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第5章剛體的定軸轉(zhuǎn)動 5 1剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律 外力矩沿z軸分量的代數(shù)和 剛體沿z軸的角動量 剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量 2 適用于轉(zhuǎn)軸固定于慣性系中的情況 3 對于轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心的情況 如果質(zhì)心有加速度 上式也成立 慣性力對質(zhì)心的力矩和為零 1 由關(guān)于定點的質(zhì)點系角動量定理 向過該點的固定轉(zhuǎn)軸投影得到 外力對固定轉(zhuǎn)軸力矩的計算 沿轉(zhuǎn)軸方向 沿轉(zhuǎn)軸反方向 轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩 計算轉(zhuǎn)動慣量的幾條規(guī)律 1 對同一軸可疊加 2 平行軸定理 3 對薄平板剛體 有垂直軸定理 常用的轉(zhuǎn)動慣量 8 例2 證明球體對任意直徑的轉(zhuǎn)動慣量為 證明 如圖所示 在坐標(biāo)z處取高為dz的小圓柱作為質(zhì)元 9 例 一飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J 在t 0時的角速度為 0 此后飛輪經(jīng)歷制動過程 阻力矩M的大小與角速度的平方成正比 比例系數(shù)為k 當(dāng) 0 3時 飛輪的角加速度 從開始制動到 0 3所經(jīng)歷的時間t 解 10 與一維質(zhì)點動力學(xué)方法一致 解 剛體定軸轉(zhuǎn)動 1 受力分析 2 關(guān)于O軸列轉(zhuǎn)動定理 思考 為什么不關(guān)于過質(zhì)心軸列轉(zhuǎn)動定理 由 求w 1 平動 質(zhì)心運動定理 3 求轉(zhuǎn)軸受力 2 轉(zhuǎn)動 關(guān)于質(zhì)心軸列轉(zhuǎn)動定理 為什么 例 一長為L 質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒 水平放置靜止不動 受垂直向上的沖力F作用 沖量為F t t很短 沖力的作用點距棒的質(zhì)心l遠(yuǎn) 求沖力作用后棒的運動狀態(tài) 解 1 質(zhì)心的運動 質(zhì)心以vC0的初速做上拋運動 2 在上拋過程中棒的轉(zhuǎn)動 繞過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸 列轉(zhuǎn)動定理 在上拋過程中 棒以恒定角速度 繞過質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動 演示實驗 質(zhì)心運動 杠桿 5 2轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒 1 繞定軸轉(zhuǎn)動 2 幾個剛體繞同一定軸轉(zhuǎn)動 演示實驗 茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅 和車輪 陀螺儀 3 關(guān)于過質(zhì)心軸 若合外力矩為零 則剛體總角動量守恒 角動量可在這幾部分間傳遞 若合外力矩為零 則剛體角動量守恒 若對過質(zhì)心軸合外力矩為零 則對該軸剛體角動量守恒 無論質(zhì)心軸是否是慣性系 5 3剛體轉(zhuǎn)動的功和能 力矩的功 不太大剛體的重力勢能 機(jī)械能守恒定律 只有保守力做功時 解 桿機(jī)械能守恒 比用轉(zhuǎn)動定律簡單 勢能零點 繞固定軸轉(zhuǎn)動動能 桿動能的另一種表達(dá) 科尼西定理 勢能零點 5 4剛體的無滑動滾動瞬時轉(zhuǎn)軸 補充 1 平面平行運動 只考慮圓柱 球等軸對稱剛體的滾動 質(zhì)心做平面運動 繞過質(zhì)心垂直軸做轉(zhuǎn)動 2 無滑動滾動 任意時刻接觸點P瞬時靜止 無滑動滾動條件 思考 下一時刻P點位置 轉(zhuǎn)動慣量小的滾得快 演示實驗 不同質(zhì)量分布的等質(zhì)量柱體滾動 質(zhì)心運動定理 過質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動定理 純滾動條件 運動學(xué)條件 例 兩個質(zhì)量和半徑都相同 但轉(zhuǎn)動慣量不同的柱體 在斜面上作無滑動滾動 哪個滾得快 3 軸對稱剛體無滑動滾動中的瞬時轉(zhuǎn)軸 時刻t接觸點P瞬時靜止 在時間 t t t 內(nèi) 以P點為原點建立平動坐標(biāo)系 時間 t t t 內(nèi) 剛體的運動 質(zhì)心平動 繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動 可以看成 繞過P點且垂直于固定平面的轉(zhuǎn)軸的無滑動滾動 接觸點P 瞬時轉(zhuǎn)軸 瞬時轉(zhuǎn)動中心 繞瞬時轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動定理的形式 雖然p點瞬時靜止 但有加速度 所以除了力矩Mp外 還應(yīng)考慮慣性力矩 下面證明 對于無滑動滾動的軸對稱剛體 接觸點p的加速度沿過p點的半徑方向 因此 關(guān)于過p點的轉(zhuǎn)軸 慣性力矩等于零 慣性力作用在質(zhì)心上 方向與p點的加速度方向相反 關(guān)于過p點轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 軸對稱剛體 繞瞬時轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動定理 27 證明 p點相對慣性系的加速度 p點相對質(zhì)心的加速度 按切 法向分解 無滑動滾動 p點加速度沿半徑方向 過p點轉(zhuǎn)軸慣性力矩等于零 28 簡單多了 29 5 5剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律 討論力矩對時間的積累效應(yīng) 質(zhì)點系 對點 對軸 剛體 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 30 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律 對剛體系 M外z 0時 此時角動量可在系統(tǒng)內(nèi)部各剛體間傳遞 而卻保持剛體系對轉(zhuǎn)軸的總角動量不變 茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅 KL016 陀螺儀 KL029 轉(zhuǎn)臺車輪 KL017 31 克服直升飛機(jī)機(jī)身反轉(zhuǎn)的措施 裝置尾漿推動大氣產(chǎn)生克服機(jī)身反轉(zhuǎn)的力矩 裝置反向轉(zhuǎn)動的雙旋翼產(chǎn)生反向角動量而相互抵消 32 滑冰運動員的旋轉(zhuǎn) 貓的下落 A 貓的下落 B 33 例 如圖示 求 碰撞后的瞬刻盤 P轉(zhuǎn)到x軸時盤 解 m下落 1 對 m 盤 碰撞中重力對O軸力矩可忽略 2 已知 h R M 2m 60 系統(tǒng)角動量守恒 34 3 對 m M 地球 系統(tǒng) 令P x重合時EP 0 則 5 由 3 4 5 得 由 1 2 3 得 4 只有重力作功 E守恒 m 盤 角動量 35 旋進(jìn) 如玩具陀螺的運動 軸轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象 高速旋轉(zhuǎn)的物體 其自轉(zhuǎn)軸繞另一個 36 點的不平行于 若質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸分布對稱 下面我們就討論這種質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸分布對稱 對轉(zhuǎn)軸不對稱 的剛體的旋進(jìn)問題 剛體自轉(zhuǎn)的角動量不一定都與自轉(zhuǎn)軸平行 例如 圖示的情形 質(zhì)量 則 則對軸上O 37 從而產(chǎn)生旋進(jìn)運動 玩具陀螺的旋進(jìn) 只改變方向而不改變大小 38 旋進(jìn)角速度 39 回轉(zhuǎn)效應(yīng)產(chǎn)生附加力矩 輪船轉(zhuǎn)彎時 渦輪機(jī)軸承要承受附加力 附加力可能造成軸承的損壞 附加力矩也可能造成翻船事故 三輪車拐彎時易翻車 內(nèi)側(cè)車輪上翹 40 地球轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn) 歲差 隨著地球自轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn) 北天極方向不斷改變 北極星 3000年前小熊座 現(xiàn)在小熊座 12000年后天琴座 織女 T 25800年 41 歲差 恒星年 太陽年 20分23秒 42 我國古代已發(fā)現(xiàn)了歲差 每50年差1度 約72 年 將歲差引入歷法 391年有144個閏月 43 當(dāng)旋進(jìn)發(fā)生后 總角速度 只有剛體高速自轉(zhuǎn)時 才有 這時也才有和以上的表示式 當(dāng)考慮到對的貢獻(xiàn)時 自轉(zhuǎn)軸在旋 進(jìn)中還會出現(xiàn)微小的上下的周期性擺動 運動叫章動 nutation 這種 44 1 定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)問題 解法 利用定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)描述關(guān)系 2 轉(zhuǎn)動慣量的計算 解法 1 定義法 習(xí)題基本類型 45 2 平行軸定理 若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行 相距為d 剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為J 則有J JC md2 3 定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)問題 解法 利用定軸轉(zhuǎn)動中的轉(zhuǎn)動定律 步驟 1 審題 確定研究對象 2 建立坐標(biāo)系 3 對研究對象進(jìn)行受力分析和受力矩分析 并按坐標(biāo)系的正方向?qū)懗鐾饬氐谋磉_(dá)式及規(guī)律方 注 受力分析和受力矩須取隔離體 并用線角量關(guān)系將F ma與M J 聯(lián)系起來 4 計算對軸的轉(zhuǎn)動慣量 5 解方程 求未知 并對結(jié)果進(jìn)行必要的討論 46 4 定軸轉(zhuǎn)動中的功能問題 解法 利用動能定理和機(jī)械能守恒定律 5 角動量原理及角動量守恒定律 6 混合題型 解法 應(yīng)用運動學(xué)公式 轉(zhuǎn)動定律和角動量守恒定律 47 5 1一汽車發(fā)動機(jī)的轉(zhuǎn)速在7 0s內(nèi)由200rev min均勻地增加到3000rev min 1 求這段時間內(nèi)的初角速度 末角速度及角加速度 2 求這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度 3 發(fā)動機(jī)軸上裝有一半徑為r 0 2m的飛輪 求它邊緣上一點在這第7 0s末的切向加速度 法向加速度和總加速度 1 初角速度 解 0 2 200 60 20 9 rad s 末角速度 2 3000 60 314 rad s 角加速度為 2 轉(zhuǎn)過的角度為 48 總加速度為 總加速度與速度 切向 之間的夾角 3 切向加速度為 法向加速度為 49 由于轉(zhuǎn)動慣量具有可加性 所以已挖洞的圓板的轉(zhuǎn)動慣量J加上挖去的圓板補回原位后對原中心的轉(zhuǎn)動慣量J1就等于整個完整圓板對中心的轉(zhuǎn)動慣量J2即 5 2從一半徑為R的均勻薄板上挖去一個直徑為R的圓板 所形成的圓洞中心在距原薄板中心R 2處 所剩薄板的質(zhì)量為m 求此薄板對于通過原中心而與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量 解 設(shè)板質(zhì)量密度為 厚度為a 則 J J2 J1 50 由于 則 最后求得 5 3如圖 兩物體質(zhì)量為m1 m2 滑輪的質(zhì)量為m 半徑為r 可視作均勻圓盤 已知m2與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為 k 求m1下落的加速度和兩段繩子中的張力各為多少 設(shè)繩與滑輪間無相對滑動 滑輪軸受的摩擦力忽略不計 解 繩在輪上不打滑 向下為正 向右為正 線角量關(guān)系 對m1 m2 滑輪分別進(jìn)行受力分析 畫出示力圖 順時針為正 方程組的解為 53 5 4如圖 兩個圓輪的半徑分別為R1和R2 質(zhì)量分別為M1 M2 二者皆可視作均勻圓柱體且同軸固結(jié)在一起 可繞一水平固定軸自由轉(zhuǎn)動 今在兩輪上繞有細(xì)繩 繩端分別掛上質(zhì)量為m1和m2的兩個物體 求在重力作用下 m2下落時輪的角加速度 解 向上為正 向下為正 對m1 m2 整個滑輪分別進(jìn)行受力分析 畫出示力圖 順時針為正 54 線角量關(guān)系 繩在輪上不打滑 方程組的解為 55 5 5一根均勻米尺 在60cm刻度處釘?shù)綁ι?且可以在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動 先用手使米尺保持水平 然后釋放 求剛釋放時米尺的角加速度和米尺到豎直位置時的角加速度 解 設(shè)米尺總質(zhì)量為m 則直尺對懸點的轉(zhuǎn)動慣量為 對米尺 手剛釋放時 由轉(zhuǎn)動定律 56 在米尺轉(zhuǎn)到豎直位置過程中 系統(tǒng) 尺 地球 機(jī)械能守恒 57 5 6坐在轉(zhuǎn)椅上的人手握啞鈴 兩臂伸直時 人 啞鈴和椅系統(tǒng)對豎直軸的轉(zhuǎn)動慣量為J1 2kg m2 在外人推動后 此系統(tǒng)開始以n1 15r min轉(zhuǎn)動 當(dāng)人兩臂收回時 使系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量變?yōu)镴2 0 80kg m2 它的轉(zhuǎn)速n2是多大 解 兩臂收回過程中 系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒 什么力做了功 做功多少 設(shè)軸上摩擦忽略不計 由于兩臂收回過程中 人體受的沿豎直軸的外力矩為零 所以系統(tǒng)沿此軸的角動量守恒 兩臂收回時 系統(tǒng)的內(nèi)力 臂力 做了功 所以系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒 臂力做的總功為 58 59 5 7如圖所示 均勻桿長L 0 40m 質(zhì)量M 1 0kg 由其上端的光滑水平軸吊起而處于靜止 今有一質(zhì)量為m 8 0g的子彈以速度 200m s水平射入桿中而不復(fù)出 射入點在軸下d 3L 4處 1 求子彈停在桿中時桿的角速度 2 求桿的最大偏轉(zhuǎn)角 解 1 系統(tǒng) 桿 子彈 在碰撞過程中 合外力矩為0 因而系統(tǒng)的角動量守恒 在俯視圖中 選 為正方向 60 2 系統(tǒng) 桿 子彈 地球 上擺過程 只有重力 保守力 做功 系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 選桿豎直時勢能為零 61 5 8一轉(zhuǎn)臺繞豎直固定固定軸轉(zhuǎn)動 每轉(zhuǎn)一周所需時間t 10s 轉(zhuǎn)臺對軸的轉(zhuǎn)動慣量為J 1200kg m2 一質(zhì)量為M 80kg的人 開始站在轉(zhuǎn)臺中心 隨后沿半徑向外跑去 當(dāng)人離轉(zhuǎn)臺中心r 2m時轉(zhuǎn)臺的角速度多大 解 系統(tǒng) 人 轉(zhuǎn)臺 沒有受到沿軸的合外力矩作用 因而其角動量守恒 即 由此可得轉(zhuǎn)臺后來的角速度