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第六章習(xí)題課 一 線性空間的定義 定義 設(shè)V是一個(gè)非空集合 R為實(shí)數(shù)域 如果對(duì)于任意兩個(gè)元素 V 總有唯一的一個(gè)元素 V與之對(duì)應(yīng) 稱 為 與 的和 簡(jiǎn)稱加法運(yùn)算 記作 若對(duì)于任一數(shù) R與任一元素 V 總有唯一的元素 V與之對(duì)應(yīng) 稱 為數(shù) 與 的積 簡(jiǎn)稱數(shù)乘運(yùn)算 記作 如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律 那么 就稱V為數(shù)域R上的向量空間 或線性空間 設(shè) O V 1 l k R 1 加法交換律 a b b a 2 加法結(jié)合律 a b g a b g 3 零元素 存在O V 對(duì)任一向量a 有a O a 4 負(fù)元素 對(duì)任一元素a V 存在 V 有a O 記 a 5 1a a 6 數(shù)乘結(jié)合律 k la lk a 7 數(shù)乘對(duì)加法的分配律 k a b ka kb 8 數(shù)量加法對(duì)數(shù)乘的分配律 k l a ka la 二 線性空間的性質(zhì) 1 零元素是唯一的 2 負(fù)元素是唯一的 3 0 0 1 0 0 4 如果 0 則 0或 0 三 線性空間的子空間 定義2 設(shè)V是一個(gè)線性空間 L是V的一個(gè)非空子集 如果L對(duì)于V中所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間 則稱L為V的子空間 定理 線性空間V的非空子集L構(gòu)成子空間的充分必要條件是 L對(duì)于V中的線性運(yùn)算封閉 四 線性空間的基與維數(shù) 定義 在線性空間V中 如果存在n個(gè)元素 1 2 n V 滿足 1 1 2 n線性無(wú)關(guān) 2 V中任意元素 總可以由 1 2 n線性表示 則稱 1 2 n為線性空間V的一個(gè)基 稱n為線性空間V的維數(shù) 當(dāng)一個(gè)線性空間V中存在任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量時(shí) 就稱V是無(wú)限維的 維數(shù)為n的線性空間V稱為n維線性空間 記作Vn 若 1 2 n為Vn的一個(gè)基 則Vn可表示為 Vn x1 1 x2 2 xn n x1 x2 xn R 五 元素在給定基下的坐標(biāo) 定義 設(shè) 1 2 n為線性空間Vn的一個(gè)基 對(duì)任意 V 總有且僅有一組有序數(shù)x1 x2 xn 使 x1 1 x2 2 xn n 則稱有序數(shù)組x1 x2 xn為元素 在基 1 2 n下的坐標(biāo) 并記作 x1 x2 xn T 線性空間V的任一元素在一個(gè)基下對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的 在不同的基下所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)一般不同 在向量用坐標(biāo)表示后 它們的運(yùn)算就歸結(jié)為坐標(biāo)的運(yùn)算 因而對(duì)線性空間Vn的討論就歸結(jié)為線性空間Rn的討論 定義 設(shè)U V是兩個(gè)線性空間 如果它們的元素之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對(duì)應(yīng) 那末就稱線性空間U與V同構(gòu) 結(jié)論1 同一數(shù)域P上的同維數(shù)線性空間都同構(gòu) 結(jié)論2 同構(gòu)的線性空間之間具有等價(jià)性 同構(gòu)的意義 在對(duì)抽象線性空間的討論中 無(wú)論構(gòu)成線性空間的元素是什么 其中的運(yùn)算是如何定義的 我們所關(guān)心的只是這些運(yùn)算的代數(shù) 線性運(yùn)算 性質(zhì) 從這個(gè)意義上可以說(shuō) 同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的 而有限維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù) 六 基變換公式與過(guò)渡矩陣 設(shè) 1 2 n及 1 2 n是n維線性空間Vn的兩個(gè)基 且有 稱以上公式為基變換公式 在基變換公式中 矩陣P稱為由基 1 2 n到基 1 2 n的過(guò)渡矩陣 過(guò)渡矩陣P是可逆的 1 2 n 1 2 n P 將上式用矩陣形式表示為 七 坐標(biāo)變換公式 定理1 設(shè)n維線性空間Vn中的元素 在基 1 2 n下的坐標(biāo)為 x1 x2 xn T 在基 1 2 n下的坐標(biāo)為 x1 x2 xn T 若兩個(gè)基滿足關(guān)系式 1 2 n 1 2 n P 則有坐標(biāo)變換公式 或 反之 若任一元素的兩種坐標(biāo)滿足上述坐標(biāo)變換公式 則兩個(gè)基滿足基變換公式 1 2 n 1 2 n P 八 線性變換的概念 定義 設(shè)有兩個(gè)非空集合A B 如果對(duì)于A中任一元素 按照一定規(guī)則 總有B中一個(gè)確定的元素 和它對(duì)應(yīng) 那么 這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則稱為從集合A到集合B的變換 或稱映射 記作 T 或記作 T A 設(shè) A T 就說(shuō)變換T把元素 變?yōu)?稱 為 在變換T下的象 稱 為 在變換T下的源 或象源 稱A為變換T的源集 象的全體所構(gòu)成的集合稱為象集 記作T A 即 變換概念是函數(shù)概念的推廣 T A T A 顯然 T A B 定義 設(shè)Vn Um分別是實(shí)數(shù)域R上的n維和m維線性空間 T是一個(gè)從Vn到Um的變換 如果變換T滿足 1 任給 1 2 Vn 都有T 1 2 T 1 T 2 2 任給 Vn k R 都有T k kT 則稱T為從Vn到Um的線性變換 一個(gè)從線性空間Vn到其自身的線性變換稱為線性空間Vn中的線性變換 零變換O O 0 恒等變換 或稱單位變換 E E V 九 線性變換的性質(zhì) 1 T 0 0 T T 2 若 k1 1 k2 2 km m 則T k1T 1 k2T 2 kmT m 3 若 1 2 m線性相關(guān) 則T 1 T 2 T m亦線性相關(guān) 注意 若 1 2 m線性無(wú)關(guān) 則T 1 T 2 T m不一定線性無(wú)關(guān) 4 線性變換T的象集T Vn 是線性空間Vn的一個(gè)子空間 稱T Vn 為線性變換T的象空間 5 ST T 1 0 Vn 經(jīng)T變換到0的全體元素構(gòu)成的集合 是Vn的子空間 稱ST為線性變換T的核 對(duì)Rn上的線性變換 T x Ax x Rn 則有 1 T x Ax的象空間T Rn 就是由 1 2 n所生成的向量空間 即T Rn y x1 1 x2 2 xn n x1 x2 xn R 2 T x Ax的核ST就是齊次線性方程組Ax 0的解空間 十 線性變換的矩陣表示式 表示 其中A T e1 T e2 T en Rn中任何線性變換T 都可用關(guān)系式 T x Ax x Rn e1 e2 en為單位坐標(biāo)向量組 十一 線性變換在給定基下的矩陣 定義 設(shè)T是線性空間Vn中的線性變換 在Vn中取定一個(gè)基 1 2 n 如果這個(gè)基在變換T下的象為 其中 T 1 2 n T 1 T 2 T n 則上式可表示為 記 T 1 2 n 1 2 n A 則稱A為線性變換T在基 1 2 n下的矩陣 結(jié)論 在Vn中取定一個(gè)基后 由線性變換T可唯一地確定一個(gè)矩陣A 反之 由一個(gè)矩陣A也可唯一地確定一個(gè)線性變換T 在給定一個(gè)基的條件下 線性變換與矩陣是一一對(duì)應(yīng)的 十二 線性變換在不同基下的矩陣 定理1 設(shè)線性空間Vn中取定兩個(gè)基 由基 1 2 n到基 1 2 n的過(guò)渡矩陣為P Vn中的線性變換T在這兩個(gè)基下的矩陣依次為A和B 那末B P 1AP 1 2 n 定義 線性變換T的象空間T Vn 的維數(shù) 稱為線性變換T的秩 若A是線性變換T的矩陣 則T的秩就是R A 若線性變換T的秩為r 則T的核ST的維數(shù)為n r 1 線性空間的判定 典型例題 1 如果在一個(gè)集合上定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算 則只需檢驗(yàn)運(yùn)算的封閉性 2 一個(gè)集合 如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加 乘運(yùn)算 則必需檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律 例1 正實(shí)數(shù)的全體記作R 在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為 a b a b a a R a b R 問(wèn)R 對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算是否構(gòu)成 實(shí)數(shù)域R上的 線性空間 解 可以驗(yàn)證 所定義的運(yùn)算是上的運(yùn)算 但對(duì)于八條運(yùn)算規(guī)律并不都成立 對(duì) 7 8 兩條不成立 例如 8 k l a ak l akal 所以 R 對(duì)所定義的運(yùn)算不構(gòu)成線性空間 ak al ak al k a l a 2 子空間的判定 例1 設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣 問(wèn)在什么條件下滿足xAxT 0的n維實(shí)向量x x1 x2 xn 構(gòu)成Rn的子空間 解 記V x x1 x2 xn xAxT 0 顯然0 V 所以V非空 對(duì)任意的x V k R 有xAxT 0 kx A kx T k2 xAxT 0 則 所以kx V 因此 V構(gòu)成Rn的子空間的條件為 對(duì)任意的x y V 有 x y A x y T 0 而 x y A x y T x y A xT yT xAxT xAyT yAxT yAyT 由于x y V 則有xAxT 0 yAyT 0 所以 x y A x y T xAyT yAxT 2xAyT 0 故 V構(gòu)成Rn的子空間需要再增加條件 對(duì)任意的x y V 有xAyT 0 3 求向量在給定基下的坐標(biāo) 證一 因?yàn)镻 x 2是3維線性空間 所以P x 2中任意三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都構(gòu)成它的一組基 例3 證明 1 x 1 x 2 x 1 是P x 2的一組基 并求向量1 x x2在這組基下的坐標(biāo) 而1 x 1 x 2 x 1 P x 2 令 k1 1 k2 x 1 k3 x 2 x 1 0 k1 k2 2k3 k2 3k3 x k3x2 0 整理得 比較等式兩邊得 由方程組易得k1 k2 k3 0 于是1 x 1 x 2 x 1 線性無(wú)關(guān) 所以1 x 1 x 2 x 1 是P x 2的一組基 設(shè)1 x x2在給定基1 x 1 x 2 x 1 下的坐標(biāo)為 a1 a2 a3 T 則有 1 x x2 a1 1 a2 x 1 a3 x 2 x 1 整理得 比較等式兩邊得 1 x x2 a1 a2 2a3 a2 3a3 x a3x2 解得 所以1 x x2在給定基下的坐標(biāo)為 3 4 1 T 1 x x2 3 4 x 1 x 2 x 1 即 證二 已知1 x x2是P x 2的一組基 而1 x 1 x 2 x 1 P x 2 所以 1 x 1 x 2 x 1 由1 x x2線性表示 又由于 即1 x x2可以由1 x 1 x 2 x 1 線性表示 所以兩個(gè)向量組等價(jià) 故它們有相同的秩 而1 x x2線性 無(wú)關(guān) 因此 1 x 1 x 2 x 1 也線性無(wú)關(guān) 從而1 x 1 x 2 x 1 是P x 2的一組基 1 又由 1 式得 由基1 x 1 x 2 x 1 到1 x x2的過(guò)渡矩陣為 即 顯然 1 x x2在給定基1 x x2下的坐標(biāo)為 1 1 1 T 則1 x x2在基1 x 1 x 2 x 1 下的坐標(biāo)為 1 x x2 1 x 1 x 2 x 1 P 即 1 x x2 1 x x2 1 1 1 T 1 x 1 x 2 x 1 P 1 1 1 T 1 x 1 x 2 x 1 1 x 1 x 2 x 1 1 x x2 3 4 x 1 x 2 x 1 即 4 由基和過(guò)渡矩陣求另一組基 例4 在R3中 求由基 1 1 0 0 T 2 1 1 0 T 3 1 1 1 T 通過(guò)過(guò)渡矩陣 所得到的新基 1 2 3 并求 1 2 2 3在基 1 2 3下的表達(dá)式 解 由題設(shè)有 1 2 3 1 2 3 A 1 2 3 1 1 2 2 3 再由 1 1 0 0 T 2 1 1 0 T 3 1 1 1 T 得 1 1 0 0 T 2 0 1 0 T 3 0 0 1 T 為所求的新基 1 2 2 3 1 2 3 1 2 5 T 1 2 3 A 1 1 2 5 T 1 2 3 1 2 3 1 2 3 故 2 1 3 2 5 3 5 過(guò)渡矩陣的求法 例5 設(shè)R4的兩組基 求由基 1 2 3 4到基 1 2 3 4的過(guò)渡矩陣 并寫(xiě)出相應(yīng)的坐標(biāo)變換公式 解一 由過(guò)渡矩陣的定義有 整理得 由方程 1 得 解得 同理可以從方程 2 3 4 求出其余的aij 從而確定出過(guò)渡矩陣 從上面的解法可以看到 由定義出發(fā) 利用解方程組 求出線性表達(dá)式中的系數(shù) 得到過(guò)渡矩陣 這種方法計(jì)算量太大 因此 當(dāng)線性表達(dá)式不容易得到時(shí) 可采用下面的解法 解二 引入一組新的基 1 2 3 4 e1 e2 e3 e4 A 于是 其中 1 2 3 4 e1 e2 e3 e4 B 又 其中 1 2 3 4 1 2 3 4 A 1B 從基 1 2 3 4到基 1 2 3 4的過(guò)渡矩陣為 P A 1B 因此 從基 1 2 3 4到基 1 2 3 4的基變換公式為 對(duì)任意的 R4 設(shè)其在基 1 2 3 4和基 1 2 3 4下的坐標(biāo)分別為 x1 x2 x3 x4 T和 y1 y2 y3 y4 T 則坐標(biāo)變換公式為 或 6 線性變換的判定 例6 判斷下列變換是否為線性變換 1 在線性空間V中 定義變換 1 V 其中 是V中的一個(gè)固定向量 2 在R3中 定義變換 2 x1 x2 x3 x12 x2 x3 x32 其中 x1 x2 x3 R3 解 1 對(duì)任意的 V k R 1 1 1 2 1 k k k 1 k k k 當(dāng) 0時(shí) 1不是線性變換 當(dāng) 0時(shí) 1是線性變換 所以 解 2 對(duì)任意的 x1 x2 x3 y1 y2 y3 V 則 2 x1 y1 2 x2 y2 x3 y3 x3 y3 2 2 2 x12 x2 x3 x32 y12 y2 y3 y32 x12 y12 x2 x3 y2 y3 x32 y32 所以 2 2 2 因此 2不是線性變換 7 有關(guān)線性變換的證明 例7 全體二階實(shí)矩陣構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間 V 取固定實(shí)數(shù)矩陣 在V中定義變換 X AX XA X V 1 證明 是V中的一個(gè)線性變換 2 證明對(duì)任意的X Y V 恒有 XY X Y X Y 3 在V中取一組基 寫(xiě)出 在該基下的矩陣 證明 1 對(duì)任意的X Y V k R X Y A X Y X Y A AX AY XA YA AX XA AY YA X Y kX A kX kX A k AX XA k X 故 是V上的一個(gè)線性變換 證明 2 對(duì)任意的X Y V XY A XY XY A AX Y X YA AX Y XA Y X AY X YA AX XA Y X AY YA X Y X Y E1 AE1 E1A bE2 cE3 同理可得 E2 cE1 a d E2 cE4 E3 bE1 d a E3 bE4 E4 bE2 cE4 E1 E2 E3 E4 所以 E1 E2 E3 E4 即 線性變換 在基E1 E2 E3 E4下的矩陣為 8 線性變換在給定基下的矩陣 解 如果按定義直接寫(xiě)出 i i 1 2 3 被 1 2 3線性表示出的表達(dá)式相當(dāng)麻煩 為了簡(jiǎn)化運(yùn)算 可引入一組新基 例8 在線性空間R3中取基 1 1 0 2 T 2 0 1 2 T 3 1 2 5 T 線性變換 使得 1 2 0 1 T 2 0 0 1 T 3 0 1 2 T 求 在基 1 2 3下的矩陣 e1 1 0 0 T e2 0 1 0 T e3 0 0 1 T 則 1 2 3 e1 e2 e3 A 其中 e1 e2 e3 1 2 3 A 1 于是 而 1 2 3 e1 e2 e3 B 其中 故 1 2 3 1 2 3 A 1B 其中 9 線性變換在不同基下的矩陣 例9 在R3中取兩組基 定義線性變換 求 在基 1 2 3下的矩陣 解 取R3的另一組基 e1 1 0 0 T e2 0 1 0 T e3 0 0 1 T 1 2 3 e1 e2 e3 A 1 2 3 e1 e2 e3 B 1 2 3 e1 e2 e3 C 則 其中 所以 e1 e2 e3 1 2 3 C 1 故 e1 e2 e3 C 1 2 3 A 1C e1 e2 e3 BA 1C 1 2 3 C 1BA 1C 1 2 3 于是線性變換 在基 1 2 3下的矩陣為 C 1BA 1C 填空題 1 定義了線性運(yùn)算的集合稱為 2 線性變換T的象空間T Vn 的稱為線性變換T的秩 3 已知三維向量空間R3的一組基為 1 1 1 0 T 2 1 0 1 T 3 0 1 1 T 則向量 4 2 0 0 T在這組基下的坐標(biāo)為 5 線性空間U V同構(gòu)是指 兩空間元素一一對(duì)應(yīng) 且保持線性組合的對(duì)應(yīng) 線性空間 或向量空間 維數(shù) 1 1 1 T 6 已知R3的線性變換 T a b c a 2b c b c a b 2c 則T Vn 的維數(shù)為 基為 2 2 1 1 T 1 0 1 T