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1 2 3 n 追及與相遇問題 1 追及與相遇問題的實質 2 理清三大關系 兩者速度相等 它往往是物體間能否追上或 兩者 距離最大 最小的臨界條件 也是分析判斷的切入點 研究的兩物體能否在相同的時刻到達相同的空間位置的問題 時間關系 速度關系 位移關系 3 巧用一個條件 1 物理分析法 抓好 兩物體能否同時到達空間某位置 這一關鍵 認真審題 挖掘題中的隱含條件 在頭腦中建立起一幅物體運動關系的圖景 2 數(shù)學分析法 設相遇時間為t 根據(jù)條件列方程 得到關于t的方程 通常為一元二次方程 用判別式進行討論 若 0 即有兩個解 說明可以相遇兩次 若 0 說明剛好追上或相遇 若 0 說明追不上或不能相碰 3 圖象法 將兩者的速度 時間圖象在同一坐標系中畫出 然后利用圖象求解 4 相對運動法 巧妙地選取參照系 然后找兩物體的運動關系 解答追及 相遇問題常用的方法 1 速度小者追速度大者 1 在解決追及相遇類問題時 要緊抓 一圖三式 即 過程示意圖 時間關系式 速度關系式和位移關系式 另外還要注意最后對解的討論分析 2 分析追及 相遇類問題時 要注意抓住題目中的關鍵字眼 充分挖掘題目中的隱含條件 如 剛好 恰好 最多 至少 等 往往對應一個臨界狀態(tài) 滿足相應的臨界條件 解題思路 分析兩物體運動過程 畫運動示意圖 找兩物體的關系式 列方程求解 1 汽車一定能追上自行車嗎 若能追上 汽車經多長時間追上 追上時汽車的瞬時速度多大 例3一輛汽車以3m s2的加速度開始啟動的瞬間 另一輛以6m s的速度做勻速直線運動的自行車恰好從汽車的旁邊通過 2 當v汽v自時 兩者距離如何變化 汽車追上自行車前多長時間與自行車相距最遠 此時的距離是多大 3 畫出兩車運動的v t圖象 并試著用圖象法解上述兩問題 例3一輛汽車以3m s2的加速度開始啟動的瞬間 解 汽車 例3一輛汽車以3m s2的加速度開始啟動的瞬間 另一輛以6m s的速度做勻速直線運動的自行車恰好從汽車的旁邊通過 1 汽車一定能追上自行車嗎 若能追上 汽車經多長時間追上 追上時汽車的瞬時速度多大 2 當v汽v自時 兩者距離如何變化 汽車追上自行車前多長時間與自行車相距最遠 此時的距離是多大 解 汽車 乘客 3 畫出兩車運動的v t圖象 并試著用圖象法解上述兩問題 練一練 甲 乙兩車在平直公路上比賽 某一時刻 乙車在甲車前方L1 11m處 乙車速度v乙 60m s 甲車速度v甲 50m s 此時乙車離終點線尚有L2 600m 如圖所示 若甲車加速運動 加速度a 2m s2 乙車速度不變 不計車長 求 1 經過多長時間甲 乙兩車間距離最大 最大距離是多少 2 經過多長時間甲乙兩車相遇 3 試通過計算說明到達終點前甲車能否超過乙車 2 速度大者追速度小者 說明 表中的 x是開始追及以后 后面物體因速度大而比前面物體多運動的位移 x0是開始追及以前兩物體之間的距離 t2 t0 t0 t1 v1是前面物體的速度 v2是后面物體的速度 解 汽車 乘客 此時人和車相距最近 此過程 x人 vt 4 2m 8m 在一條平直的公路上 乙車以10m s的速度勻速行駛 甲車在乙車的后面做初速度為15m s 加速度大小為0 5m s2的勻減速運動 則兩車初始距離L滿足什么條件時可以使 1 兩車不相遇 2 兩車只相遇一次 3 兩車能相遇兩次 設兩車相遇時互不影響各自的運動 例1 一輛汽車在十字路口等候綠燈 當綠燈亮起時汽車以3m s2的加速度開始行駛 恰在這時一輛自行車以6m s的速度勻速駛來 從后面超過汽車 試求 汽車從路口開動后 在追上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠 此時距離是多少 甲 乙兩車在一平直道路上同向運動 其v t圖象如圖示 圖中 OPQ和 OQT的 面積 分別為x1和x2 x2 x1 初始時 甲車在乙車前方x0處 A 若x0 x1 x2 兩車不會相遇B 若x0 x1 兩車相遇2次C 若x0 x1 兩車相遇1次D 若x0 x2 兩車相遇1次 ABC 分析 汽車追上自行車之前 v汽v自時 x變小 解法一物理分析法 兩者速度相等時 兩車相距最遠 速度關系 v汽 at v自 t v自 a 6 3 2s x v自t at2 2 6 2 3 22 2 6m 解法二用數(shù)學求極值方法來求解 設汽車在追上自行車之前經過t時間兩車相距最遠 x x1 x2 v自t at2 2 位移關系 x 6t 3t2 2 由二次函數(shù)求極值條件知 t b 2a 6 3s 2s時 x最大 xm 6t 3t2 2 6 2 3 22 2 6m 解法三用相對運動求解更簡捷 選勻速運動的自行車為參考系 則從運動開始到相距最遠這段時間內 汽車相對參考系的各個物理量為 初速度v0 v汽初 v自 0 6 6m s 末速度vt v汽末 v自 6 6 0 加速度a a汽 a自 3 0 3m s2 解法四用圖象求解 1 自行車和汽車的v t圖象如圖 由于圖線與橫坐標軸所包圍的面積表示位移的大小 所以由圖上可以看出 在相遇之前 在t時刻兩車速度相等時 自行車的位移 矩形面積 與汽車位移 三角形面積 之差 即斜線部分 達最大 所以 t v自 a 6 3 2s 2 由圖可看出 在t時刻以后 由v自線與v汽線組成的三角形面積與標有斜線的三角形面積相等時 兩車的位移相等 即相遇 所以由圖得相遇時 t 2t 4sv 2v自 12m s 2 什么時候汽車追上自行車 此時汽車的速度是多少 解 汽車追上自行車時 二車位移相等 位移關系 則vt at 2 2 6 t at 2 2 t 4s v at 3 4 12m s 思考 若自行車超過汽車2s后 汽車才開始加速 那么 前面的1 2兩問如何 例2 A火車以v1 20m s速度勻速行駛 司機發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距100m處有另一列火車B正以v2 10m s速度與A火車同方向勻速行駛 A車立即做加速度大小為a的勻減速直線運動 要使兩車不相撞 a應滿足什么條件 兩車恰不相撞的條件是 兩車速度相同時相遇 由A B速度關系 由A B位移關系 方法一 物理分析法 方法二 圖象法 代入數(shù)據(jù)得 若兩車不相撞 其位移關系應為 其圖像 拋物線 的頂點縱坐標必為正值 故有 方法三 二次函數(shù)極值法 代入數(shù)據(jù)得 不相撞 0 方法四 判別式法 以B車為參照物 A車的初速度為v0 10m s 以加速度大小a減速 行駛x 100m后 停下 末速度為vt 0 以B為參照物 公式中的各個量都應是相對于B的物理量 注意物理量的正負號 方法五 相對運動法 例3 一車從靜止開始以1m s2的加速度前進 車后相距x0為25m處 某人同時開始以6m s的速度勻速追車 能否追上 如追不上 求人 車間的最小距離 一 數(shù)學分析法 依題意 人與車運動的時間相等 設為t 當人追上車時 兩者之間的位移關系為 x車 x0 x人 即 at2 2 x0 v人t 由此方程求解t 若有解 則可追上 若無解 則不能追上 代入數(shù)據(jù)并整理得 t2 12t 50 0 b2 4ac 122 4 50 1 56 0 所以 人追不上車 二 物理分析法在剛開始追車時 由于人的速度大于車的速度 因此人車間的距離逐漸減小 當車速大于人的速度時 人車間的距離逐漸增大 因此 當人車速度相等時 兩者間距離最小 at v人t 6s 在這段時間里 人 車的位移分別為 x人 v人t 6 6 36m x車 at 2 2 1 62 2 18m x x0 x車 x人 25 18 36 7m 二 數(shù)學分析法 s 1 2 1 t2 25 6t 1 2 1 t2 6t 25 14 0 s t 例4 在平直公路上有兩輛汽車A B平行同向行駛 A車以vA 4m s的速度做勻速直線運動 B車以vB 10m s的速度做勻速直線運動 當B車行駛到A車前x 7m處時關閉發(fā)動機以2m s2的加速度做勻減速直線運動 則從此時開始A車經多長時間可追上B車 分析 畫出運動的示意圖如圖所示 A車追上B車可能有兩種不同情況 B車停止前被追及和B車停止后被追及 究竟是哪一種情況 應根據(jù)解答結果 由實際情況判斷 解答 設經時間t追上 依題意 vBt at2 2 x vAt 10t t2 7 4t t 7st 1s 舍去 B車剎車的時間t vB a 5s 顯然 B車停止后A再追上B B車剎車的位移xB vB2 2a 102 4 25m A車的總位移xA xB x 32m t xA vA 32 4 8s 思考 若將題中的7m改為3m 結果如何 答 甲車停止前被追及 錯解 4t 7 10t 2t2 t 1 舍 t 7 例5 汽車正以10m s的速度在平直公路上做勻速直線運動 突然發(fā)現(xiàn)正前方10m處有一輛自行車以4m s的速度同方向做勻速直線運動 汽車立即關閉油門 做加速度為6m s2的勻減速運動 問 汽車能否撞上自行車 若汽車不能撞上自行車 汽車與自行車間的最近距離為多少 汽車在關閉油門減速后的一段時間內 其速度大于自行車速度 因此 汽車和自行車之間的距離在不斷的縮小 當這距離縮小到零時 若汽車的速度減至與自行車相同 則能滿足汽車恰好不碰上自行車 分析 畫出運動的示意圖如圖所示 物理分析法解 1 汽車速度減到4m s時運動的時間和發(fā)生的位移分別為t v自 v汽 a 4 10 6 s 1sx汽 v自2 v汽2 2a 16 100 12 7m這段時間內自行車發(fā)生的位移x自 v自t 4m因為x0 x自 x汽所以 汽車不能撞上自行車 汽車與自行車間的最近距離為 x x0 x自 x汽 10 4 7 m 7m 數(shù)學分析法 x x0 x自 x汽 10 4t 10t 1 2 6t2 3t2 6t 10 84 0 無解不相遇 s t 典例二 追及類問題 例2 摩托車先由靜止開始以25 16m s2的加速度做勻加速運動 后以最大行駛速度25m s勻速運動 追趕前方以15m s的速度同向勻速行駛的卡車 已知摩托車開始運動時與卡車的距離為1000m 則 1 追上卡車前二者相隔的最大距離是多少 2 摩托車經過多少時間才能追上卡車 解析 1 對摩托車由靜止開始勻加速至vm 25m s 用時t1 vm a 16s 發(fā)生位移x1 vm2 2a 200m 顯然未追上卡車 則追上卡車前二者共速時 間距最大 如圖所示 即x x0 x卡 x摩 x摩 v2 2a x卡 v v a 由 聯(lián)立得x 1072m 1 通過運動的分析 找隱含條件2 利用二次函數(shù)求極值的方法3 因追及相遇問題至少涉及兩個物體的運動問題 對描述它們的物理量必須選同一參考系 基本思路是 分別對兩物體研究 畫出運動過程示意圖 列出方程 找出時間關系 解出結果 必要時進行討論 2 追上時 由運動情景圖 如圖所示 分析可知 x摩 x卡 x0vm2 2a vm t t1 x0 vt解得t 120s 答案 1 1072m 2 120s A B兩輛汽車在筆直的公路上同向行駛 當B車在A車前84m處時 B車速度為4m s 且正以2m s2的加速度做勻加速運動 經過一段時間后 B車加速度突然變?yōu)榱?A車一直以20m s的速度做勻速運動 經過12s后兩車相遇 問B車加速行駛的時間是多少 答案 6s 典例三 用圖象求解追及問題 例3 甲 乙兩車在公路上沿同一方向做直線運動 它們的v t圖象如圖所示 兩圖象在t t1時相交于P點 P在橫軸上的投影為Q OPQ的 面積 為S 在t 0時刻 乙車在甲車前面 相距為d 已知此后兩車相遇兩次 且第一次相遇的時刻為t 則下面四組t 和d的組合可能是 A t t1 d SB t 1 2 t1 d 1 4 SC t 1 2 t1 d 1 2 SD t 1 2 t1 d 3 4 S D 解析 甲做勻速運動 乙做勻加速運動 速度越來越大 甲 乙同時異地運動 當t t1時 乙的位移為S 甲的位移為2S且v甲 v乙 若兩者第一次相遇在t t1時 則由d S 2S可得d S 不過不會出現(xiàn)第二次相遇 所以A錯誤 若兩者第一次相遇在t 1 2 t1時 乙的位移為 1 4 S 甲的位移為S 由d 1 4 S S可得d 3 4 S 所以D正確 B C錯誤 1 v t圖象中 由于位移的大小可以用圖線和坐標軸包圍的 面積 表示 因此可以根據(jù) 面積 判斷物體是否相遇 還可以根據(jù) 面積 差判斷物體間距離的變化 2 用圖象法求解運動學問題形象 直觀 利用運動圖象可以直接得出物體運動的速度 位移 加速度 甚至可以結合牛頓第二定律根據(jù)加速度來確定物體的受力情況 甲 乙兩車在一平直道路上同向運動 其v t圖象如圖示 圖中 OPQ和 OQT的 面積 分別為x1和x2 x2 x1 初始時 甲車在乙車前方x0處 A 若x0 x1 x2 兩車不會相遇B 若x0 x1 兩車相遇2次C 若x0 x1 兩車相遇1次D 若x0 x2 兩車相遇1次 ABC