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算法設(shè)計問題示例 計算機科學(xué)的本質(zhì)是算法 計算機硬件系統(tǒng)僅僅是依照特定的算法 按照物理和電子學(xué)原理 采用特定的工藝流程生產(chǎn)的一種電子計算裝置 計算機程序設(shè)計語言是僅僅是程序員與計算機硬件系統(tǒng)進行溝通 交流的一種工具語言熟練掌握一種程序設(shè)計語言是成為一名優(yōu)秀程序員的基礎(chǔ) 要成為一名優(yōu)秀的 能夠解決各類疑難問題的程序員必須具有良好的算法設(shè)計的品質(zhì) 1 中國象棋中馬的走法 問題描述 在4 5的棋盤上已知馬的起始坐標 x y 求馬能夠返回到起始位置的不重復(fù)的所有不同走法的總數(shù) 回溯法 馬當(dāng)前所在的位置是當(dāng)前擴展結(jié)點 每個活結(jié)點可能有八個孩子結(jié)點 如何記錄馬行走的路徑 1 5 2 6 4 3 classHorse private intchess 5 6 intd 2 8 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 intsx sy intcount public Horse intx inty sx x sy y for inti 0 i 6 sy 5 return backtrack sx sy returncount Privatestaticvoidbacktrack intp1 intp2 PrivatestaticvoidHorse backtrack intp1 intp2 intpi pj for inti 0 i 0 2 合法的括號序列 問題描述 定義合法的括號序列 1 空序列是合法的括號序列 2 如果符號串S是合法的括號序列 則 S 和 S 均是合法的括號序列 3 如果符號串A和B是合法的括號序列 則AB也是合法的括號序列 現(xiàn)有由 組成的任意符號串X x1x2 xn 請?zhí)砑颖M可能少的四種括號 使其成為一個合法的括號序列 動態(tài)規(guī)劃 分析 假設(shè)子問題Xij xixi 1 xkxk 1 xj 1xj最少需要添加m i j 個括號 則 0i j1i jm i j min m i j m i 1 j 1 xi sj xi xj min m i j m i 1 j 1xi xi min m i j m i j 1 1xj xj min m i j m i k m k 1 j i k j 否則 publicstaticintkh char x intn x length 1 int m newint m 1 n 1 for inti 1 i n i m i i 1 0 for inti 1 i n i m i i 1 for intr 2 i n r for inti 1 i n r 1 i intj i r 1 m i j MaxINT if x i 3 棋盤的最優(yōu)分割 問題描述 一個8 8的棋盤中每個格子里均有一個分值 對棋盤沿著任意一條格子線進行一次分割 將使棋盤成為兩塊矩形棋盤 給定n 15 對原棋盤進行n 1次分割 就把棋盤分割成了n塊矩形棋盤 一塊矩形棋盤的總分是他的所有格子的分值之和 請設(shè)計算法 給出把原棋盤分割成n塊矩形棋盤的方案 使得各矩形棋盤總分的平方和最小 其中xi是第i塊棋盤的總分 動態(tài)規(guī)劃 x1 y1 x2 y2 a b 3 棋盤的最優(yōu)分割 假設(shè)左上角為 x1 y1 右下角為 x2 y2 的棋盤的總分為 s x1 y1 x2 y2 被切割k次后得到的k 1塊矩形的總分平方和的最小值是 d k x1 y1 x2 y2 則 d k x1 y1 x2 y2 min min d k 1 x1 y1 a y2 s a 1 y1 x2 y2 d k 1 a 1 y1 x2 y2 s x1 y1 a y2 x1 a x2 min d k 1 x1 y1 x2 b s x1 b 1 x2 y2 d k 1 x1 b 1 x2 y2 s x1 y1 x2 b y1 b y2 我們最終需要的是 d n 1 1 8 8 4 多邊形游戲 問題描述 a任意畫了一個凸n邊形 并任意對其n個頂點進行1到n的編號 A又再這個多邊形上畫了m條不會相交于多邊形內(nèi)部的弦 現(xiàn)在a以 i j 的方式把這n條邊和m條弦告訴給b 讓b說出n邊形的n個頂點的編號順序 其中 i j 是編號為i j的兩個頂點之間的一條邊或者弦 問題分析 m條不會相交與多邊形內(nèi)部的弦 表明 a畫的n邊形中至少有兩個頂點不是任何弦的端點 而交于這個頂點的必定是多邊形的邊 這樣的頂點的度為2 算法 1 求出所有度為2的頂點 2 當(dāng)存在度為2的取出一個度為2的頂點s 以s為端點的邊是 s u 和 s v 2 從邊集中刪除這兩個邊 并標記或補充補充標記虛邊 u v 示例 n 8 m 513條直線是 1 5 5 2 2 7 7 6 6 4 4 8 8 3 3 1 2 3 2 8 7 4 5 3 2 4 6 4 7 2 8 3 5 1 5 分離英文單詞 問題描述 長度為n的雙重單詞串是一個由小寫英文字母組成的字符串 它至少存在兩種分離單詞的方法 每種方法都能形成一組正確的單詞排列 并且兩種方法中不會出現(xiàn)相同的單詞 同一單詞不會重復(fù)出現(xiàn) 一個單詞在一種方法中的結(jié)束位置不會與某個單詞在另一種方法中的結(jié)束位置相同 單詞串結(jié)束例外 給定包含m個單詞的單詞表 是否能夠從中選擇出若干個單詞 組成一個長度為n的雙重單詞串 示例 n 17 m 14all an and are area as ask at data last or read real task 雙重單詞串是 andatareallastask 5 分離英文單詞 問題分析 字母表 是否存在兩個不相交的子集A和B 他們中所有單詞的長度之和均等于n No 不存在長度為n的雙重單詞串 Why Yes 的長度為n的雙重單詞串的構(gòu)造算法 等量0 1背包問題 分別由字母表 的子集A和B中所有單詞構(gòu)造長度為n相同的兩個字符串 該字符串就是 上的長度為n的雙重單詞串 0 3 0 5 3 2 0 8 5 6 3 5 2 3 0 11 8 an ask data last real as at and all are task an and data at are real all last as task ask 6 會餐交友問題 問題描述 某機構(gòu)舉行一次不超過500人參加的盛大餐會 以增進與會者之間的友誼 所以采取自助餐形式 客人可以自由走動 交談 由于客人中有些相互認識 有些相互不認識 為了讓客人相互引見 使大家都能認識更多的朋友 舉辦方想控制中途離開的客人的人數(shù) 當(dāng)客人離開太多時 就應(yīng)該宣布餐會結(jié)束 問題是 最少有多少客人離開后 剩下的客人兩兩彼此都不認識 輸入示例 81 21 32 47 64 35 60 0 輸入數(shù)據(jù) n表示客人的個數(shù) 客人的編號依次是1 2 n i j表示客人i和j相互認識 i 0 j 0時輸入數(shù)據(jù)結(jié)束 輸出示例 32 3 6 1 2 3 6 5 7 4 6 會餐交友問題的算法 一個結(jié)點代表什么 結(jié)點的度說明了什么 FIFO還是優(yōu)先隊列 為什么按照結(jié)點的度由大到小排隊 刪除一個結(jié)點意味著什么 之后還需要做什么 7 點在哪個圖形內(nèi) 問題描述 給定一組圖形 矩形或者圓 和一組點 判斷每個點落在哪個圖形內(nèi) 輸入示例 R0 00 05 510 3C 5 0 5 03 7R2 52 512 512 5 2 02 04 75 39999 99999 9 輸出示例 Point1iscontainedinfigure1 Point2iscontainedinfigure1 Point2iscontainedinfigure3 x0 y0 x2 y2 x1 x x2 y1 y y2 r x x0 2 y y0 2 r2 x1 y1 8 最小半徑圓 問題描述 給設(shè)平面上有n個點 0 n 1000 第i個點的坐標是 xi yi 約定0 xi 10000 0 yi 10000 求一個最小半徑的圓 使得n個點均在圓內(nèi) 可以在圓上 輸入示例 33001001400011110400204022 輸出示例 0 500 500 710 500 500 712 000 002 00 半徑為0的圓 以兩點之間的直線為直徑的圓 以兩條垂直平分線的交點為圓心的圓 9 等高登山問題 問題描述 兩個人在一山脈的兩頭處于同一水平位置 他們商定以等高的方式同時登上山脈的最高頂 已知整個山脈中每個山頂和谷底的坐標 由于兩個人要保持等高 所以他們的速度和上下方向完全不同 請寫算法為他們計算出每次有人改變上下方向時 兩個人所處的位置坐標 0 1 2 3 7 11 13 16 1 2 3 5 9 等高登山問題 輸入示例600223175111133160 輸出示例60 000 0016 000 002 002 0014 002 003 001 0015 001 005 003 0013 003 003 001 0011 001 007 005 007 005 00 算法 聯(lián)想 速度 一維 動畫 10 模運算問題 問題描述 某美國麻省理工學(xué)院的三位教授發(fā)明了目前很流行的編碼規(guī)則 稱為RSA 這種編碼規(guī)則的使用 要求有一個高效的模運算函數(shù) 請你幫他們設(shè)計一個這樣的函數(shù) 對于三個正整數(shù)a b c 1 a b c 32768 計算abmodc 問題分析 冪運算使得結(jié)果數(shù)據(jù)變大 我們面對的是ab 模運算使得結(jié)果數(shù)據(jù)變小 對乘積及時求莫 把一次莫運算變成多次模運算 依據(jù) x ymodz x ymodz modz 10 模運算問題 intfmod inta intb intc if 1 a 11 最短表面距離問題 問題描述 一個長方體P x y z 0 x L 0 y W 0 z H 的表面上有兩個點A x1 y1 z1 和B x2 y2 z2 求A與B之間的最短表面距離 問題分析 平面上兩點之間的直線距離最短 球面上兩點之間的最短距離 延伸 此問題非平面亦非球面 轉(zhuǎn)化 將長方體表面上的兩點轉(zhuǎn)化成平面上的兩點 區(qū)分 1 兩點在長方體的同一表面上 2 兩點在長方體的兩個相鄰表面上 3 兩點在長方體的兩個相對表面上 11 最短表面距離問題 1 A x1 y1 z1 和B x2 y2 z2 在長方體的同一表面上 直接計算直線距離 2 A x1 y1 z1 和B x2 y2 z2 在長方體的兩個相鄰表面上 展開長方體 分三種情況 取小 3 A x1 y1 z1 和B x2 y2 z2 在長方體的兩個相對表面上 展開長方體 分12種情況 取小 12 多花錢多賣魚問題 問題描述 現(xiàn)有資金m 想去購買n種魚中盡可能多的魚 每種魚只能購買一條 第i條魚的價格是pi 如果第i條魚與第j條魚相互斗食而不能共存 則這兩條魚只能選擇其一 寫出能夠計算出最佳買魚方案的算法 輸入示例 170717025033044054063072014173435576700 輸出示例 41602456 這是一個什么問題 12 多花錢多賣魚問題 問題分析 這個問題有一些約束條件 1 所買魚的價格總和不能超過資金數(shù)m 2 不能共存的魚不能同時購買 3 每種魚最多買一條 4 在滿足上述條件的前提下 買盡可能多的魚 5 在滿足上述條件的前提下 花盡可能多的買魚錢 這是一個什么性質(zhì)的問題 輸入示例 170717025033044054063072014173435576700 170 250 330 440 540 630 720 13 巧妙的剪紙問題 問題描述 有一張正方形的紙 用筆和直尺把它等分成m m個小方格 用彩筆選擇任一小方格作為起點 任意地一筆畫一條正好經(jīng)過了n n個小方格的彩線 把有彩線的小方格標記為 我們的問題是 你能夠把所有標記為 的小方格從紙上全部剪下來在一張紙片上 然后再把它分剪成兩片紙 使得這兩片紙經(jīng)過旋轉(zhuǎn) 翻轉(zhuǎn)或平移后可以拼成一個n n的正方形 A B B A B A B B B B A A A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B 13 巧妙的剪紙問題 問題分析 我們需要解決兩個問題 1 如何巧妙地將所有帶 的紙剪成兩片紙 2 這兩片紙如何拼接成一個正方形 所有的 是連通的 剪掉所有的空白紙 并記錄橫向或者縱向上 連續(xù)個數(shù)大于n的直線坐標 從左到右 從上到下找到第一個與空白紙相鄰的 從此開始 按照右手規(guī)則剪掉所有的空白紙 n n的正方形是由兩片紙拼接成的 這兩片紙中直線上有連續(xù)n個 的情形可以分為幾種 帶 的紙片上連續(xù)超過n個 的直線是需要下剪子的 13 巧妙的剪紙問題 紙片的平移 旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn) 對兩張紙片分別進行矢量化處理 若取左上角方格的坐標是 0 0 則任意方格都有了相對坐標 x y 旋轉(zhuǎn) 逆時針90 x y y x 翻轉(zhuǎn) 上下 x y x y 左右 x y x y 平移 x y x d y d 拼接 做一個n n的正方形模版 先把第一張紙片放進去 再將第二張紙片經(jīng)過有限次平移 旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)后放進去 若成功 則結(jié)束 14 單軌砌積木問題 問題描述 有n個邊長為1的正方體積木 要堆砌在一個無限長 寬為1的水平軌道上 形成一個高度不超過m的積木堆 1 水平方向上第一層積木之間不能分離 2 積木的下面必須與軌道或另一個積木的上面完全接觸 3 若兩種堆砌方案經(jīng)翻轉(zhuǎn)后形狀一樣 則認為他們是同一種方案 試計算出所有的不同堆砌方案 這又是一個什么問題 這又是一個什么性質(zhì)的問題 15 盒子里的氣球問題 問題描述 在一個長方體盒子里 有n個點 在任何一個點上放置一個半徑為0的氣球 它就會膨脹成一個以該點為球心的標準球體 直到接觸到其他氣球或盒子的邊界 必須等到一個氣球膨脹停止后才能放置下一個氣球 按照什么樣的順序在這n個點上放置氣球 能使得n個氣球放置完畢后 所有氣球的體積總和最大 枚舉法 假設(shè)要放置的第i個氣球的球心是 xi yi zi 現(xiàn)在需要計算它膨脹停止后的半徑Ri 假定它最終接觸到的氣球是半徑為Rj的第j個氣球 則 Ri min Dij xi xj 2 yi yj 2 zi zj 2 1 2 Rj xi yi zi 到盒子每個面的距離 16 釣魚問題 問題描述 某人有h小時的時間想釣到數(shù)量最多的魚 這時他已經(jīng)在一條路邊 從他所在的地方開始 放眼望去 n個魚場一字排開 編號依次是1 2 n 他已經(jīng)知道 從魚場i走到魚場i 1需要花ti分鐘 他在魚場i釣魚 第一個5分鐘可釣到重fi的魚 若他繼續(xù)在魚場i釣魚 每過5分鐘 魚量將減少di 請你給他設(shè)計一個最佳釣魚方案 貪心算法 17 折紙留痕問題 問題描述 給你一張大矩形紙 連續(xù)從右向左對折紙n次形成一個紙條 現(xiàn)在把這個紙條小心地沿著折痕連續(xù)打開 使得折痕連接的兩個面保持垂直 這時從紙的一端沿著和紙面平行的方向看去 會看到一條美妙的畫面 快寫個程序把這樣的畫面繪制出來 遞歸與分治算法 18 三色凸多邊形問題 問題描述 有一個凸n邊形 用紅 綠 藍對它的所有頂點進行染色 使得相鄰頂點不同色 而且三種顏色都用過 請給出這個多邊形一種三角剖分方案 使得每個三角形的三個頂點都不同色 遞歸與分治算法 19 超長數(shù)字串問題 問題描述 給定一個數(shù)字串S 12345678910111213141516171819202122232425262728293031 它是由所有自然數(shù)從小到大依次排列起來的 任意一個數(shù)字串S1一定在S中出現(xiàn)無窮多次 請你計算S1在S中首次出現(xiàn)的位置 遞歸與分治算法 20 彩球問題 問題描述 有n個人 每個人任意從編號為1到n的n個彩球中拿走一個彩球 你知道剩下的那個彩球的編號嗎 你有權(quán)利每次詢問第i個人他的彩球編號的右數(shù)第j個二進制位dij是幾 他會正確回答你的 你能用最少的詢問次數(shù)來確定最后一個彩球的編號嗎 遞歸與分治算法 21 月亮之眼問題 問題描述 很早以前 在佛教圣地某廟宇的一根大立柱上 鑲嵌著一串用銀白色和黛黑色各染一半的金線串接起來的 由n顆珍珠組成的 謂之 月亮之眼 的圣物 由于所有珍珠以及它們之間的金線在柱子上形成一條與地面垂直 與柱子平行的直線 可能會有兩個珍珠鑲嵌在同一地方 可能會有兩根金線重疊擺放 所有使得圣物很美麗壯觀 可是有一天 圣物突然脫落遺失 幾千年后 一個古董商人得到了圣物 他出于對佛的虔誠 把圣物送回圣地 圣地的僧人想恢復(fù)圣物的原狀 可他們怎么都無法把圣物原樣地鑲嵌在柱子上 你能幫助他們嗎 遞推 問題示例 6 1 2 3 7 8 9 5 4 5 1 1 1 1 4 4 3 3 6 1 2 3 7 8 9 5 4 1 1 1 3 2 2 22 丟失的正整數(shù)數(shù)列問題 問題描述 數(shù)學(xué)老師給全班同學(xué)寫了一個包含n個正整數(shù)的遞增數(shù)列 要求大家回家后同樣按照遞增的次序 寫出所有的 任意兩個數(shù)的和 有個同學(xué)很快就寫完了作業(yè) 可是他出去玩了一會 回來后發(fā)現(xiàn)老師給的原始數(shù)列丟失了 你能幫他找回來嗎 遞推 22 丟失的正整數(shù)數(shù)列問題 問題分析 假設(shè)這個同學(xué)丟失的正整數(shù)遞增數(shù)列是 a1 a2 a3 a4 an他寫出的結(jié)果包含了n n 1 2個數(shù) 它們由小到大是 k1 k2 k3 k4 a1 a2 k1 a1 a3 k2 a2 a3 假設(shè)a2 a3 kx 則解方程可得 a1 a2 a3 依次遞推計算寫出每個ai 22 丟失的正整數(shù)數(shù)列問題 例題 假設(shè)K 4 5 7 10 11 12 13 13 14 19 求a1 a2 a3 a4 解 因為a1 a2 4 a1 a3 5 a2 a3是K中的哪一個數(shù)呢 a1 a2 a3 因為只有a1 ai可能比a2 a3小 所以a2 a3是K中的序號一定在3到 n 3 之間 由于a2 a3 a1 a2 a1 a3 k1 k2 據(jù)此可以提高枚舉的速度 所以a2 a3 7 于是a1 1 a2 3 a3 4 從K中刪掉這三個數(shù)的和有K 10 11 12 13 13 14 19 于是 進一步遞推有a1 a4 10 所以a4 9 從K中刪掉由于a4產(chǎn)生的和有K 11 13 14 19 同樣進一步遞推有a1 a5 11 所以a5 10 從K中刪掉由于a5產(chǎn)生的和有K 所以A 1 3 4 9 10 23 電氣工程師的煩惱 問題描述 電氣工程師們剛為學(xué)校計算機大樓布好網(wǎng)線 結(jié)果發(fā)現(xiàn) 在入口處已經(jīng)明確標記了各條網(wǎng)線的編號是1 2 3 n 但到了機房 這n條網(wǎng)線的順序全亂了 為了知道這些網(wǎng)線的對應(yīng)關(guān)系 他們測得網(wǎng)線中途有許多相互交叉的現(xiàn)象 而且兩條線最多交叉一次 你如果知道了所有網(wǎng)線的交叉信息 能夠幫他們找到這n條網(wǎng)線在機房的排列順序嗎 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 電氣工程師的煩惱 問題分析 以各條網(wǎng)線的編號1 2 3 n為頂點構(gòu)造一個有向圖 若i j同時i與j不相交 則畫由i到j(luò)的有向邊 若i j同時i與j相交 則畫由j到i的有向邊 例如 1 2 3 4 5 每個頂點的入度就是它前面網(wǎng)線的條數(shù) 入度為0的頂點唯一 拓撲排序 24 煎餅 問題描述 鍋里有一疊n個煎餅 每個煎餅有唯一的一個數(shù)字 廚師每次只能選擇一個數(shù)k 把從鍋底開始數(shù) 第k張以上的煎餅全部拿起 反過來又放在上面 在只能對煎餅進行紅色所描述的操作的前提下 請你幫廚師設(shè)計一個算法 使得所有煎餅由下到上 從小到大堆放 2 5 7 6 4 8 2 5 7 6 4 8 2 5 7 6 4 8 K 3 K 1 25 士兵排隊問題 問題描述 有n個士兵分散在一個網(wǎng)格形的廣場上 每個網(wǎng)格的位置由整數(shù)坐標 x y 給出 士兵每步移動是在他的當(dāng)前網(wǎng)格向上 下 左或者右移動一個網(wǎng)格 你作為指揮官 命令所有士兵集中到一個網(wǎng)格內(nèi) 但要保證所有士兵的移動步數(shù)之和最小 你向大家宣布的是哪個網(wǎng)格 中位數(shù)原理 快速選擇算法 26 最小可靠交換問題 問題描述 有n個整數(shù)寄存器r1 r2 rn 比較 交換指令 cei j 如果 ri 大于 rj 則交換寄存器ri和rj的內(nèi)容 一個比較 交換程序是任意有限個比較 交換指令的序列 如果運行一個比較 交換程序之后 寄存器r1的值總是所有寄存器的值中最小的 則這個比較 交換程序是一個最小值查找程序 如果從一個最小值查找程序中刪除任意一條比較 交換指令后 它仍然是一個最小值查找程序 則它是一個可靠的最小值查找程序 給定一個最小值查找程序P 最少在P的尾部添加幾條比較 交換指令 才能使P變成可靠的最小值查找程序 例如 有3個寄存器r1 r2 r3 ce1 2 ce2 3 ce1 2 是一個最小值查找程序 ce1 2 ce2 3 ce1 2 ce1 3 ce1 2 可靠的最小值查找程序 27 千年慶典 赤道大篝火 問題描述 用涂滿焦油的圓木撒上火藥粉后鋪滿整個赤道 赤道上有n個地方 地方i到地方i 1的距離是si 選擇其中任意m個地方 在新千年的t1 t2 tm分鐘時 點燃圓木 假設(shè)圓木點燃后 大火蔓延的速度是v公里 分 圓木一旦點燃 就可以燃燒足夠長的時間 你能夠告訴大家 赤道每個地方圓木的起火時間嗎 28 團伙 問題描述 某城市有n個人 任何兩個認識的人不是朋友就是敵人 并且 1 朋友的朋友是朋友 2 敵人的敵人是朋友 所有是朋友的人組成了一個團伙 現(xiàn)在已知關(guān)于這n個人的m條信息 i j t t 0表示i和j是朋友 t 1表示i和j是敵人 請你計算出這個城市里所有的團伙及其構(gòu)成 i j 0 i和j是朋友 合并i和j所在的朋友集合 i j 1 i和j是敵人 i的敵人是集合e i 將i置入集合e j 將j置入集合e i 集合的存儲結(jié)構(gòu)樹 29 方塊消除游戲 問題描述 有顏色的方塊排成一列 相鄰的 相同顏色的方塊連成一個區(qū)域 游戲者可任選一個有k個方塊的區(qū)域進行消除 從而獲得k2的得分 方塊消除后 其右邊的所有方塊會自動向左平移 與被消除方塊的左邊相連 你能夠計算出一個方塊消除游戲的最高得分及其游戲方法嗎 最高得分 42 32 22 29 一個方塊游戲可以描述成 c 1 l 1 c 2 l 2 c n l n c i l i 表示第i個區(qū)域的顏色c i 和方塊個數(shù)l i 假設(shè)f i j k 是消除下列區(qū)域的最大得分 c i l i c i 1 l i 1 c j 1 l j 1 c j l j k 則 0i jf i j k l i k 2i jmax f i j 1 0 l j k 2 f i p k l j f p 1 j 1 0 30 方塊消除游戲 問題描述 有顏色的方塊排成一列 相鄰的 相同顏色的方塊連成一個區(qū)域 游戲者可任選一個有k個方塊的區(qū)域進行消除 從而獲得k2的得分 方塊消除后 其右邊的所有方塊會自動向左平移 與被消除方塊的左邊相連 你能夠計算出一個方塊消除游戲的最高得分及其游戲方法嗎 最高得分 42 32 22 29