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第25講圓的基本性質(zhì) 1 主要概念 1 圓 平面上到 的距離等于 的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓 叫圓心 叫半徑 以O(shè)為圓心的圓記作 O 2 弧和弦 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫 經(jīng)過圓心的弦叫直徑 是最長(zhǎng)的弦 3 圓心角 頂點(diǎn)在 角的兩邊與圓相交的角叫圓心角 4 圓周角 頂點(diǎn)在 角的兩邊與圓相交的角叫圓周角 5 等弧 在同圓或等圓中 能夠完全 的弧 定點(diǎn) 定長(zhǎng) 定點(diǎn) 定長(zhǎng) 弧 弦 直徑 圓心 圓上 重合 2 圓的有關(guān)性質(zhì) 1 圓的對(duì)稱性 圓是圖形 其對(duì)稱軸是 圓是圖形 對(duì)稱中心是 旋轉(zhuǎn)不變性 即圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度 都能與原來的圖形重合 2 垂徑定理及推論 垂徑定理 垂直于弦的直徑 并且 垂徑定理的推論 平分弦 不是直徑 的直徑 并且 弦的垂直平分線 并且平分弦所對(duì)的兩條弧 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑 垂直平分弦 并且平分弦所對(duì)的另一條弧 軸對(duì)稱 過圓心的任意一條直線 中心對(duì)稱 圓心 平分弦 平分弦所對(duì)的兩條弧 垂直于弦 平分弦所對(duì)的兩條弧 經(jīng)過圓心 3 弦 弧 圓心角的關(guān)系定理及推論 弦 弧 圓心角的關(guān)系 在同圓或等圓中 相等的圓心角所對(duì)的弧 所對(duì)的弦 推論 在同圓或等圓中 如果兩個(gè) 中有一組量相等 那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等 4 圓周角定理及推論 圓周角定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的 圓周角定理的推論 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等 同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧 半圓 或直徑 所對(duì)的圓周角是 90 的圓周角所對(duì)的弦是 相等 相等 圓心角 兩條弧 兩條弦 兩條弦心距 一半 相等 直角 直徑 5 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 設(shè)d為點(diǎn)P到圓心的距離 r為圓的半徑 點(diǎn)P在圓上 點(diǎn)P在圓內(nèi) 點(diǎn)P在圓外 6 過三點(diǎn)的圓 經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn) 有且只有一個(gè)圓 經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓 外接圓的圓心叫做三角形的外心 三角形的外心是三邊的交點(diǎn) 這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形 銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部 直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)處 鈍角三角形的外心在三角形的外部 7 圓的內(nèi)接四邊形 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角 d r d r d r 垂直平分線 互補(bǔ) 1 有關(guān)弦的問題 常作其弦心距 構(gòu)造直角三角形 2 有關(guān)直徑的問題 常作直徑所對(duì)的圓周角 D C C B 5 2015 甘肅省 ABC為 O的內(nèi)接三角形 若 AOC 160 則 ABC的度數(shù)是 A 80 B 160 C 100 D 80 或100 6 2015 甘南州 如圖 AB為 O的弦 O的半徑為5 OC AB于點(diǎn)D 交 O于點(diǎn)C 且CD 1 則弦AB的長(zhǎng)是 D 6 36 30 或150 C 點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理及勾股定理 根據(jù)題意作出輔助線 構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 2014 哈爾濱 如圖 O是 ABC的外接圓 弦BD交AC于點(diǎn)E 連接CD 且AE DE BC CE 1 求 ACB的度數(shù) 2 過點(diǎn)O作OF AC于點(diǎn)F 延長(zhǎng)FO交BE于點(diǎn)G DE 3 EG 2 求AB的長(zhǎng) 例2 2014 龍東 直徑為10cm的 O中 弦AB 5cm 則弦AB所對(duì)的圓周角是 點(diǎn)評(píng) 在很多沒有給定圖形的問題中 常常不能根據(jù)題目的條件把圖形確定下來 因此會(huì)導(dǎo)致解的不唯一性 這種題一題多解 必須分類討論 本題中 弦所對(duì)的圓周角不是唯一的 圓周角的頂點(diǎn)可能在優(yōu)弧上 也可能在劣弧上 依據(jù) 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 可知這兩個(gè)角互補(bǔ) 30 或150 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 2015 臺(tái)州 如圖 四邊形ABCD內(nèi)接于 O 點(diǎn)E在對(duì)角線AC上 EC BC DC 1 若 CBD 39 求 BAD的度數(shù) 2 求證 1 2 解 1 BC DC CBD CDB 39 BAC CDB 39 CAD CBD 39 BAD BAC CAD 39 39 78 2 證明 EC BC CEB CBE 而 CEB 2 BAE CBE 1 CBD 2 BAE 1 CBD BAE CBD 1 2 例3 2015 眉山 如圖 O是 ABC的外接圓 ACO 45 則 B的度數(shù)為 A 30 B 35 C 40 D 45 點(diǎn)評(píng) 當(dāng)圖中出現(xiàn)同弧或等弧時(shí) 常?？紤]到弧所對(duì)的圓周角或圓心角 一條弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的一半 通過相等的弧把角聯(lián)系起來 D 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 2015 海南 如圖 將 O沿弦AB折疊 圓弧恰好經(jīng)過圓心O 點(diǎn)P是優(yōu)弧AMB上一點(diǎn) 則 APB的度數(shù)為 A 45 B 30 C 75 D 60 D 例4 矩形ABCD中 AB 8 BC 35 P點(diǎn)在邊AB上 且BP 3AP 如果圓P是以點(diǎn)P為圓心 PD為半徑的圓 那么下列判斷正確的是 A 點(diǎn)B C均在圓P外B 點(diǎn)B在圓P外 點(diǎn)C在圓P內(nèi)C 點(diǎn)B在圓P內(nèi) 點(diǎn)C在圓P外D 點(diǎn)B C均在圓P內(nèi) 點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定 根據(jù)點(diǎn)與圓心之間的距離和圓的半徑的大小關(guān)系作出判斷 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4 在數(shù)軸上 點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為3 點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為a A的半徑為2 下列說法中不正確的是 A 當(dāng)a 5時(shí) 點(diǎn)B在 A內(nèi)B 當(dāng)1 a 5時(shí) 點(diǎn)B在 A內(nèi)C 當(dāng)a 1時(shí) 點(diǎn)B在 A外D 當(dāng)a 5時(shí) 點(diǎn)B在 A外 C A