《高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3.1 數(shù)學(xué)歸納法原理課件 新人教B版選修4-5.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3.1 數(shù)學(xué)歸納法原理課件 新人教B版選修4-5.ppt（27頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第三章數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3 1數(shù)學(xué)歸納法原理 1 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理 2 了解數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍 3 會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問題 1 歸納法由有限多個(gè)個(gè)別的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法 通常稱為歸納法 名師點(diǎn)撥根據(jù)推理過程中考察的對(duì)象是涉及事物的一部分還是全部 歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法 1 不完全歸納法是根據(jù)事物的部分 而不是全部 特例得到一般結(jié)論的推理方法 不完全歸納法所得到的命題不一定是成立的 但它是一種重要的思考問題的方法 是研究數(shù)學(xué)問題的一把鑰匙 是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段 用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律 用數(shù)學(xué)歸納法證明是解決問題的一種重要途徑 2 完全歸納法是一種在研究了事物的所有 有限種 特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法 又叫枚舉法 與不完全歸納法不同 用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的 通常在事物包括的特殊情況不多時(shí) 采用完全歸納法 做一做1 2 從1 1 1 4 1 2 1 4 9 1 2 3 猜想第n個(gè)式子為 2 數(shù)學(xué)歸納法一般地 當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí) 可以用以下兩個(gè)步驟 1 證明當(dāng)n n0時(shí)命題成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k N 且k n0 時(shí)命題成立 證明當(dāng)n k 1時(shí)命題也成立 完成兩個(gè)步驟后 就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立 這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法 名師點(diǎn)撥1 這兩個(gè)步驟缺一不可 只完成步驟 1 而缺少步驟 2 就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論 因?yàn)閱慰坎襟E 1 無法遞推下去 即n取n0以后的數(shù)時(shí)命題是否正確 我們無法判定 同樣 只有步驟 2 而缺少步驟 1 也可能得出不正確的結(jié)論 缺少步驟 1 這個(gè)基礎(chǔ) 假設(shè)就失去了成立的前提 步驟 2 也就沒有意義了 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵在第二步 即n k 1時(shí)為什么成立 n k 1時(shí)成立是利用假設(shè)n k時(shí)成立 根據(jù)有關(guān)的定理 定義 公式 性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出n k 1時(shí)命題成立 而不是直接代入 否則n k 1時(shí)也成假設(shè)了 命題并沒有得到證明 3 用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題 但并不是所有的正整數(shù)問題都用數(shù)學(xué)歸納法證明 學(xué)習(xí)時(shí)要具體問題具體分析 做一做2 1 下列說法中不正確的是 A 數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟相互依存 缺一不可B 數(shù)學(xué)歸納法證明的是與正整數(shù)有關(guān)的命題C 數(shù)學(xué)歸納法證明的第一步是遞推的基礎(chǔ) 第二步是遞推的依據(jù)D 數(shù)學(xué)歸納法中第一步必須從n 1開始答案 D 故當(dāng)n k 1時(shí) 不等式成立 上述的證明過程中 不正確的一步的序號(hào)為 解析 在 2 中 由n k到n k 1的證明 沒有用上歸納假設(shè) 故 2 錯(cuò)誤 答案 2 1 為什么數(shù)學(xué)歸納法能夠證明無限多正整數(shù)都成立的問題呢 剖析 這是因?yàn)榈谝徊绞紫闰?yàn)證了n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立 這樣假設(shè)就有了存在的基礎(chǔ) 假設(shè)當(dāng)n k時(shí)命題成立 根據(jù)假設(shè)和合理推證 證明出當(dāng)n k 1時(shí)命題也成立 這實(shí)質(zhì)上是證明了一種循環(huán) 如驗(yàn)證了當(dāng)n0 1時(shí)命題成立 又證明了當(dāng)n k 1時(shí)命題也成立 這就一定有當(dāng)n 2時(shí)命題成立 當(dāng)n 2時(shí)命題成立 則當(dāng)n 3時(shí)命題也成立 當(dāng)n 3時(shí)命題成立 則當(dāng)n 4時(shí)命題也成立 如此反復(fù) 以至無窮 對(duì)所有n n0的正整數(shù)命題就都成立了 數(shù)學(xué)歸納法非常巧妙地解決了一種無限多的正整數(shù)問題 這就是數(shù)學(xué)方法的神奇 2 什么時(shí)候可以運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明 證明時(shí)n0是否一定要為1 剖析 數(shù)學(xué)歸納法一般被用于證明某些涉及正整數(shù)n的命題 n可取無限多值 但不能簡(jiǎn)單地說所有涉及正整數(shù)n的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明 例如用數(shù)學(xué)歸納法證明 n N 的單調(diào)性就難以實(shí)現(xiàn) 一般說來 從n k到n k 1時(shí) 若問題中存在可利用的遞推關(guān)系 則使用數(shù)學(xué)歸納法就較簡(jiǎn)單 否則使用數(shù)學(xué)歸納法就有困難 在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí) 要注意起點(diǎn)n并非一定取1 也可能取2等值 要看清題目 比如證明凸n邊形的內(nèi)角和f n n 2 180 這里面的n應(yīng)不小于3 即n 3 第一個(gè)值n0 3 題型一 題型二 題型三 題型四 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式 例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明 分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的關(guān)鍵是第二步 要注意當(dāng)n k 1時(shí)等式兩邊的式子與n k時(shí)等式兩邊的式子的聯(lián)系 增加了哪些項(xiàng) 減少了哪些項(xiàng) 問題就會(huì)順利解決 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型四 題型三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題 例2 求證 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n N 分析 對(duì)于多項(xiàng)式A B 如果A BC C也是多項(xiàng)式 那么A能被B整除 若A B都能被C整除 則A B A B也能被C整除 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命題顯然成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k N 且k 1 時(shí) ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 則當(dāng)n k 1時(shí) ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由歸納假設(shè) 得上式中的兩項(xiàng)均能被a2 a 1整除 故當(dāng)n k 1時(shí)命題成立 根據(jù) 1 2 可知 對(duì)一切n N 命題成立 題型一 題型二 題型四 題型三 反思證明整除性問題的關(guān)鍵是 湊項(xiàng) 采用增項(xiàng) 減項(xiàng) 拆項(xiàng) 因式分解等手段 湊出當(dāng)n k時(shí)的情形 從而利用歸納假設(shè)使問題得證 題型一 題型二 題型三 題型四 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 例3 平面內(nèi)有n個(gè)圓 任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn) 任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn) 求證 這n個(gè)圓將平面分成f n n2 n 2個(gè)部分 n N 分析 因?yàn)閒 n 為n個(gè)圓把平面分割成的區(qū)域數(shù) 那么再有一個(gè)圓和這n個(gè)圓相交 就有2n個(gè)交點(diǎn) 這些交點(diǎn)將增加的這個(gè)圓分成2n段弧 且每一段弧又將原來的平面區(qū)域一分為二 所以增加一個(gè)圓后 平面分成的區(qū)域數(shù)增加2n 即f n 1 f n 2n 有了上述關(guān)系 數(shù)學(xué)歸納法的第二步證明可迎刃而解 題型一 題型二 題型三 題型四 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) 一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分 且f 1 1 1 2 2 所以n 1時(shí)命題成立 2 假設(shè)n k k N 且k 1 時(shí)命題成立 即k個(gè)圓把平面分成f k k2 k 2個(gè)部分 則當(dāng)n k 1時(shí) 在k 1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O 剩下的k個(gè)圓將平面分成f k 個(gè)部分 而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn) 這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧 每段弧將原平面一分為二 故得f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 故當(dāng)n k 1時(shí) 命題成立 根據(jù) 1 2 可知 對(duì)一切n N 命題成立 題型一 題型二 題型三 題型四 反思對(duì)于用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 可以先從有限情形中歸納出一個(gè)變化的過程 或者說體會(huì)出是怎樣變化的 再去證明 也可以用 遞推 的辦法 比如本題 當(dāng)n k 1時(shí)的結(jié)果已知道 f k 1 k 1 2 k 1 2 用f k 1 f k 就可得到增加的部分 然后從有限的情況來理解如何增加的 也就好理解了 題型一 題型二 題型三 題型四 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn) 在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題時(shí) 兩步缺一不可 且最易出錯(cuò)的地方是在第二步證明中未用歸納假設(shè) 例4 已知在數(shù)列 an 中 a1 3 其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn 6 2an 1 計(jì)算a2 a3 a4 然后猜想出an的表達(dá)式 并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論 錯(cuò)解 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 6 2an 1 6 2an 題型一 題型二 題型三 題型四 錯(cuò)因分析 本題在證明時(shí)出現(xiàn)的主要錯(cuò)誤是未用歸納假設(shè) 題型一 題型二 題型三 題型四 12345 1下列代數(shù)式中 n N 則可能被13整除的是 A n3 5nB 34n 1 52n 1C 62n 1 1D 42n 1 3n 2解析 當(dāng)n 1時(shí) 只有D項(xiàng)能被13整除 答案 D 12345 2若凸n邊形有f n 條對(duì)角線 則凸 n 1 邊形的對(duì)角線的條數(shù)f n 1 為 A f n n 1B f n nC f n n 1D f n n 2解析 從凸n邊形到凸 n 1 邊形 對(duì)角線增加了 n 1 條 答案 C 12345 3下列四個(gè)判斷中 正確的是 A 式子1 k k2 kn n N 當(dāng)n 1時(shí)為1B 式子1 k k2 kn 1 n N 當(dāng)n 1時(shí)為1 k 解析 對(duì)于選項(xiàng)A n 1時(shí) 式子應(yīng)為1 k 選項(xiàng)B中 n 1時(shí) 式子應(yīng)為1 答案 C 12345 4已知在數(shù)列 an 中 a1 1 a2 2 an 1 2an an 1 n N 用數(shù)學(xué)歸納法證明a4n能被4整除 假設(shè)a4k能被4整除 則下一步證明 答案 a4k 4能被4整除 12345 5某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1 2 22 2n 1 2n 1的過程如下 1 當(dāng)n 1時(shí) 左邊 1 右邊 1 等式成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k N 且k 1 時(shí) 等式成立 即1 2 22 2k 1 2k 1 即當(dāng)n k 1時(shí)等式成立 根據(jù) 1 2 可知 對(duì)任意正整數(shù)n等式成立 以上證明過程的錯(cuò)誤是 答案 第 2 步未用歸納假設(shè)