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課時作業(yè)(四十八)　圓的方程 一、選擇題 1．過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 解析：設圓心C的坐標為(a，b)，半徑為r。 ∵圓心C在直線x＋y－2＝0上，∴b＝2－a。 ∵|CA|2＝|CB|2， ∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2。 ∴a＝1，b＝1.∴r＝2。 ∴方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4。 答案：C 2．(2016東莞調研)已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點關于直線x－y＋3＝0對稱，則實數(shù)m的值為(　　) A．8 B．－4 C．6 D．無法確定 解析：圓上存在關于直線x－y＋3＝0對稱的兩點，則x－y＋3＝0過圓心，即－＋3＝0，∴m＝6。 答案：C 3．當a為任意實數(shù)時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過點C，則以C為圓心，半徑為的圓的方程為(　　) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 解析：將已知直線化為y－2＝(a－1)(x＋1)，可知直線恒過定點(－1,2)，故所求圓的方程為x2＋y2＋2x－4y＝0。 答案：C 4．(2016東營模擬)點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 解析：設圓上任一點為Q(x0，y0)，PQ的中點為M(x，y)，則解得因為點Q在圓x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化簡得(x－2)2＋(y＋1)2＝1。 答案：A 5．過圓x2＋y2＝4外一點P(4,2)作圓的兩條切線，切點為A、B，則△ABP的外接圓方程是(　　) A．(x－4)2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝4 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x－2)2＋(y－1)2＝5 解析：設圓心為O，則O(0,0)，則以OP為直徑的圓為△ABP的外接圓。圓心為(2,1)。半徑r＝＝。 ∴圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5。 答案：D 6．在圓x2＋y2－2x－6y＝0內，過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 解析：由題意可知，圓的圓心坐標是(1,3)、半徑是，且點E(0,1)位于該圓內，故過點E(0,1)的最短弦長|BD|＝2＝2(注：過圓內一定點的最短弦是以該點為中點的弦)，過點E(0,1)的最長弦長等于該圓的直徑，即|AC|＝2，且AC⊥BD，因此四邊形ABCD的面積等于|AC||BD|＝22＝10，選B。 答案：B 二、填空題 7．若實數(shù)x，y滿足x2＋y2－2x＋4y＝0，則x－2y的最大值為__________。 解析：方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)為圓心，為半徑的圓，設x－2y＝m，則圓心到直線x－2y－m＝0的距離d＝∈[0，]，解得m的最大值為10。 答案：10 8．圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的方程為__________。 解析：∵圓與y軸交于A(0，－4)，B(0，－2)， ∴由垂徑定理得圓心在y＝－3這條直線上。 又已知圓心在2x－y－7＝0上， ∴解得即圓心C(2，－3)， 半徑r＝|AC|＝＝， ∴所求圓C的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5。 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5 9．圓心在原點且圓周被直線3x＋4y＋15＝0分成1∶2兩部分的圓的方程為__________。 解析：如圖，因為圓周被直線3x＋4y＋15＝0分成1∶2兩部分，所以∠AOB＝120。而圓心到直線3x＋4y＋15＝0的距離d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6。所以所求圓的方程為x2＋y2＝36。 答案：x2＋y2＝36 三、解答題 10．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的圖形是圓。 (1)求t的取值范圍； (2)求其中面積最大的圓的方程； (3)若點P(3,4t2)恒在所給圓內，求t的取值范圍。 解析：(1)由(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2 ＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9， ∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，∴－＜t＜1。 (2)∵r＝＝， ∴當t＝∈時，rmax＝。 此時圓的方程為2＋2＝。 (3)當且僅當32＋(4t2)2－2(t＋3)3＋2(1－4t2)4t2＋16t4＋9＜0時，點P在圓內， ∴8t2－6t＜0，即0＜t＜。 11．已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2－2y＝0。 (1)求2x＋y的取值范圍； (2)若x＋y＋c≥0恒成立，求實數(shù)c的取值范圍。 解析：由題意可知點(x，y)在圓x2＋(y－1)2＝1上， (1)方法一：圓x2＋(y－1)2＝1的參數(shù)方程為 ∴2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1， ∵－≤2cosθ＋sinθ≤， ∴1－≤2x＋y≤＋1。 方法二：2x＋y可看作直線y＝－2x＋b在y軸的截距，當直線與圓相切時b取最值，此時＝1。 ∴b＝1， ∴1－≤2x＋y≤1＋。 (2)∵x＋y＝cosθ＋1＋sinθ＝sin＋1， ∴x＋y＋c的最小值為1－＋c， ∴x＋y＋c≥0恒成立等價于1－＋c≥0， ∴c的取值范圍為c≥－1。 12．在平面直角坐標系xOy中，以O為圓心的圓與直線x－y＝4相切。 (1)求圓O的方程； (2)圓O與x軸相交于A，B兩點，圓內的動點P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍。 解析：(1)依題設，圓O的半徑r等于原點O到直線x－y＝4的距離，即r＝＝2， 所以圓O的方程為x2＋y2＝4。 (2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)。 設P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列得， ＝x2＋y2， 即x2－y2＝2。 ＝(－2－x，－y)(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)，由于點P在圓O內，故 由此得0≤y2＜1， 所以的取值范圍為[－2,0)。