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第四章連續(xù)系統(tǒng)的離散化方法 4 1常微分方程的數(shù)值解法 一 數(shù)值求解的基本概念 設微分方程為 則求解方程中函數(shù)x t 問題的常微分方程初值問題 所謂數(shù)值求解就是要在時間區(qū)間 a b 中取若干離散點 求出微分方程在這些時刻的近似值 取前兩項近似 這種方法的幾何意義就是把f t x 在區(qū)間 tk tk 1 內的曲邊面積用矩形面積近似代替 計算簡單 計算量小 而且可以自啟動 當h很小時 造成的誤差是允許的 該算法具有一階精度 取k 0 1 2 N 從t0開始 逐點遞推求解t1時的y1 t2時的y2 直至tn時的yn 稱之為歐拉遞推公式 矩形面積 1 歐拉法 歐拉法的特點 導出簡單 幾何意義明顯 便于理解 能說明構造數(shù)值解法一般計算公式的基本思想 通常用它來說明有關的基本概念 例設系統(tǒng)方程為 用Euler法求其數(shù)值解 取步長 遞推公式為 則 已知方程的解析解為精確解和解析解作比較 誤差在數(shù)量級 精度較差 2 龍格庫塔法 基本思想 取Taylor級數(shù)展開式前三項近似求解 并利用線性組合代替導數(shù)的求解 既可避免計算高階導數(shù) 又可提高數(shù)值積分的精度 這就是Runge Kutta法的基本思想 2 龍格庫塔法 r為精度階次 ai為待定系數(shù) 由精度確定 ki用下式表示 線性組合 等各階導數(shù)不易計算 用下式中ki的線性組合代替 1 當r 1時 與Taloy展開式相比較 可得a1 1 則上式成為 歐拉遞推公式 2 當r 2時 將在點展成Taylor級數(shù) 與臺勞公式的二階展開近似公式相比 可得以下關系 三個方程 四個未知數(shù) 解不唯一 各個系數(shù)的幾種取法 見書上 3 r 4時 四階龍格庫塔公式 最常用 仿真中遇到的大多數(shù)工程實際問題 四階龍格庫塔法以能滿足精度要求 其截斷誤差o h5 與h5同數(shù)量級 該法可以自啟動 4 狀態(tài)空間四階龍格 庫塔遞推式若單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 在仿真中 對于n階系統(tǒng) 狀態(tài)方程可以寫成一階微分方程 根據(jù)四階龍格 庫塔公式 有 T tk時刻的xi值 T tk h時刻的xi值 另 狀態(tài)方程的四階龍格 庫塔公式如下 RK法的特點 1需要存儲的數(shù)據(jù)少 占用的存儲空間少 2只需知道初值 即可啟動遞推公式進行計算 可自啟動 3容易實現(xiàn)變步長運算 4每積分一步需要計算多次右函數(shù) 計算量大 基于龍格 庫塔法 MATLAB提供了求常微分方程數(shù)值解的函數(shù) 一般調用格式為 t x ode23 xfun t0 tf x0 t x ode45 xfun t0 tf x0 常微分方程函數(shù)名 起始時間 終止時間 初始狀態(tài)向量 輸入 輸出 4 5階龍格 庫塔算法 2 3階龍格 庫塔算法 3 常微分方程Matlab求解 解 令y1 x y2 x 1 建立M 文件vdp m如下 functiondy vdp t y dy zeros 2 1 dy 1 y 2 dy 2 2 1 y 1 2 y 2 y 1 2 取t0 0 tf 20 輸入命令 T Y ode45 vdp 010 1 1 plot T Y 1 T Y 2 3 結果 解1 建立m 文件rigid m如下 functiondy rigid t y dy zeros 3 1 dy 1 y 2 y 3 dy 2 y 1 y 3 dy 3 0 51 y 1 y 2 2 取t0 0 tf 12 輸入命令 T Y ode45 rigid 012 011 plot T Y 1 T Y 2 T Y 3 3 結果如圖 圖中 y1的圖形為實線 y2的圖形為 線 y3的圖形為 線 4 2數(shù)值算法的穩(wěn)定性及求解原則 1 數(shù)值算法的穩(wěn)定性 特征根在s平面的左半平面 系統(tǒng)穩(wěn)定 1 歐拉法 穩(wěn)定 2 梯形法 恒穩(wěn) 2 數(shù)值算法的選擇原則 Matlab提供了微分方程數(shù)值求解的一般方法 作為仿真算法的使用者 可不必考慮算法具體實現(xiàn) 而應關心各種方法在使用中會出現(xiàn)的問題 以及如何在仿真中恰當?shù)倪x用這些方法 一般 選用數(shù)值算法從以下幾個方面考慮 1 精度受算法和h影響截斷誤差 舍入誤差 累計誤差 2 計算速度受算法和h影響算法簡單 速度就快些 3 穩(wěn)定性受h影響 一般h 2 3 系統(tǒng)最小時間 4 3數(shù)值算法中的 病態(tài) 問題 1 病態(tài) 常微分方程 例 其中 采用四階龍格庫塔法 h 0 01時 計算時間長 h 0 04時 誤差很大 當h 0 05后 曲線發(fā)散振蕩 數(shù)值不穩(wěn)定 完全失去意義 系統(tǒng)矩陣的特征值差異較大 一般線性常微分方程組 的系數(shù)矩陣A的特征值具有如下特征 則稱為 病態(tài) 方程 定義 2控制系統(tǒng)仿真中的 病態(tài) 問題 1病態(tài)系統(tǒng)中絕對值最大的特征值對應于系統(tǒng)動態(tài)性能解中瞬態(tài)分量衰減最快的部分 它反映了系統(tǒng)的動態(tài)響應和系統(tǒng)的反應靈敏度 一般與系統(tǒng)中具有最小時間常數(shù)Tmin的環(huán)節(jié)有關 要求計算步長h取得很小 2病態(tài)系統(tǒng)中絕對值最小的特征值對應于系統(tǒng)動態(tài)性能解中瞬態(tài)分量衰減最慢的部分 它決定了整個系統(tǒng)的動態(tài)過渡過程時間的長短 一般與系統(tǒng)中具有最小時間常數(shù)Tmax的環(huán)節(jié)有關 要求計算步長h取得很大 3對于病態(tài)問題的仿真需要尋求更加合理的算法 以解決病態(tài)系統(tǒng)帶來的選取計算步長與計算精度 計算時間之間的矛盾 3 病態(tài) 系統(tǒng)的仿真方法 采用穩(wěn)定性好 計算精度高的數(shù)值算法 并且允許計算步長能根據(jù)系統(tǒng)性能動態(tài)變化的情況在一定范圍內作相應的變化 采用隱式吉爾法 該法已經(jīng)證明對病態(tài)方程求解過程是數(shù)值穩(wěn)定的 隱式吉爾法從理論上十分適應于病態(tài)系統(tǒng) 但需要解決好以下問題 1 自啟動r階多步算式無法自啟動 需要用單步法求出前r步值 2 預估迭代迭代方法要求收斂性良好 否則在大步長時會造成數(shù)值發(fā)散 3 變步長初始階段采用小步長 隨后可逐步放大步長 對不同精度要求的系統(tǒng)仿真 要考慮變階次問題 即為減小每一步計算的截斷誤差 以提高精度 應選用較高的階次 而當精度較低時 為減少工作量 則應選取較低的階次 仿真時應根據(jù)估計誤差與給定的誤差精度相比較改變步長或階次來重新計算 4 4連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化 上章所述的連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學模型的離散化 是通過數(shù)值積分法實現(xiàn)的 盡管面向結構圖的仿真方法是按環(huán)節(jié)給定參數(shù) 但是在計算時還是按整個系統(tǒng)進行離散化 這就不便于引進非線性環(huán)節(jié)以進行非線性系統(tǒng)的仿真 在本節(jié) 將介紹連續(xù)系統(tǒng)離散模型的建立和仿真 數(shù)值積分法疊代求解 h改變時 疊代過程重復求解 費時繁瑣不能對非線性環(huán)節(jié)單獨考慮 連續(xù)系統(tǒng)離散化 思想 用差分方程描述連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型 因為差分方程的主要特點就是方程中各變量由各相鄰時刻的變化量制約 這相當于遞推方程 1 連續(xù)系統(tǒng)的離散化 設連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 則由現(xiàn)代控制理論基礎知 狀態(tài)變量X t 的解為 而t k 1 T時 可表示為 當系統(tǒng)輸入u t 給定時 可求出系統(tǒng)離散化狀態(tài)方程的解 一般 u t 未知 通常采用兩種方法近似處理 1 令u kT t u kT 0 t T 相當在系統(tǒng)輸入端加一個采樣開關和零階保持器 X k 1 T GX kT Hu kT G eAT 為t T時的狀態(tài)轉移矩陣 離散后的狀態(tài)空間表達式為 Matlab表示 已知連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 在采樣周期T下離散后的狀態(tài)空間表達可表示為 在Matlab中 若已知連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程各陣模型參數(shù) A B C D 以及采樣周期T 則語句 G H c2d A B T 返回的矩陣G H就是所要求的 T m T 此外 Matlab還提供了功能更強的求取連續(xù)系統(tǒng)離散化矩陣函數(shù)c2dm 他容許調用時選用離散化變換方式 并且得到的是標準的離散化狀態(tài)方程 G H C D c2dm A B C D T 選項 表離散化變換方式選項 2 離散函數(shù)的連續(xù)化在MATLAB中也提供了從離散化系統(tǒng)轉換為連續(xù)系統(tǒng)各系數(shù)矩陣求取的功能函數(shù) 其調用格式分別如下 A B d2c G H T 或 A B C D d2cm G H C D T 選項 其中選項同上 例對連續(xù)系統(tǒng)在采樣周期T 0 1時進行離散化 解 利用以下Matlab命令 對系統(tǒng)進行離散化 k 6 Z 3 P 1 2 5 T 0 1 A B C D zp2ss Z P k G1 H1 c2d A B T G2 H2 C2 D2 c2dm A B C D T zoh G3 H3 C3 D3 c2dm A B C D T foh 3 脈沖傳遞函數(shù)求解 連續(xù)離散function nd dd tfc2d nc dc T A B C D tf2ss nc dc G H c2d A B T nd dd ss2tf G H C D 離散連續(xù)function nc dc tfd2c nd dd T A B C D tf2ss nd dd G H d2c A B T nc dc ss2tf G H C D