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《函數(shù)的概念》的教學(xué)設(shè)計(jì) 浙江省義烏市第三中學(xué) 陳向陽(yáng) 【教材分析】 本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)Ⅰ必修本（A版）》的第一章1.2.1函 數(shù)的概念。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，它貫穿在中學(xué)代數(shù)的始終，從初一字母表示數(shù)開始引進(jìn)了變量，使數(shù)學(xué)從靜止的數(shù)的計(jì)算變成量的變化，而且變量之間也是相互聯(lián)系、相互依存、相互制約的，變量間的這種依存性就引出了函數(shù)。在初中已初步探討了函數(shù)概念、函數(shù)關(guān)系的表示法以及函數(shù)圖象的繪制。到了高一再次學(xué)習(xí)函數(shù)，是對(duì)函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí)，是利用集合與對(duì)應(yīng)的思想來理解函數(shù)的定義，從而加深對(duì)函數(shù)概念的理解。函數(shù)與數(shù)學(xué)中的其他知識(shí)緊密聯(lián)系，與方程、不等式等知識(shí)都互相關(guān)聯(lián)、互相轉(zhuǎn)化。函數(shù)的學(xué)習(xí)也是今后繼續(xù)研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在中學(xué)不僅學(xué)習(xí)函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象等知識(shí)，尤為重要的是函數(shù)的思想要更廣泛地滲透到數(shù)學(xué)研究的全過程。 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，起著承上啟下的作用。函數(shù)又是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)銜接的樞紐，特別在應(yīng)用意識(shí)日益加深的今天，函數(shù)的實(shí)質(zhì)是揭示了客觀世界中量的相互依存又互有制約的關(guān)系。因此對(duì)函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí)，既有著不可替代的重要位置，又有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。本節(jié)的內(nèi)容較多，分二課時(shí)。本課時(shí)的內(nèi)容為：函數(shù)的概念、函數(shù)的三要素、簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域及值域的求法、區(qū)間表示等。（第二課時(shí)內(nèi)容為：函數(shù)概念的復(fù)習(xí)、較復(fù)雜函數(shù)的定義域及值域的求法、分段函數(shù)、函數(shù)圖象等） 【學(xué)情分析】 學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已經(jīng)在初中學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念，并且知道可以用函數(shù)描述變量之間的依賴關(guān)系。然而，函數(shù)概念本身的表述較為抽象，學(xué)生對(duì)于動(dòng)態(tài)與靜態(tài)的認(rèn)識(shí)尚為薄弱，對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)缺乏一定的認(rèn)識(shí)，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象與性質(zhì)造成了一定的難度。初中是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對(duì)函數(shù)進(jìn)行定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全揭示出函數(shù)概念的本質(zhì)。例如，對(duì)于函數(shù) 如果用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去看它，就不好解釋，顯得牽強(qiáng)。但如果用集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)來解釋，就十分自然。因此，用集合與對(duì)應(yīng)的思想來理解函數(shù)，對(duì)函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí)，就很有必要。由于數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象性，學(xué)生因此會(huì)望而卻步，從而影響了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。高一學(xué)生雖然在初中已接觸了函數(shù)的概念，但在重新學(xué)習(xí)它時(shí)還是存在一定的障礙，其中一個(gè)原因就是對(duì)新引進(jìn)的函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”不甚其解。教師應(yīng)在教學(xué)中有意識(shí)地挖掘函數(shù)符號(hào)的審美因素，以美啟真。在本節(jié)課的教學(xué)過程中，教師應(yīng)該給學(xué)生提供實(shí)踐動(dòng)手的機(jī)會(huì)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)熟悉的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、計(jì)算、思考，從而理解問題的本質(zhì)，歸納總結(jié)出結(jié)論。 【學(xué)法指導(dǎo)】 本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)要注意運(yùn)動(dòng)變化觀和集合對(duì)應(yīng)觀兩個(gè)觀念下函數(shù)定義的對(duì)比研究；注意借助熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)加深對(duì)函數(shù)這一抽象概念的理解；要重視符號(hào)f(x)的學(xué)習(xí)，借助具體函數(shù)來理解符號(hào)y=f(x)的含義，由具體到抽象，克服由抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)帶來的理解困難，從而提高理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)的能力。 【教學(xué)目標(biāo)】 知識(shí)目標(biāo)—— 通過豐富的實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型；用集合與對(duì)應(yīng)的思想理解函數(shù)的概念；理解函數(shù)的三要素及函數(shù)符號(hào)的深刻含義；會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域及值域。 能力目標(biāo)—— 培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、推理的能力；培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷、抽象、歸納概括的邏輯思維能力；培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系、對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)化的辯證思想；強(qiáng)化“形”與“數(shù)”結(jié)合并相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。 情感目標(biāo)—— 滲透數(shù)學(xué)思想和文化，激發(fā)學(xué)生觀察、分析、探求的興趣和熱情；強(qiáng)化學(xué)生參與意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，獲得積極的情感體驗(yàn)；體會(huì)在探究過程中由特殊到一般、從具體到抽象、運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn)；感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、數(shù)與形的和諧統(tǒng)一美；樹立“數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐”的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。 【教學(xué)重點(diǎn)】函數(shù)的概念及y=f(x)的理解與深化。 【教學(xué)難點(diǎn)】函數(shù)的概念及函數(shù)符號(hào)f(x)的理解。 【教學(xué)關(guān)鍵】在集合與對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念。 【教學(xué)方法】 以建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，輔以多媒體手段，采用著重于學(xué)生探索研究的 啟發(fā)式教學(xué)為主，變式教學(xué)為輔，及引導(dǎo)、探究、講解、演練相結(jié)合。在教學(xué)過程中，多一點(diǎn)情境和歸納，多一點(diǎn)探索和發(fā)現(xiàn)，多一點(diǎn)思考和回顧。通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，豐富和改善教與學(xué)的方式，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。 在課堂結(jié)構(gòu)上，設(shè)計(jì)“創(chuàng)設(shè)情境——引入課題；引導(dǎo)探求——形成知識(shí)；變式訓(xùn)練——鞏固知識(shí)；討論研究——深化知識(shí)；總結(jié)反思——提高認(rèn)識(shí)；任務(wù)后延——自主探究”這樣幾個(gè)主要環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣，層層深入，以期達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。 設(shè)計(jì)思想 設(shè)計(jì)環(huán)節(jié) 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 一、 創(chuàng)設(shè)問題情境 ， 引出課題 。 以實(shí)際問題為背景，以學(xué)生熟悉的情境入手激活學(xué)生的原有知識(shí)，形成學(xué)生的“再創(chuàng)造”欲望，讓學(xué)生在熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，使新知識(shí)和原知識(shí)形成聯(lián)系，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。通過問題2這兩個(gè)用已有概念不太容易回答的問題，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，有著承上啟下的作用。既是對(duì)初中已學(xué)的函數(shù)概念的進(jìn)一步深入，又是為下一步用集合語(yǔ)言來刻畫函數(shù)的本質(zhì)做好伏筆。 教師提出問題1： 我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)過函數(shù)的概念，它是如何定義的呢？在初中已經(jīng)學(xué)過哪些函數(shù)？（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上出示投影） 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些具體的函數(shù)，那么為什么還要學(xué)習(xí)函數(shù)呢？先請(qǐng)同學(xué)們思考下面的兩個(gè)問題： 問題2：由上述定義你能判斷“y=1”是否表示一個(gè)函數(shù)？函數(shù)y=x與函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)嗎？ 學(xué)生思考、討論后，教師點(diǎn)撥：僅用上述函數(shù)概念很難回答這些問題，我們需要從新的角度來認(rèn)識(shí)函數(shù)概念。這就是今天我們要學(xué)習(xí)的課題：函數(shù)的概念（板書） 二、 借助信息技術(shù) ， 討論歸納 。 以實(shí)際問題為載體，以信息技術(shù)的作圖功能為輔助。在三個(gè)實(shí)例的教學(xué)中，重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)函數(shù)概念中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過實(shí)例1，體會(huì)用解析式刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，關(guān)注t和h的范圍；通過實(shí)例2體會(huì)用圖象刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，關(guān)注t和S的范圍；通過實(shí)例3體會(huì)用表格刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 為了更好地使學(xué)生嘗試用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言進(jìn)行描述，可以利用信息技術(shù)設(shè)置教學(xué)情境。通過學(xué)生的觀察、思考、討論來歸納結(jié)論，體現(xiàn)了學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)方式。讓他們通過實(shí)踐來進(jìn)一步體驗(yàn)到在集合對(duì)應(yīng)觀下的函數(shù)內(nèi)涵，也為學(xué)生應(yīng)用信息技術(shù)解決數(shù)學(xué)問題提供了一種新的途徑和方法。 師：（實(shí)例1）演示動(dòng)畫，用《幾何畫板》動(dòng)態(tài)地顯示炮彈高度h關(guān)于炮彈發(fā)射時(shí)間t的函數(shù)。啟發(fā)學(xué)生觀察、思考、討論，嘗試用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系：在t的變化范圍內(nèi)，任給一個(gè)t，按照給定的解析式，都有唯一的一個(gè)高度h與之相對(duì)應(yīng)。 生：用計(jì)算器計(jì)算，然后用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系。 師：（實(shí)例2）引導(dǎo)學(xué)生看圖，并啟發(fā)：在t的變化范圍內(nèi)，任給一個(gè)t，按照給定的圖象，都有唯一的一個(gè)臭氧空洞面積S與之相對(duì)應(yīng)。 生：動(dòng)手測(cè)量，然后用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系。 師生：（實(shí)例3）共同讀表，然后用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系。 問題3：分析、歸納以上三個(gè)實(shí)例，它們有什么共同特點(diǎn)？ 生：分組討論三個(gè)實(shí)例的共同特點(diǎn)，然后歸納出函數(shù)定義，并在全班交流。 師生：由學(xué)生概括，教師補(bǔ)充，引導(dǎo)學(xué)生歸納出三個(gè)實(shí)例中變量之間的關(guān)系均可描述為： 對(duì)于數(shù)集A中的每一個(gè)x，按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在數(shù)集B中都有唯一確定的y與它對(duì)應(yīng)，記作f:A→B 三、 從特殊到一般 ， 引出函數(shù)概念 。 從特殊到一般，揭示數(shù)學(xué)通常的發(fā)現(xiàn)過程，給學(xué)生“數(shù)學(xué)創(chuàng)造”的體驗(yàn)。這種引出概念的方式自然而又易于學(xué)生接受和形成概念。 注重雙語(yǔ)，規(guī)范數(shù)學(xué)概念的理解。在涉及的每一個(gè)數(shù)學(xué)概念其后注明英語(yǔ)，有利于教師實(shí)施雙語(yǔ)教學(xué)，也有利于教師和學(xué)生閱讀外文數(shù)學(xué)材料，這也是體現(xiàn)新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材的創(chuàng)新之處。 函數(shù)y=f(x)是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，這是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)。教學(xué)時(shí)首先要強(qiáng)調(diào)符號(hào)“y=f(x)”為“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學(xué)表示，它僅僅是數(shù)學(xué)符號(hào)，而不是表示“y等于f與x的乘積”。在有些問題中，對(duì)應(yīng)關(guān)系f可用一個(gè)解析式表示，但在不少問題中，對(duì)應(yīng)關(guān)系f不便用或不可能用解析式表示，而用其他方式（如圖象、列表）來表示。所以教師應(yīng)向?qū)W生明確指出，y=f(x)不一定就是解析式，函數(shù)的表示方式除了解析式外，還有其它表示方法，如實(shí)例2的圖象法，實(shí)例3的列表法。 問題4：函數(shù)能否看做是兩個(gè)集合之間的一種對(duì)應(yīng)呢？如果能，怎樣給函數(shù)重新下一個(gè)定義呢？（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上教師歸納總結(jié)） 設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在數(shù)集B中都有唯一確定的f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function）.記作y=f(x)．x∈A．自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域（range）． 在函數(shù)概念得出后，教師強(qiáng)調(diào)指出“y=f(x)”僅僅是數(shù)學(xué)符號(hào)。為了更好地理解函數(shù)符號(hào)y=f(x)的含義，教師提出下一個(gè)問題： 問題5：y=f(x)一定就是函數(shù)的解析式嗎？ 師生：函數(shù)的解析式、圖象、表格都是表示函數(shù)的方法。 補(bǔ)充練習(xí)：下列圖象中不能作為函數(shù)的圖象的是（ ） （A） （B） （C） （D） 啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、交流，教師歸納總結(jié)出函數(shù)的要點(diǎn)： 1．函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)——非空數(shù)集到非空數(shù)集的對(duì)應(yīng)； 2．函數(shù)的核心是對(duì)應(yīng)法則，通常用記號(hào)f表示函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，在不同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣。函數(shù)記號(hào)y=f(x)表明，對(duì)于定義域A的任意一個(gè)x在“對(duì)應(yīng)法則f”的作用下，即在B中可得唯一的y.當(dāng)x在定義域中取一個(gè)確定的a，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即為f(a).集合B中并非所有的元素在定義域A中都有元素和它對(duì)應(yīng)；值域； 3．函數(shù)符號(hào)y=f(x)的說明： （1）“y=f(x)”即為“y是x的函數(shù)”的符號(hào)表示； （2）y=f(x)不一定能用解析式表示； （3）f(x)與f(a)是不同的，通常，f(a)表示函數(shù)f(x)當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)； （4）在同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)函數(shù)時(shí)，常用不同符號(hào)表示不同的函數(shù)，除用符號(hào)f(x)外，還常用g(x)、F(x)、φ(x)等符號(hào)來表示。 4．定義域是函數(shù)的重要組成部分，如f(x)=x(x∈R)與g(x)=x(x≥0)是不同的兩個(gè)函數(shù)。 四、 借助熟悉函數(shù)平臺(tái) ， 加深對(duì)函數(shù)概念的理解 。 設(shè)置問題6這個(gè)情境，目的是用函數(shù)的定義去解釋學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，使得對(duì)函數(shù)的描述性定義上升到集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫的定義。同時(shí)利用信息技術(shù)工具畫出函數(shù)的圖象，是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“數(shù)”與“形”結(jié)合在理解函數(shù)中的作用，更好地幫助理解上述函數(shù)的三個(gè)要素，從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，進(jìn)一步挖掘函數(shù)概念中集合與函數(shù)的聯(lián)系。明確定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是決定函數(shù)的三要素，這是一個(gè)整體，以此更好地培養(yǎng)學(xué)生深層次思考問題的習(xí)慣。 問題6：集合A（A=R）到集合B（B=R）的對(duì)應(yīng)：f:A→B，使得集合B中的元素與集合A中的元素x對(duì)應(yīng)，如何表示這個(gè)函數(shù)？定義域和值域各是什么？函數(shù)呢？函數(shù)呢？ 教師演示動(dòng)畫，用《幾何畫板》顯示這三種函數(shù)的動(dòng)態(tài)圖象，啟發(fā)學(xué)生觀察、分析，并請(qǐng)同學(xué)們思考之后填寫下表： 函數(shù) 一次函數(shù) 反比例函數(shù) 二次函數(shù) 對(duì)應(yīng)關(guān)系 定義域 值域 問題7：函數(shù)的三要素是什么？ 教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：函數(shù)的三要素是定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則。在函數(shù)的三要素中，當(dāng)其中的兩要素已確定時(shí)，則第三個(gè)要素也就隨之確定了。如當(dāng)函數(shù)的定義域，對(duì)應(yīng)法則已確定，則函數(shù)的值域也就確定了。 五、 再創(chuàng)情境 ， 引導(dǎo)探究函數(shù)概念的新認(rèn)識(shí) 。 問題8利用學(xué)生思維的空白處設(shè)置問題，能引起學(xué)生探究的欲望，從而自然引出以形求數(shù)的思想。接著，通過“引導(dǎo)”，給學(xué)生解決后續(xù)問題的方法，即觀察圖象的方法。 問題9引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題2進(jìn)行反思和總結(jié)，并將之一般化，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生反思問題、總結(jié)歸納的習(xí)慣和善于運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的能力。 問題8：比較函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點(diǎn)，你對(duì)函數(shù)有什么新的認(rèn)識(shí)？ 學(xué)生思考、討論，教師點(diǎn)撥： 函數(shù)近代定義與傳統(tǒng)定義在實(shí)質(zhì)上是一致的，兩個(gè)定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個(gè)定義中的對(duì)應(yīng)法則實(shí)際上也一樣，只不過敘述的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，近代定義的對(duì)應(yīng)法則是從集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā)。 問題9：學(xué)生在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，反思對(duì)問題2的解答，重新思考問題2，談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)。 教師啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生畫圖，以形求數(shù)。 師生：是函數(shù)； 與不是同一個(gè)函數(shù)。 六、 師生釋疑 ， 深入研究 。 問題10以學(xué)生已解決的問題出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再次引發(fā)學(xué)生在構(gòu)建自身基礎(chǔ)上的“再創(chuàng)造”，并通過獨(dú)立思考后的討論，培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流溝通的能力。 設(shè)置問題11這個(gè)情境，是因?yàn)椤皡^(qū)間概念”這段內(nèi)容并不難理解，所以可以先讓學(xué)生自已閱讀，然后進(jìn)行不等式、區(qū)間與數(shù)軸表示的互相轉(zhuǎn)化，以此熟悉區(qū)間的概念。問題11此情境的設(shè)置是為學(xué)生提供了自主探究的平臺(tái)，從閱讀學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，既符合了學(xué)生的心理特點(diǎn)，又注重了學(xué)生的思維過程。 問題10：如何判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同？ 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題2進(jìn)行抽象概括并歸納總結(jié)： 當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致時(shí)，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)相等。 問題11：研讀課本，敘述區(qū)間的概念。請(qǐng)同學(xué)們?cè)陂喿x后填寫下表： 定義 名稱 符號(hào) 數(shù)軸表示 閉區(qū)間 開區(qū)間 半開半閉區(qū)間 教師指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，解決學(xué)生提出的問題，并指出說明： （1）區(qū)間是集合； （2）區(qū)間的左端點(diǎn)必小于右端點(diǎn)； （3）無窮大是一個(gè)符號(hào)，不是一個(gè)數(shù)； （4）以“-∞”或“+∞”為區(qū)間的一端時(shí)，這一端必須是小括號(hào)。 七、 舉例應(yīng)用 ， 深化目標(biāo) 。 例題是為了使學(xué)生更好地理解函數(shù)定義而設(shè)置的，既考慮了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性。 通過例1，使學(xué)生學(xué)會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域，以此更好地突出重點(diǎn)。例1表明當(dāng)對(duì)應(yīng)法則確定后，對(duì)于定義域內(nèi)的一個(gè)數(shù)，只要將它代入解析式，就可求出它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)記號(hào)的含義。 例2表明判定兩個(gè)函數(shù)是否相同，不僅要看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否一樣，還要看定義域是否相同。通過判斷函數(shù)的相等使學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)的整體性，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解。 例3的設(shè)置補(bǔ)充，其目的既是第22頁(yè)練習(xí)3與習(xí)題3的伏筆，也是為了讓學(xué)生體會(huì)到從特殊到一般的思想方法，同時(shí)也后面研究函數(shù)的性質(zhì)（奇函數(shù)）作準(zhǔn)備。變式訓(xùn)練的設(shè)計(jì)以一個(gè)問題為背景，一題多用，一題多變，由淺入深，體現(xiàn)梯度，使不同程度的學(xué)生都有發(fā)展。通過一組精心設(shè)計(jì)的問題鏈來引導(dǎo)和激發(fā)學(xué)生的參與意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)。借助三個(gè)變式層層深入，是理論到實(shí)踐的升華，使概念深化、強(qiáng)化、類化！f的作用與含義印入心底，得到再次認(rèn)同，初步掌握與應(yīng)用能力也就自然形成了。 例1．已知函數(shù) （1）求函數(shù)的定義域； （2）求的值； （3）當(dāng)時(shí)，求的值。 讓學(xué)生思考，并提問個(gè)別學(xué)生。 師問：怎樣求函數(shù)的定義域？ 追問：與有何區(qū)別與聯(lián)系？ 點(diǎn)撥：表示當(dāng)自變量時(shí)函數(shù)的值，是一個(gè)常量，而是自變量的函數(shù)，它是一個(gè)變量，是的一個(gè)特殊值。 例2．下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相等？ （1） （2） （3） （4） 師問：判斷函數(shù)相等的依據(jù)是什么？ 變式：若改（2）為呢？ 思考：你能舉出一些函數(shù)相等的具體例子嗎？ 例3．已知函數(shù) （1）畫出函數(shù)的圖象； （2）求的值； （3）你從（2）中發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？ （4）求函數(shù)的值域。 教師引導(dǎo)學(xué)生解決此題的關(guān)鍵點(diǎn)，并進(jìn)行變式： 變式1：已知 ① 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域； ② 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域。 變式2：已知 ① 當(dāng)函數(shù)值域?yàn)闀r(shí)，求函數(shù)定義域； ② 當(dāng)函數(shù)值域?yàn)闀r(shí)，求函數(shù)定義域。 變式3：（1）已知 求的值。 變式3：（2）已知 求函數(shù). 八、 練習(xí) 交流 反饋 鞏固 利用課堂練習(xí)鞏固所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想和方法，以求達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。本環(huán)節(jié)以個(gè)別指導(dǎo)為主，體現(xiàn)面對(duì)全體學(xué)生的課改理念。 課堂練習(xí)： 課本第22頁(yè)練習(xí)1．2．3． 以學(xué)生回答、板演的形式進(jìn)行，充分發(fā)揮師與生、生與生的互動(dòng)，以教師、學(xué)生相互交流來鞏固本節(jié)課的學(xué)習(xí)。 九、 學(xué)生歸納小結(jié) ， 教師評(píng)價(jià) 。 關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)交流數(shù)學(xué)的能力。自主小結(jié)的形式將課堂還給學(xué)生，既是對(duì)一節(jié)課的簡(jiǎn)單回顧與梳理，也是對(duì)所學(xué)內(nèi)容的再次鞏固。 以同桌之間一人小結(jié)一人傾聽的方式，以四人為一小組進(jìn)行小組討論，對(duì)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行自主小結(jié)，教師及時(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)： 1．函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點(diǎn)； 2．集合與函數(shù)的聯(lián)系、區(qū)別； 3．函數(shù)的三要素； 4．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想。 十、 課后作業(yè) 作業(yè)分為三種形式，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則。閱讀作業(yè)中的問題思考是后續(xù)課堂的鋪墊，而彈性作業(yè)不作統(tǒng)一要求，供學(xué)有余力的學(xué)生課后研究，它也是新課程標(biāo)準(zhǔn)里研究性學(xué)習(xí)的一部分。 1．閱讀作業(yè)：通讀教材，復(fù)習(xí)鞏固，并思考表示函數(shù)有哪些方法？從例3(2)中你能發(fā)現(xiàn)更一般性的結(jié)論嗎？ 2．書面作業(yè)：課本第28頁(yè)習(xí)題1．2．3．4．5． 3．彈性作業(yè)：比較函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點(diǎn)，你對(duì)函數(shù)有什么新的認(rèn)識(shí)？請(qǐng)同學(xué)們舉出幾個(gè)具體函數(shù)例子，用傳統(tǒng)定義不好解釋，而用近代定義容易理解。 教學(xué)流程： 從特殊到一般，引出函數(shù)概念 借助信息技術(shù)，討論歸納 創(chuàng)設(shè)問題情境，引出問題 師生釋疑，深入研究 再創(chuàng)情境，引導(dǎo)探究函數(shù)概念的新認(rèn)識(shí) 借助熟悉函數(shù)的平臺(tái)，加深對(duì)函數(shù)概念理解 課后作業(yè) 學(xué)生歸納小結(jié)，教師評(píng)價(jià) 練習(xí)、交流、反饋、鞏固 舉例應(yīng)用，深化目標(biāo) 知識(shí)結(jié)構(gòu)： 函數(shù)的概念 近代定義與傳統(tǒng)定義 集合與函數(shù)的關(guān)系 函數(shù)的三要素 定義域 值域 對(duì)應(yīng)關(guān)系 問題探討： 本章教學(xué)內(nèi)容的要求與現(xiàn)行高考的要求距離較遠(yuǎn)，而學(xué)生知識(shí)現(xiàn)狀與課本要求較高之間的矛盾也較突出。學(xué)生原有的運(yùn)算能力、分析問題的能力直接制約著本章的學(xué)習(xí)。這不僅與初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的銜接、學(xué)習(xí)方法有較大變化有關(guān)，而且與知識(shí)更新力度較大有關(guān)，使大部分學(xué)生不太適應(yīng)本章的學(xué)習(xí)。新大綱中提出能運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，在本章中很難達(dá)到預(yù)期要求。用計(jì)算機(jī)繪制函數(shù)圖象，收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型，但在信息技術(shù)與課程的整合上還有待加強(qiáng)。