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專題五函數(shù)與圖象 函數(shù)及其圖象是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容 函數(shù)關(guān)聯(lián)著豐富的幾何知識 且與許多知識有深刻的內(nèi)在聯(lián)系 又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ) 所以 以函數(shù)為背景的問題 題型多變 可謂函數(shù)綜合題長盛不衰 實際應(yīng)用題異彩紛呈 圖表分析題形式多樣 開放 探索題方興未艾 函數(shù)在中考中占有重要的地位 函數(shù)與圖象常用的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想 分類討論思想 函數(shù)與方程思想等 中考時常見的題型有圖象信息題 代數(shù)幾何綜合題 函數(shù)探索開放題 函數(shù)創(chuàng)新應(yīng)用題等 應(yīng)用以上數(shù)學(xué)思想解決函數(shù)問題的題目是中考壓軸題的首選 函數(shù)圖象和性質(zhì)例1 已知二次函數(shù)y a x 1 2 c的圖象如圖Z5 1 則 一次函數(shù)y ax c的大致圖象可能是 圖Z5 1 A B C D 解析 根據(jù)二次函數(shù)開口向上則a 0 根據(jù) c是二次函數(shù)頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo) 得出c 0 故一次函數(shù)y ax c的大致圖象經(jīng)過第一 二 三象限 故選A 答案 A 名師點評 首先根據(jù)二次函數(shù)圖象得出a c的值 進(jìn)而利 用一次函數(shù)性質(zhì)得出圖象經(jīng)過的象限 例2 2014年廣東汕尾 汽車以60千米 時的速度在公路上勻速行駛 1小時后進(jìn)入高速路 繼續(xù)以100千米 時的速度勻速行駛 則汽車行駛的路程s 單位 千米 與行駛的時間t 單位 小時 的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是 A B C D 解析 汽車以60千米 時的速度在公路上勻速行駛 1小時后進(jìn)入高速路 所以前1小時路程隨時間增大而增大 后來以100千米 時的速度勻速行駛 路程的增加幅度會變大一點 故本題選擇C 答案 C 名師點評 本題主要考查了函數(shù)的圖象 解決本題的關(guān)鍵是分析汽車行駛過程的速度變化情況 注意橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)所表示的意義 函數(shù)解析式的求法 點M 2 1 1 求該函數(shù)的表達(dá)式 2 當(dāng)2 x 4時 求y的取值范圍 直接寫出結(jié)果 名師點評 本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式 以及反比例函數(shù)的性質(zhì) 關(guān)鍵是正確確定函數(shù)解析式 代數(shù)幾何綜合題 例4 2013年廣東深圳 如圖Z5 2 過點A 0 4 的圓的圓心坐標(biāo)為C 2 0 B是第一象限圓弧上的一點 且BC AC 拋物 1 點B的坐標(biāo)為 拋物線的表達(dá)式為 2 如圖Z5 3 求證 BD AC 3 如圖Z5 4 點Q為線段BC上一點 且AQ 5 直線AQ交 C于點P 求AP的長 圖Z5 2 圖Z5 3 圖Z5 4 解 1 如圖Z5 5 過點B作BE x軸于點E 圖Z5 5 圖Z5 6 AC BC ACO BCE 90 ACO OAC 90 BCE CBE 90 OAC BCE ACO CBE 在 AOC與 CEB中 AOC CEB ASA CE OA 4 BE OC 2 OE OC CE 6 B點坐標(biāo)為 6 2 3 解 如圖Z5 7 圖Z5 7 名師指點 本題是二次函數(shù)綜合題型 考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 待定系數(shù)法 全等三角形 勾股定理 勾股定理的逆定理 垂徑定理等知識點 本題設(shè)計考點清晰 層次合理 第 1 問主要考查全等三角形和待定系數(shù)法 第 2 問主要考查勾股定理及其逆定理 第 3 問主要考查垂徑定理與勾股定理 函數(shù)探索開放題 例5 2014年廣東深圳 如圖Z5 8 直線AB的解析式為y 2x 4 交x軸于點A 交y軸于點B 以A為頂點的拋物線交直線AB于點D 交y軸負(fù)半軸于點C 0 4 1 求拋物線的解析式 2 將拋物線頂點沿著直線AB平移 此時頂點記為E 與y 軸的交點記為F 求當(dāng) BEF與 BAO相似時 E點坐標(biāo) 記平移后拋物線與AB另一個交點為G 則S EFG與S ACD 是否存在8倍的關(guān)系 若有請直接寫出F點的坐標(biāo) 圖Z5 8 解 1 直線AB的解析式為y 2x 4 令x 0 得y 4 令y 0 得x 2 A 2 0 B 0 4 拋物線的頂點為點A 2 0 設(shè)拋物線的解析式為y a x 2 2 點C 0 4 在拋物線上 代入上式得 4 4a 解得a 1 拋物線的解析式為y x 2 2 2 平移過程中 設(shè)點E的坐標(biāo)為 m 2m 4 則平移后拋物線的解析式為y x m 2 2m 4 F 0 m2 2m 4 點E為頂點 BEF 90 若 BEF與 BAO相似 只能是點E作為直角頂點 BAO BFE 如答圖Z5 9 過點E作EH y軸于點H 則點H坐標(biāo)為 H 0 2m 4 圖Z5 9 B 0 4 H 0 2m 4 F 0 m2 2m 4 BH 2m FH m2 假設(shè)存在 聯(lián)立拋物線 y x 2 2與直線AB y 2x 4 可求得 D 4 4 S EFG與S ACD存在8倍的關(guān)系 S EFG 64或S EFG 1 聯(lián)立平移拋物線 y x m 2 2m 4與直線AB y 2x 4 可求得G m 2 2m 點E與點G橫坐標(biāo)相差2 即 xG xE 2 當(dāng)頂點E在y軸左側(cè)時 如答圖Z5 10 圖Z5 10 B 0 4 F 0 m2 2m 4 BF m2 2m m2 2m 64或 m2 2m 1 m2 2m可取值為64 64 1 1 當(dāng)取值為64時 一元二次方程 m2 2m 64無解 故 m2 2m 64 m2 2m可取值為 64 1 1 F 0 m2 2m 4 F坐標(biāo)可取為 0 60 0 3 0 5 同理 當(dāng)頂點E在y軸右側(cè)時 點F為 0 5 綜上所述 S EFG與S ACD存在8倍的關(guān)系 點F坐標(biāo)為 0 60 0 3 0 5 名師點評 本題是二次函數(shù)壓軸題 涉及運動型與存在型問題 難度較大 第 2 問中 解題關(guān)鍵是確定點E為直角頂點 且BE 2EF 第 2 問中 注意將代數(shù)式表示圖形面積的方法 注意求坐標(biāo)過程中方程思想與整體思想的應(yīng)用