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第一章 解三角形 1 1正弦定理和余弦定理1 1 1正弦定理 自主學(xué)習(xí)新知突破 1 了解正弦定理的推導(dǎo)過程 掌握正弦定理及其基本應(yīng)用 2 能用正弦定理解三角形 并能判斷三角形的形狀 1 如圖 在Rt ABC中 A 60 斜邊c 4 問題1 ABC的其他邊和角為多少 2 如圖 ABC為銳角三角形 作出BC邊上的高AD 提示 相等 1 定義 在一個(gè)三角形中 各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等 2 表達(dá)式 正弦定理 1 一般地 把三角形的三個(gè)角A B C和它們的對(duì)邊a b c叫做三角形的元素 已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形 2 利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)解三角形的問題 已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊 求其他兩邊和另一角 已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角 求另一邊的對(duì)角 進(jìn)而可求其他的邊和角 解三角形 3 利用正弦定理解三角形的注意事項(xiàng) 1 要結(jié)合平面幾何中 大邊對(duì)大角 大角對(duì)大邊 及三角形內(nèi)角和定理去考慮問題 2 明確給定的三角形的元素 為了防止漏解或增解 有時(shí)常結(jié)合幾何作圖進(jìn)行判斷 1 有關(guān)正弦定理的敘述 正弦定理只適用于銳角三角形 正弦定理不適用于直角三角形 在某一確定的三角形中 各邊與它所對(duì)角的正弦的比是一定值 在 ABC中 sinA sinB sinC a b c 其中正確的個(gè)數(shù)是 A 1B 2C 3D 4 解析 正弦定理適用于任意三角形 故 均不正確 由正弦定理可知 三角形一旦確定 則各邊與其所對(duì)角的正弦的比就確定了 故 正確 由比例性質(zhì)和正弦定理可推知 正確 答案 B 答案 C 4 根據(jù)下列條件 解 ABC 1 已知b 4 c 8 B 30 求C A a 2 在 ABC中 B 45 C 75 b 2 求a c A 合作探究課堂互動(dòng) 已知兩角及一邊解三角形 在 ABC中 已知A 45 B 30 c 10 求b 思路點(diǎn)撥 解決本題可先利用三角形內(nèi)角和定理求C 再利用正弦定理求b 本題屬于已知兩角與一邊求解三角形的類型 此類問題的基本解法是 1 若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí) 可由正弦定理求另一邊 再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角 最后由正弦定理求第三邊 2 若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí) 先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角 再由正弦定理求另外兩邊 1 在 ABC中 已知a 8 B 60 C 75 求A b c 已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形 思路點(diǎn)撥 由題目已知條件 選用正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦 然后求解其他邊 角 已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí) 首先用正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值 再利用三角形中大邊對(duì)大角看能否判斷所求這個(gè)角是銳角 當(dāng)已知大邊對(duì)的角時(shí) 可判斷另一邊所對(duì)的角為銳角 當(dāng)已知小邊對(duì)的角時(shí) 則不能判斷 判斷三角形的形狀 在 ABC中 已知a2tanB b2tanA 試判斷 ABC的形狀 思路點(diǎn)撥 已知等式中既有邊又有角 可以利用正弦定理把邊化為角 再利用角之間的關(guān)系判斷 ABC的形狀 1 判斷三角形的形狀 可以從考查三邊的關(guān)系入手 也可以從三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系入手 從條件出發(fā) 利用正弦定理進(jìn)行代換 轉(zhuǎn)化 呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小 從而作出準(zhǔn)確判斷 2 判斷三角形的形狀 主要看其是不是正三角形 等腰三角形 直角三角形 鈍角三角形或銳角三角形 要特別注意 等腰直角三角形 與 等腰三角形或直角三角形 的區(qū)別 3 在 ABC中 若b acosC 試判斷該三角形的形狀 判斷三角形解的情況 在 ABC中 分別根據(jù)所給條件指出解的個(gè)數(shù) 1 a 4 b 5 A 30 2 a 5 b 4 A 90 思路點(diǎn)撥 畫出示意圖結(jié)合大邊對(duì)大角 判定解的個(gè)數(shù) 1 三角形解的情況已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形 可能有兩解 一解或無解 在 ABC中 已知a b和A時(shí) 解的情況如下表 2 在三角形中 a b A B 而由正弦定理可得a b sinA sinB 所以 在三角形中 sinA sinB A B 因此判斷三角形解的個(gè)數(shù)問題也可以用上述結(jié)論 錯(cuò)因 這位同學(xué)在解題過程中 犯了一個(gè) 致命 的錯(cuò)誤 已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角 利用正弦定理解三角形時(shí) 沒有借助大邊對(duì)大角作出判斷 從而導(dǎo)致解題結(jié)果不全面的情況 解答此類問題時(shí)要特別小心 除用以上說明的方法作出判斷外 有時(shí)也可借助圖形加以判斷 應(yīng)盡量避免增根或失根問題的出現(xiàn)