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1.1 集合與集合的表示方法 （一）教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 （1）初步理解集合的含義，知道常用數(shù)集及其記法． （2）初步了解“屬于”關(guān)系的意義．理解集合相等的含義. （3）初步了解有限集、無(wú)限集的意義，并能恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用列舉法或描述法表示集合. 2．過(guò)程與方法 （1）通過(guò)實(shí)例，初步體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，從觀察分析集合的元素入手，正確地理解集合． （2）觀察關(guān)于集合的幾組實(shí)例，并通過(guò)自己動(dòng)手舉出各種集合的例子，初步感受集合語(yǔ)言在描述客觀現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)對(duì)象中的意義． （3）學(xué)會(huì)借助實(shí)例分析、探究數(shù)學(xué)問(wèn)題（如集合中元素的確定性、互異性）． （4）通過(guò)實(shí)例體會(huì)有限集與無(wú)限集，理解列舉法和描述法的含義，學(xué)會(huì)用恰當(dāng)?shù)男问奖硎窘o定集合掌握集合表示的方法. 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀 （1）了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系． （2）在學(xué)習(xí)運(yùn)用集合語(yǔ)言的過(guò)程中，增強(qiáng)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的能力．初步培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度． （二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)是集合的概念及集合的表示．難點(diǎn)是集合的特征性質(zhì)和概念以及運(yùn)用特征性質(zhì)描述法正確地表示一些簡(jiǎn)單集合. （三）教學(xué)方法 嘗試指導(dǎo)與合作交流相結(jié)合．通過(guò)提出問(wèn)題、觀察實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生理解集合的概念，分析、討論、探究集合中元素表達(dá)的基本要求，并能依照要求舉出符合條件的例子，加深對(duì)概念的理解、性質(zhì)的掌握．通過(guò)命題表示集合，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)符合的意識(shí). 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 提出 問(wèn)題 一個(gè)百貨商店，第一批進(jìn)貨是帽子、皮鞋、熱水瓶、鬧鐘共計(jì)4個(gè)品種，第二批進(jìn)貨是收音機(jī)、皮鞋、尼龍襪、茶杯、鬧鐘共計(jì)5個(gè)品種，問(wèn)一共進(jìn)了多少品種的貨?能否回答一共進(jìn)了4 + 5 = 9種呢？ 學(xué)生回答（不能，應(yīng)為7種），然后教師和學(xué)生共同分析原因：由于兩次進(jìn)貨共同的品種有兩種，故應(yīng)為4 +5 – 2 = 7種．從而指出： ……這好像涉及了另一種新的運(yùn)算．…… 設(shè)疑激趣， 導(dǎo)入課題． 復(fù)習(xí) 引入 ①初中代數(shù)中涉及“集合”的提法． ②初中幾何中涉及“集合”的提法． 引導(dǎo)學(xué)生回顧，初中代數(shù)中不等式的解法一節(jié)中提到的有關(guān)知識(shí)： 一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱(chēng)為這個(gè)不等式的解集． 幾何中，圓的概念是用集合描述的． 通過(guò)復(fù)習(xí)回顧，引出集合的概念． 概念 形成 第一組實(shí)例（幻燈片一）： （1）“小于l0”的自然數(shù)0，1，2，3，……，9． （2）滿(mǎn)足3x – 2 ＞x + 3的全體實(shí)數(shù)． （3）所有直角三角形． （4）到兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)間的距離的點(diǎn)． （5）高一（1）班全體同學(xué)． （6）參與中國(guó)加入WTO談判的中方成員． 1．集合： 一般地，把一些能夠確定的不同的對(duì)象看成一個(gè)整體，就說(shuō)這個(gè)整體是由這些對(duì)象的全體構(gòu)成的集合（或集）． 2．集合的元素（或成員）： 即構(gòu)成集合的每個(gè)對(duì)象（或成員） 教師提問(wèn)：①以上各例（構(gòu)成集合）有什么特點(diǎn)?請(qǐng)大家討論． 學(xué)生討論交流，得出集合概念的要點(diǎn)，然后教師肯定或補(bǔ)充． ②我們能否給出集合一個(gè)大體描述?……學(xué)生思考后回答，然后教師總結(jié)． ③上述六個(gè)例子中集合的元素各是什么? ④請(qǐng)同學(xué)們自己舉一些集合的例子． 通過(guò)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷并體會(huì)集合（描 述性）概念形成的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確集合及集合元素的概念，會(huì)用自然語(yǔ)言描述集合． 概念 深化 第二組實(shí)例（幻燈片二）： （1）參加亞特蘭大奧運(yùn)會(huì)的所有中國(guó)代表團(tuán)的成員構(gòu)成的集合． （2）方程x2 = 1的解的全體構(gòu)成的集合． （3）平行四邊形的全體構(gòu)成的集合． （4）平面上與一定點(diǎn)O的距離等于r的點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合． 3．元素與集合的關(guān)系： 教師要求學(xué)生看第二組實(shí)例，并提問(wèn)：①你能指出各個(gè)集合的元素嗎？②各個(gè)集合的元素與集合之間是什么關(guān)系？③例（2）中數(shù)0，–2是這個(gè)集合的元素嗎? 學(xué)生討論交流，弄清元素與集合之間是從屬關(guān)系，即“屬于”或“不屬于”關(guān)系． 引入集合語(yǔ)言描述集合． 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 概念 深化 集合通常用英語(yǔ)大寫(xiě)字母A、B、C…表示，它們的元素通常用英語(yǔ)小寫(xiě)字母a、b、c…表示． 如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A， 記作a∈A，讀作“a屬于A”． 如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于 A，記作aA，讀作“a不屬于A”． 4．集合的元素的基本性質(zhì)； （1）確定性：集合的元素必須是確定的．不能確定的對(duì)象不能構(gòu)成集合． （2）互異性：集合的元素一定是互異的．相同的幾個(gè)對(duì)象歸于同一個(gè)集合時(shí)只能算作一個(gè)元素． 第三組實(shí)例（幻燈片三）： （1）由x2，3x + 1，2x2 – x + 5三個(gè)式子構(gòu)成的集合． （2）平面上與一個(gè)定點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合． （3）方程x2 = – 1的全體實(shí)數(shù)解構(gòu)成的集合． 5．空集：不含任何元素的集合，記作． 6．集合的分類(lèi)：按所含元素的個(gè)數(shù)分為有限集和無(wú)限集． 7．常用的數(shù)集及其記號(hào)（幻燈片四）． N：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）． N*或N+：正整數(shù)集（或自然數(shù)集去掉0）． Z：整數(shù)集． Q：有理數(shù)集． R：實(shí)數(shù)集． 教師提問(wèn)：“我們班中高個(gè)子的同學(xué)”、“年輕人”、“接近數(shù)0的數(shù)”能否分別組成一個(gè)集合，為什么？ 學(xué)生分組討論、交流，并在教師的引導(dǎo)下明確： 給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素也就確定了．另外，集合的元素一定是互異的．相同的對(duì)象歸于同一個(gè)集合時(shí)只能算作集合的一個(gè)元素． 教師要求學(xué)生觀察第三組實(shí)例，并提問(wèn)：它們各有元素多少個(gè)? 學(xué)生通過(guò)觀察思考并回答問(wèn)題． 然后，依據(jù)元素個(gè)數(shù)的多少將集合分類(lèi)． 讓學(xué)生指出第三組實(shí)例中，哪些是有限集？哪些是無(wú)限集？…… 請(qǐng)同學(xué)們熟記上述符號(hào)及其意義． 通過(guò)討論，使學(xué)生明確集合元素所具有的性質(zhì)，從而進(jìn)一步準(zhǔn)確理解集合的概念． 通過(guò)觀察實(shí)例，發(fā)現(xiàn)集合的元素個(gè)數(shù)具有不同的類(lèi)別，從而使學(xué)生感受到有限集、無(wú)限集、空集存在的客觀意義． 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 應(yīng)用 舉例 列舉法： 定義：把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法. 例1 用列舉法表示下列集合： （1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合； （2）方程x2 = x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合； （3）由1～20以?xún)?nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合. 描述法： 定義：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱(chēng)為描述法. 具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征. 例2 試分別用列舉法和描述法表示下列集合： （1）方程x2 –2 = 0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合； （2）由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合. 師生合作應(yīng)用定義表示集合. 例1 解答：（1）設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A，那么 A = {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. 由于元素完全相同的兩個(gè)集合相等，而與列舉的順序無(wú)關(guān)，因此集合A可以有不同的列舉法. 例如： A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}. （2）設(shè)方程x2 = x 的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為B，那么B = {0，1}. （3）設(shè)由1～20以?xún)?nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合為C，那么 C = {2，3，5，7，11，13，17，19}. 例2 解答：（1）設(shè)方程x2 – 2 = 0的實(shí)數(shù)根為 x，并且滿(mǎn)足條件x2 – 2 = 0，因此，用描述法表示為 A = {x∈R| x2 –2 = 0}. 方程x2 –2 = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，因此，用列舉法表示為 A = {，}. （2）設(shè)大于10小于20的整數(shù)為 x，它滿(mǎn)足條件x∈Z，且10＜x＜20. 因此，用描述法表示為 B = {x∈Z | 10＜x＜20}. 大于10小于20的整數(shù)有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列舉法表示為 B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19}.  教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 應(yīng)用 舉例 例3 已知由l，x，x2，三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合，求x應(yīng)滿(mǎn)足的條件． 解：根據(jù)集合元素的互異性， 得 所以x∈R且x≠1，x≠0． 例2 用∈、填空． ① Q；② Z； ③ R；④0 N； ⑤0 N*；⑥0 Z． 學(xué)生分析求解，教師板書(shū)． 通過(guò)應(yīng) 用，進(jìn)一步 理解集合的 有關(guān)概念、 性質(zhì)． 例4 試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? （1）由方程x2 – 9 = 0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合； （2）由小于8的所有素?cái)?shù)組成的集合； （3）一次函數(shù)y = x + 3與 y = –2x + 6的圖象的交點(diǎn)組成的集合； （4）不等式4x – 5＜3的解集. 生：獨(dú)立完成；題：點(diǎn)評(píng)說(shuō)明. 例4 解答：（1）{3，–3}； （2）{2，3，5，7}； （3）{(1，4)}； （4）{x| x＜2}. 歸納 總結(jié) ①請(qǐng)同學(xué)們回顧總結(jié)，本節(jié)課學(xué)過(guò)的集合的概念等有關(guān)知識(shí)； ②通過(guò)回顧本節(jié)課的探索學(xué)習(xí)過(guò)程，請(qǐng)同學(xué)們體會(huì)集合等有關(guān)知識(shí)是怎樣形成、發(fā)展和完善的． ③通過(guò)回顧學(xué)習(xí)過(guò)程比較列舉法和描述法. 歸納適用題型. 師生共同總結(jié)——交流——完善． 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自己總結(jié)；讓學(xué) 生進(jìn)一步（回顧）體 會(huì)知識(shí)的形成、發(fā)展、完善的過(guò)程． 課后 作業(yè) 課后練習(xí) 由學(xué)生獨(dú)立完成． 鞏固深化；預(yù)習(xí)下一節(jié)內(nèi)容，培養(yǎng)自學(xué)能力． 備選例題 例1（1）利用列舉法表法下列集合：①{15的正約數(shù)}；②不大于10的非負(fù)偶數(shù)集. （2）用描述法表示下列集合：①正偶數(shù)集； ②{1，–3，5，–7，…，–39，41}. 【分析】考查集合的兩種表示方法的概念及其應(yīng)用. 【解析】（1）①{1，3，5，15} ②{0，2，4，6，8，10} （2）①{x | x = 2n，n∈N*} ②{x | x = (–1) n–1(2n –1)，n∈N*且n≤21}. 【評(píng)析】（1）題需把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合，多用于集合中的元素有有限個(gè)的情況. （2）題是將元素的公共屬性描述出來(lái)，多用于集合中的元素有無(wú)限多個(gè)的無(wú)限集或元素個(gè)數(shù)較多的有限集. 例2 用列舉法把下列集合表示出來(lái)： （1）A = {x∈N |∈N}； （2）B = {∈N | x∈N }； （3）C = { y = y = – x2 + 6，x∈N ，y∈N }； （4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }； （5）E = {x |= x，p + q = 5，p∈N ，q∈N*}. 【分析】先看五個(gè)集合各自的特點(diǎn)：集合A的元素是自然數(shù)x，它必須滿(mǎn)足條件也是自然數(shù)；集合B中的元素是自然數(shù)，它必須滿(mǎn)足條件x也是自然數(shù)；集合C中的元素是自然數(shù)y，它實(shí)際上是二次函數(shù)y = – x2 + 6 (x∈N )的函數(shù)值；集合D中的元素是點(diǎn)，這些點(diǎn)必須在二次函數(shù)y = – x2 + 6 (x∈N )的圖象上；集合E中的元素是x，它必須滿(mǎn)足的條件是x =，其中p + q = 5，且p∈N，q∈N*. 【解析】（1）當(dāng)x = 0，6，8這三個(gè)自然數(shù)時(shí)，=1，3，9也是自然數(shù). ∴ A = {0，6，9} （2）由（1）知，B = {1，3，9}. （3）由y = – x2 + 6，x∈N，y∈N知y≤6. ∴ x = 0，1，2時(shí)，y = 6，5，2 符合題意. ∴ C = {2，5，6}. （4）點(diǎn) {x，y}滿(mǎn)足條件y = – x2 + 6，x∈N，y∈N，則有： ∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) } （5）依題意知p + q = 5，p∈N，q∈N*，則 x 要滿(mǎn)足條件x =， ∴E = {0，，，，4}. 【評(píng)析】用描述法表示的集合，要特別注意這個(gè)集合中的元素是什么，它應(yīng)該符合什么條件，從而準(zhǔn)確理解集合的意義. 例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a2 + 1}，求a的值及對(duì)應(yīng)的集合A. –3∈A，可知–3是集合的一個(gè)元素，則可能a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a，再代入A，求出集合A. 【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a –1 = –3，當(dāng)a –3 = –3，即a = 0時(shí)，A = {–3，–1，1} 當(dāng)2a – 1 = –3，即a = –1時(shí)，A = {– 4，–3，2}. 【評(píng)析】元素與集合的關(guān)系是確定的，–3∈A，則必有一個(gè)式子的值為 –3，以此展開(kāi)討論，便可求得a.