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一 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則 第九節(jié) 二 初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與 初等函數(shù)的連續(xù)性 第一章 在其定義域內(nèi)連續(xù) 一 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則 定理1 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和 差 積 利用極限的四則運(yùn)算法則證明 商 分母不為0 運(yùn)算 結(jié)果仍是一個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) 例如 定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù) 例如 反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù) 在 上連續(xù) 其反函數(shù) 在 上也連續(xù)單調(diào)遞增 又如 單調(diào)遞增 定理3 意義 1 極限符號可以與函數(shù)符號互換 例1 解 求 解 原式 例2 求 解 原式 說明 若 則有 定理4 例如 二 初等函數(shù)的連續(xù)性 三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的 基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù) 一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 例如 的連續(xù)區(qū)間為 端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù) 的連續(xù)區(qū)間為 的定義域?yàn)?因此它無連續(xù)點(diǎn) 而 例3 設(shè) 解 討論復(fù)合函數(shù) 的連續(xù)性 故此時連續(xù) 而 故 x 1為第一類間斷點(diǎn) 在點(diǎn)x 1不連續(xù) 三 如何找間斷點(diǎn) 1 初等函數(shù) 求定義域 各子區(qū)間的邊界點(diǎn) 2 分段函數(shù) 討論分段點(diǎn) 1 x 在x0是否處有定義 逐步研究 注意 1 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 2 分段函數(shù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù) 是可去間斷點(diǎn) 是無窮遠(yuǎn)間斷點(diǎn) 是可去間斷點(diǎn) 一 最值定理 二 介值定理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 注意 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù) 結(jié)論不一定成立 一 最值定理 定理1 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù) 即 設(shè) 則 使 值和最小值 或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 在該區(qū)間上一定有最大 點(diǎn) 例如 無最大值和最小值 也無最大值和最小值 又如 二 介值定理 由定理1可知有 證 設(shè) 上有界 定理2 零點(diǎn)定理 至少有一點(diǎn) 且 使 推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界 定理3 介值定理 設(shè) 且 則對A與B之間的任一數(shù)C 一點(diǎn) 證 作輔助函數(shù) 則 且 故由零點(diǎn)定理知 至少有一點(diǎn) 使 即 推論 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 使 至少有 必取得介于最小值與 最大值之間的任何值 例1 證明方程 一個根 證 顯然 又 故據(jù)零點(diǎn)定理 至少存在一點(diǎn) 使 即 說明 內(nèi)必有方程的根 取 的中點(diǎn) 內(nèi)必有方程的根 可用此法求近似根 二分法 在區(qū)間 內(nèi)至少有 則 則 內(nèi)容小結(jié) 例2 證 由零點(diǎn)定理 內(nèi)容小結(jié) 基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果仍連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 說明 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其左 右連續(xù)性 內(nèi)容小結(jié) 在 上達(dá)到最大值與最小值 上可取最大與最小值之間的任何值 4 當(dāng) 時 使 必存在 上有界 在 在 證明至少存在 使 提示 令 則 易證 1 設(shè) 一點(diǎn) 習(xí)題課 思考與練習(xí) 2 至少有一個不超過4的 證 證明 令 且 根據(jù)零點(diǎn)定理 原命題得證 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 在開區(qū)間 顯然 正根