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小學(xué)數(shù)學(xué)中的基本思想 東北師范大學(xué)史寧中2014 9 報(bào)告目錄 一 數(shù)學(xué)的基本思想二 小學(xué)數(shù)學(xué)中的抽象三 小學(xué)數(shù)學(xué)中的推理四 小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型 一 數(shù)學(xué)的基本思想 1 課程目標(biāo) 由雙基到四基 從兩能到四能實(shí)現(xiàn)教育理念的轉(zhuǎn)變過去的教育理念 以知識(shí)為本教學(xué)大綱關(guān)心問題是 應(yīng)當(dāng)教那些內(nèi)容 應(yīng)當(dāng)教到什么程度考核內(nèi)容是 規(guī)定的內(nèi)容是否教了 學(xué)生的掌握是否達(dá)到要求教學(xué)目標(biāo)是 基礎(chǔ)知識(shí) 概念記憶與命題理解 扎實(shí) 記憶 基本技能 證明技能與運(yùn)算技能 熟練 訓(xùn)練 教學(xué)形式是 課堂 教材 教師 凱洛夫的三中心論 現(xiàn)代的教育理念 以人為本教育方針 育人為本 綱要 立德樹人 十八大 課程標(biāo)準(zhǔn)以學(xué)生的發(fā)展為本人的成功依賴 知識(shí)技能 把握機(jī)遇 思維方法不僅要記住一些數(shù)學(xué)的知識(shí) 掌握一些數(shù)學(xué)的技能還要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng) 素質(zhì)教育 感悟數(shù)學(xué)的基本思想 積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)課程目標(biāo) 基礎(chǔ)知識(shí) 基本技能 基本思想 基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)分析問題 解決問題 發(fā)現(xiàn)問題 提出問題基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 思維經(jīng)驗(yàn) 會(huì)想問題 實(shí)踐經(jīng)驗(yàn) 會(huì)做事情 2 什么是數(shù)學(xué)的基本思想數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)研究對(duì)象 數(shù)量 圖形研究內(nèi)容 數(shù)量性質(zhì)與關(guān)系 圖形性質(zhì)與關(guān)系數(shù)學(xué)的基本思想 數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展必須依賴的思想學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)與沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維差異抽象 推理 模型數(shù)學(xué)教學(xué)的責(zé)任 會(huì)抽象 會(huì)推理 會(huì)一般性地思考 通過抽象 現(xiàn)實(shí) 數(shù)學(xué)把研究對(duì)象 以及對(duì)象之間的關(guān)系形成概念從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)內(nèi)部 數(shù)學(xué)具有一般性通過推理 數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)從假設(shè)前提出發(fā) 通過推理得到數(shù)學(xué)的結(jié)果數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展 數(shù)學(xué)具有邏輯性通過模型 數(shù)學(xué) 現(xiàn)實(shí)解決現(xiàn)實(shí)世界中的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題從數(shù)學(xué)內(nèi)部到現(xiàn)實(shí)世界 數(shù)學(xué)具有應(yīng)用性得到數(shù)學(xué)的基本特征 一般性 抽象 嚴(yán)謹(jǐn)性 邏輯 應(yīng)用的廣泛性 模型 數(shù)學(xué)思想 抽象 推理 模型 不是知識(shí) 不靠講解靠感悟 教學(xué)要點(diǎn) 創(chuàng)設(shè)情境 讓學(xué)生感悟 感悟什么 如何感悟 數(shù)是數(shù)量的抽象 數(shù)量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中量的表達(dá) 同時(shí)抽象出關(guān)系 數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是多與少數(shù)關(guān)系的本質(zhì)是大與小 抽象有兩種方法 對(duì)應(yīng)起名 外延 述說定義 內(nèi)涵 對(duì)應(yīng) 三個(gè)蘋果 三只雞 3 去掉物理屬性 述說 一個(gè)一個(gè)多起來 后繼數(shù) 1 0 1 2 1 1 3 2 1 4 3 1 二 小學(xué)數(shù)學(xué)中的抽象 小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教育 開始用對(duì)應(yīng)的方法 以后用述說方法比如數(shù)的認(rèn)識(shí)對(duì)應(yīng) 負(fù)數(shù)量相等 意義相反不能用數(shù)軸解釋 最好不用減法或相反數(shù)解釋述說 如何認(rèn)識(shí)10000 比9999多1比如幾何概念對(duì)應(yīng) 稱這樣的圖形為直線段 角述說 角是由兩條端點(diǎn)重合的射線所形成的圖形 數(shù)的符號(hào)表達(dá) 簡潔 關(guān)鍵是把握問題的本質(zhì) 基本概念與運(yùn)算法則 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題高等教育出版社 2013年 讀數(shù)的關(guān)鍵 十個(gè)符號(hào) 數(shù)位如何讀2002符號(hào)0很重要 1 10 1 9 0和10相反數(shù) a b 0 b為相反數(shù) 表示為 a數(shù)位與數(shù)不同數(shù)位 個(gè) ones 十 tens 十 是十個(gè) 個(gè) 萬 是十個(gè) 千 數(shù) 10 9 110000 9999 1 數(shù)的運(yùn)算與數(shù)的抽象一樣 有兩種方法表示加法 對(duì)應(yīng) 定義 定義 3 1 4 4 3 1 3 1 4對(duì)應(yīng) 哪邊多 哪邊多 3 1 4理解等號(hào)的意義 等號(hào)兩邊講兩個(gè)故事 這兩個(gè)故事量相等 方程 含有未知數(shù)的等式 點(diǎn) 線 面的抽象0維是點(diǎn) 1維是線 2維是面 3維是體 日常生活看到的幾何圖形都是三維的 點(diǎn)線面是抽象的 角的抽象角是由兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形 稱下面的圖形為角 角由兩條線段所夾部分組成 這兩條線段的一個(gè)端點(diǎn)重合 稱這兩條線段為角的邊 角的大小與邊長無關(guān) 幾何作圖 畫角平分線 的教育價(jià)值 培養(yǎng)想象力 抽象的小結(jié)抽象出數(shù)學(xué)研究的對(duì)象 把外部世界的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系 圖形與圖形關(guān)系引導(dǎo)數(shù)學(xué)內(nèi)部 概念 自然數(shù) 負(fù)數(shù) 點(diǎn) 線 面 體 角關(guān)系 代數(shù) 數(shù)的大小關(guān)系 幾何 兩點(diǎn)決定一條直線法則 加法 減法 乘法 除法抽象的東西不存在 現(xiàn)實(shí)中沒有2 只有具體的兩匹馬 兩頭牛抽象的東西是理念的存在鄭板橋 我畫的不是我眼中之竹 而是我心中之竹 三 小學(xué)數(shù)學(xué)中的推理 推理 數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展依賴的是邏輯推理數(shù)學(xué)的結(jié)論都是命題數(shù)學(xué)命題 可供正確或者錯(cuò)誤判斷的陳述可供判斷 下面陳述不是數(shù)學(xué)命題這個(gè)三角形是美的僅供判斷 下面兩個(gè)陳述都是數(shù)學(xué)命題三角形內(nèi)角和180度三角形內(nèi)角和120度直接推理 對(duì)命題的直接判斷一般推理 一個(gè)命題判斷到另一個(gè)命題判斷的思維過程 邏輯推理 命題的內(nèi)涵之間存在一條主線 具有傳遞性 A P x A x P x P x A A P 前者 凡人都有死 蘇格拉底是人 蘇格拉底有死 后者 蘇格拉底是人 蘇格拉底有死 柏拉圖是人 柏拉圖有死 凡人都有死 非邏輯推理 命題的內(nèi)涵之間不存在一條主線 無傳遞性 蘋果是酸的 酸是一種味道 蘋果是一種味道 兩種邏輯推理演繹推理 命題內(nèi)涵由大到小 從一般到特殊 歸納推理 命題內(nèi)涵由小到大 從特殊到一般 演繹推理 演繹推理需要前提 公理或者假設(shè) 數(shù)與代數(shù) 演繹推理的前提命題1等式 不等式 關(guān)系具有傳遞性 a b a b b c a b a c a c 命題2等式 不等式 兩邊加減相同的量 等式 不等式 不變 a b a b a c b c a c b c a c b c a c b c 演繹推理 加上一個(gè)正數(shù)比原來的數(shù)大 符號(hào)表示 對(duì)于任意的數(shù)a和正數(shù)b 有a b a 因?yàn)閎為正數(shù) 所以b 0在上面不等式兩邊分別加上a 由命題2得到a b a結(jié)論成立 利用類似的方法可以證明對(duì)稱命題 加上一個(gè)負(fù)數(shù)比原來的數(shù)小 演繹推理 減去一個(gè)正數(shù)等于加上這個(gè)正數(shù)的相反數(shù)減去一個(gè)正數(shù)比原來的數(shù)小用數(shù)學(xué)符號(hào)表示這個(gè)命題 a b a b 其中b 0 因?yàn)?減法是加法逆運(yùn)算 a b x a b x由命題2 在右邊等式的兩邊分別加上 b 等式不變 a b b b x 根據(jù)相反數(shù)的定義 a b x 由命題1 a b x a b 演繹推理 減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上這個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù) 減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上一個(gè)正數(shù) 減去一個(gè)負(fù)數(shù)比原來的數(shù)大 用數(shù)學(xué)符號(hào)表示這個(gè)命題a b a b令x a b 等式分別兩邊加上b的相反數(shù) b 由命題2x b a b b a上面等式的兩邊同時(shí)減去 b 再由命題2 x b b a b 因?yàn)橥瑯拥臄?shù)相減為0 x a b 由命題1 a b a b 演繹推理 演繹推理只能用來驗(yàn)證知識(shí) 不能用來發(fā)現(xiàn)知識(shí) 論證問題的形式是 已知A求證B其中A和B都是確定性命題 沒有新的知識(shí)發(fā)現(xiàn)知識(shí)需要下面兩個(gè)能力 從條件預(yù)測結(jié)果的能力 從結(jié)果探究成因的能力因此 需要?dú)w納推理 從經(jīng)驗(yàn)過的東西推斷未曾經(jīng)驗(yàn)的東西 歸納推理 歸納推理需要前提 經(jīng)驗(yàn)或者想象經(jīng)驗(yàn) 從個(gè)別到一般 從具體到符號(hào)加法交換律3 5 8 5 3 8 3 5 5 36 9 15 9 6 15 6 9 9 63 2 1 2 3 1 3 2 2 3 a b b a結(jié)論的正確與否需要演繹證明 歸納推理 探究成因混合運(yùn)算 先算括號(hào) 先乘除后加減為什么 舉例說明 3 2 6 5 6 303 2 6 3 12 18上 一隊(duì)同學(xué) 每排3名女生2名男生 共6排 問有多少同學(xué) 下 操場上有3名同學(xué) 又來了一隊(duì)同學(xué) 2人一排共6排 問現(xiàn)在操場上有多少同學(xué) 現(xiàn)在同學(xué)數(shù) 原來同學(xué)數(shù) 后來同學(xué)數(shù) 3 2 6混合運(yùn)算講兩個(gè)以上的故事 除分?jǐn)?shù)等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù) 歸納推理 類比的方法 幾何一個(gè)點(diǎn)把直線分為兩個(gè)部分 如何表達(dá) 一條直線把平面分為兩個(gè)部分 如何表達(dá) 兩條直線呢 一個(gè)平面把空間分為兩個(gè)部分 如何表達(dá) 兩個(gè)平面呢 數(shù)學(xué)推理 通過歸納推理得到結(jié)論 通過演繹推理證明結(jié)論 因?yàn)闅w納推理和演繹推理都是是邏輯推理 因此數(shù)學(xué)的結(jié)果具有一般性和嚴(yán)謹(jǐn)性 進(jìn)而具有應(yīng)用的廣泛性 四 小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型 抽象 把現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量與關(guān)系 圖形與關(guān)系引到數(shù)學(xué)推理 基于概念得到命題 數(shù)學(xué)自身得到發(fā)展模型 把數(shù)學(xué)的結(jié)果一般性地應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界 回歸現(xiàn)實(shí)模型 是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事力是什么 F m a重力是什么 s gt2 2 課標(biāo)中主要要求兩個(gè)模型總量模型 加法模型 總量 部分 部分部分 總量 部分 順序模型 現(xiàn)在 過去 變化路程模型 乘法模型 路程 速度 時(shí)間速度 路程 時(shí)間植樹模型 工程模型 如果在我國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中一方面保持 數(shù)學(xué)雙基教學(xué) 合理的內(nèi)核 一方面又添加了 基本思想 和 基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 必將會(huì)出現(xiàn)既有 演繹能力 又有 歸納能力 的培養(yǎng)模式 就必將會(huì)出現(xiàn) 外國沒有的我們有 外國有的我們也有 的局面 到了那一天 我們就能自豪地說 中國的基礎(chǔ)教育領(lǐng)先于世界 謝謝 改造于 九章算術(shù) 方程篇第八題 在漢朝的時(shí)候 有一個(gè)人做了三次牲畜買賣 收支情況如下 第一次賣牛收入24錢 賣羊收入25錢 買豬支出39錢 合計(jì)收入10錢 第二次賣牛收入36錢 買羊支出45錢 賣豬收入90錢 合計(jì)收支相當(dāng) 第三次買牛支出60錢 賣羊收入30錢 賣豬收入24錢 合計(jì)支出6錢 如何用數(shù)學(xué)的方法表達(dá) 文字形式牛羊豬合計(jì)第一次收入24收入25支出39收入10第二次收入36支出45收入900第三次支出60收入30收入24支出6數(shù)字形式牛羊豬合計(jì)第一次2425 3910第二次36 45900第三次 603024 6負(fù)數(shù)與自然數(shù) 數(shù)量相等 絕對(duì)值 意義相反 除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù) 為什么 有鵝4只 是鴨子的三分之一 問有幾只鴨子 教學(xué)目的 4 1 3 4 3 12為什么用除法 有鵝4只 是鴨子的2倍 問有幾只鴨子 為什么乘倒數(shù) 破題 解釋什么是1 31只鵝對(duì)應(yīng)3只鴨子 2只鵝對(duì)應(yīng)6只鴨子 3只鵝對(duì)應(yīng)9只鴨子 所以 4只鵝對(duì)應(yīng)12只鴨子