 故 故 充分性： 因為 又 故是滿 為可逆 結(jié)論4：設(shè)是數(shù)域P上的維線性空間V的線性變換， 則為可逆有一常數(shù)項不為0的多項式 判斷是否可逆,關(guān)鍵是從是的來考慮線性變換可逆.對應(yīng)到線性變換的矩陣A也可逆. 參考文獻： [1]《高等代數(shù)》（第二版）北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編 高等教育出版社 [2]《高等代數(shù)解題方法與技巧》主編李師正 高等教育出版社； [3]《高等代數(shù)選講》陳利國編 中國礦業(yè)大學(xué)出版社； [4]《代數(shù)學(xué)辭典》樊惲限 錢吉林 岑嘉評 劉恒 穆漢林主編 華中師范大學(xué)出版社； [5]《高等代數(shù)》施武杰 戴桂生編著 高等教育出版社； [6]《高等代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》下冊 滕加俊 許揚靈 李世楷 周華任主編 陜西師范大學(xué)出版社； [7]《高等代數(shù)學(xué)》姚慕生編 復(fù)旦大學(xué)出版社； [8]《高等代數(shù)新方法》 王品超著 中國礦業(yè)大學(xué)出版社.