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第一講： 力學(xué)中的三種力 【知識(shí)要點(diǎn)】 4、摩擦角 N F fm f0 α φ 將摩擦力f和接觸面對(duì)物體的正壓力N合成一個(gè)力F，合力F稱(chēng)為全反力。在滑動(dòng)摩擦情況下定義tgφ=μ=f/N，則角φ為滑動(dòng)摩擦角；在靜摩擦力達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)，定義tgφ0=μs=fm/N，則稱(chēng)φ0為靜摩擦角。由于靜摩擦力f0屬于范圍0＜f≤fm，故接觸面作用于物體的全反力同接觸面法線的夾角≤φ0，這就是判斷物體不發(fā)生滑動(dòng)的條件。換句話說(shuō)，只要全反力的作用線落在（0，φ0）范圍時(shí)，無(wú)窮大的力也不能推動(dòng)木塊，這種現(xiàn)象稱(chēng)為自鎖。 θ F 【例題1】如圖所示，一質(zhì)量為m的小木塊靜止在滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=的水平面上，用一個(gè)與水平方向成θ角度的力F拉著小木塊做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)θ角為多大時(shí)力F最??？ 【例題2】如圖所示，有四塊相同的滑塊疊放起來(lái)置于水平桌面上，通過(guò)細(xì)繩和定滑輪相互聯(lián)接起來(lái).如果所有的接觸面間的摩擦系數(shù)均為μ，每一滑塊的質(zhì)量均為m，不計(jì)滑輪的摩擦.那么要拉動(dòng)最上面一塊滑塊至少需要多大的水平拉力?如果有n塊這樣的滑塊疊放起來(lái)，那么要拉動(dòng)最上面的滑塊，至少需多大的拉力? 【例題3】如圖所示，一質(zhì)量為m=1㎏的小物塊P靜止在傾角為θ=30的斜面上，用平行于斜面底邊的力F=5N推小物塊，使小物塊恰好在斜面上勻速運(yùn)動(dòng)，試求小物塊與斜面間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)（g取10m/s2）。 θ F P 【練習(xí)】 A B F C 1、如圖所示，C是水平地面，A、B是兩個(gè)長(zhǎng)方形物塊，F(xiàn)是作用在物塊B上沿水平方向的力，物塊A和B以相同的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，由此可知，A、B間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ1和B、C間滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ2有可能是：（ ） A、μ1=0，μ2=0； B、μ1=0，μ2≠0； C、μ1≠0，μ2=0； D、μ1≠0，μ2≠0； V0 F 2、如圖所示，水平面上固定著帶孔的兩個(gè)擋板，一平板穿過(guò)擋板的孔勻速向右運(yùn)動(dòng)，槽中間有一木塊置于平板上，質(zhì)量為m，已知木板左、右兩側(cè)面光滑，底面與平板之間摩擦因數(shù)為μ0，當(dāng)用力F沿槽方向勻速拉動(dòng)物體時(shí)，拉力F與摩擦力μmg大小關(guān)系是（ ） A、F＞μmg B、F=μmg C、F＜μmg D、無(wú)法確定 F F F 3、每根橡皮條長(zhǎng)均為l=3m，勁度系數(shù)為k=100N/m，現(xiàn)將三根橡皮條首尾相連成如圖所示的正三角形，并用同樣大小的對(duì)稱(chēng)力拉它，現(xiàn)欲使橡皮條所圍成的面積增大一倍，則拉力F應(yīng)為多大？ A B F 4、兩本書(shū)A、B交叉疊放在一起，放在光滑水平桌面上，設(shè)每頁(yè)書(shū)的質(zhì)量為5克，兩本書(shū)均為200頁(yè)，紙與紙之間的摩擦因數(shù)為0.3，A固定不動(dòng)，用水平力把B抽出來(lái)，求水平力F的最小值。 5、（90國(guó)際奧賽題）（哥倫比亞）一個(gè)彈簧墊，如圖所示，由成對(duì)的彈簧組成。所有的彈簧具有相同的勁度系數(shù)10N/m，一個(gè)重為100N的重物置于墊上致使該墊的表面位置下降了10cm，此彈簧墊共有多少根彈簧？（假設(shè)當(dāng)重物放上后所有的彈簧均壓縮相同的長(zhǎng)度）。 第二講：共點(diǎn)力作用下物體的平衡 （一）力的運(yùn)算法則 （二）平行力的合成與分解 同向平行力的合成：兩個(gè)平行力FA和FB相距AB，則合力ΣF的大小為FA+FB，作用點(diǎn)C滿足FAAC=FBBC的關(guān)系。 A C B FA ΣF FB 圖1-1-3 A B C ΣF FA FB 圖1-1-4 反向平行力的合成：兩個(gè)大小不同的反向平行力FA和FB（FA＞FB）相距AB，則合力ΣF的大小為FA－FB同向，作用點(diǎn)C滿足FAAC=FBBC的關(guān)系。 （三）共點(diǎn)力作用下物體平衡條件：這些力的合力為零，即ΣF=0。 （四）三力匯交原理 若一個(gè)物體受三個(gè)非平行力作用而處于平衡狀態(tài)，則這三個(gè)力必為共點(diǎn)力。 本節(jié)內(nèi)容重點(diǎn)是充分運(yùn)用共點(diǎn)力平衡條件及推論分析和計(jì)算處于平衡態(tài)下物體受力問(wèn)題，競(jìng)賽中還應(yīng)掌握如下內(nèi)容和方法：①力的矢量三角形法：物體受三個(gè)共點(diǎn)力作用而平衡時(shí)，這三力線相交，構(gòu)成首尾相連封閉的三角形，問(wèn)題化為解三角形，從而使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化；②摩擦平衡問(wèn)題，由臨界狀態(tài)尋求突破口；③競(jìng)賽中物體受力由一維向二維或三維拓展，空間力系平衡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面力系平衡問(wèn)題求解。 R A B 【例題1】如右圖所示，勻質(zhì)球質(zhì)量為M、半徑為R；勻質(zhì)棒B質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l。求它的重心。 A B C mg Mg （M+m）g R+l/2 【解】第一種方法是：將它分隔成球和棒兩部分，然后用同向平行力合成的方法找出重心C。C在AB連線上，且ACM=BCm； A C B C （2M+m）g Mg ΣF 第二種方法是：將棒錘看成一個(gè)對(duì)稱(chēng)的“啞鈴”和一個(gè)質(zhì)量為-M的球的合成，用反向平行力合成的方法找出重心C，C在AB連線上，且BC（2M+m）=M。不難看出兩種方法的結(jié)果都是。 【例題2】如圖所示，一輕繩跨過(guò)兩個(gè)等高的輕定滑輪（不計(jì)大小和摩擦），兩端分別掛上質(zhì)量為m1=4kg和m2=2kg的物體，如圖，在滑輪間繩上懸掛物體m為了使三個(gè)物體能保持平衡，則m的取值范圍多大？ θ2 θ1 m1 m m2 θ 【例題3】如圖所示，直角斜槽間夾角為90，對(duì)水平面的夾角為θ，一橫截面為正方形的物塊恰能沿此槽勻速下滑。假定兩槽面的材料和表面情況相同，試求物塊與槽面間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ多大？ 【例題4】如圖所示，三個(gè)相同的光滑圓柱體，半徑為r，推放在光滑圓柱面內(nèi)，試求下面兩個(gè)圓柱體不致分開(kāi)時(shí)，圓柱面的半徑R應(yīng)滿足的條件。 r R 【練習(xí)】 A B 1、如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)=5m的細(xì)繩兩端分別系于豎直地面上相距X=4m的兩桿的頂端A、B，繩上掛一光滑的輕質(zhì)掛鉤，下端連著一個(gè)重為G=12N的重物，平衡時(shí)繩中張力T等于多少牛頓？ 2、如圖所示，小圓環(huán)重為G，固定的大環(huán)半徑為R輕彈簧原長(zhǎng)為l（l<2R），其勁度系數(shù)為k，接觸光滑，則小環(huán)靜止時(shí)彈簧與豎直方向的夾角θ應(yīng)為多大？ θ A B O C 3、如圖所示，一輕桿兩端固結(jié)兩個(gè)小球A和B，A、B兩球質(zhì)量分別為4m和m，輕繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，求平衡時(shí)OA、OB分別為多長(zhǎng)？（不計(jì)繩與滑輪間摩擦） 4mg mg A B O … F 1 2 3 4 n 4、如圖所示，n個(gè)完全相同的正方體木塊一個(gè)緊挨一個(gè)排列成一條直線放在水平地面上，正方體木塊與水平地面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)用一水平力F推第一塊木塊，使這n塊木塊一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則第k塊木塊對(duì)第k+1塊木塊的作用力為多大？ 5、如圖所示，物體m在與斜面平行的拉力F作用下，沿斜面勻速上滑，在這過(guò)程中斜面在水平地面上保持靜止。已知物體、斜面的質(zhì)量分別為m、M，斜面傾角為θ，試求：（1）斜面所受地面的支持力；（2）斜面所受地面的摩擦力。 m M F θ 第三講：力矩、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體的平衡條件、重心 【知識(shí)要點(diǎn)】 （一）力臂：從轉(zhuǎn)動(dòng)軸到力的作用線的垂直距離叫力臂。 （二）力矩：力和力臂的乘積叫力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩。記為M=FL，單位“牛米”。一般規(guī)定逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為正方向，順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為負(fù)方向。 （三）有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡條件 作用在物體上各力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和為零或逆時(shí)針?lè)较蛄乜偸桥c順時(shí)針?lè)较蛄叵嗟?。即ΣM=0，或ΣM逆=ΣM順。 （四）重心：物體所受重力的作用點(diǎn)叫重心。 計(jì)算重心位置的方法： 1、同向平行力的合成法：各分力對(duì)合力作用點(diǎn)合力矩為零，則合力作用點(diǎn)為重心。 2、割補(bǔ)法：把幾何形狀不規(guī)則的質(zhì)量分布均勻的物體分割或填補(bǔ)成形狀規(guī)則的物體，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。（見(jiàn)上一講） A C B x y O y1 y2 yC x1 x2 xC 3、公式法：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)量為m1和m2的A、B兩質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2）則由兩物體共同組成的整體的重心坐標(biāo)為： 一般情況下，較復(fù)雜集合體，可看成由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其重心C位置由如下公式求得： 本節(jié)內(nèi)容常用方法有：①巧選轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化方程：選擇未知量多，又不需求解結(jié)果的力線交點(diǎn)為軸，這些力的力矩為零，式子簡(jiǎn)化得多；②復(fù)雜的物體系平衡問(wèn)題有時(shí)巧選對(duì)象：選整體分析，常常轉(zhuǎn)化為力矩平衡問(wèn)題求解；③無(wú)規(guī)則形狀的物體重心位置計(jì)算常用方法是通過(guò)割補(bǔ)思想，結(jié)合平行力合成與分解的原則處理，或者助物體重心公式計(jì)算。 a c d o 【例題1】如圖所示，c為桿秤秤桿系統(tǒng)的重心，a為桿稱(chēng)的定盤(pán)星，證明：無(wú)論稱(chēng)桿的粗細(xì)如何變化，桿秤的刻度沿桿軸線的方向總是均勻分布的。 θ A C O D E 【例題2】（第十屆全國(guó)預(yù)賽）半徑為R，質(zhì)量為m1的均勻圓球與一質(zhì)量為m2的重物分別用細(xì)繩AD和ACE懸掛于同一點(diǎn)A，并處于平衡。如圖所示，已知懸點(diǎn)A到球心O的距離為L(zhǎng)，若不考慮繩的質(zhì)量和繩與球的摩擦，試求懸掛圓球的繩AD和豎直方向的夾角θ。 H S 【例題3】（第十屆全國(guó)決賽）用20塊質(zhì)量均勻分布的相同的光滑積木塊，在光滑水平面一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，橫截面為的正方形，求此橋具有的最大跨度（即橋孔底寬），試畫(huà)出該橋的示意圖，并計(jì)算跨度與橋孔高度的比值。 F1 O A B θ 練習(xí)題：1、如圖所示，木棒的一端用一根足夠短的繩子拴住懸掛在天花板上，另一端擱在滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的水平木板上，木板放在光滑的水平面上，若向右勻速拉出木板時(shí)的水平拉力為F1，向左勻速拉出時(shí)的水平拉力為F2，兩種情況下，木棒與木板間的夾角均保持為θ不變，試比較F1和F2的大小？ a b C O A F 2、（99上海）如圖所示，是一種手控制動(dòng)器，a是一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)著的輪子，b是摩擦制動(dòng)片，C是杠桿，O是其固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸，手在A點(diǎn)施加一作用力F時(shí)，b將壓緊輪子使輪子制動(dòng)，若使輪子制動(dòng)需要的力矩是一定的，則下列說(shuō)法正確的是： A、輪a逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，所需力F小 B、輪a順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，所需力F小 C、無(wú)論輪a逆時(shí)針還是順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)所需的力F相同 D、無(wú)法比較力F的大小 A B C O2 O1 3、（99上海）如圖所示，質(zhì)量不計(jì)的桿O1B和O2A長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，O1和O2為光滑固定轉(zhuǎn)軸，A處有一凸起物擱在O1B中點(diǎn)，B處用繩子系在O2A的中點(diǎn)，此時(shí)兩短桿結(jié)合成一根長(zhǎng)桿，今在O1B桿上C點(diǎn)（C為AB中點(diǎn)）懸掛重為G的物體，則在A處受到的支承力大小為 ；B處受繩拉力大小為 。 4、（第7屆全國(guó)決賽）一薄壁圓柱形燒杯，半徑為r，質(zhì)量為m，重心位于中心線上，離杯底的距離為H，今將水慢慢注入杯中，問(wèn)燒杯連同杯內(nèi)的水共同重心最低時(shí)水面離杯底的距離等于多少？（設(shè)水的密度為ρ） 5、為保證市場(chǎng)的公平交易，我國(guó)已有不少地區(qū)禁止在市場(chǎng)中使用桿秤。桿秤確實(shí)容易為不法商販坑騙顧客提供可乘之機(jī)。請(qǐng)看下例。 秤砣質(zhì)量為1千克，秤桿和秤盤(pán)總質(zhì)量為0.5千克，定盤(pán)星到提紐的距離為2厘米，秤盤(pán)到提紐的距離為10厘米（圖9）。若有人換了一個(gè)質(zhì)量為0.8千克的秤駝，售出2.5千克的物品，物品的實(shí)際質(zhì)量是多少？ 6、（俄羅斯奧林匹克試題）如圖所示，三根相同的輕桿用鉸鏈連接并固定在同一水平線上的A、B兩點(diǎn)，AB間的距離是桿長(zhǎng)的2倍，鉸鏈C上懸掛一質(zhì)量為m的重物，問(wèn)：為使桿CD保持水平，在鉸鏈D上應(yīng)施的最小力F為多大？ A B C D m O 7、如圖所示，一鉸鏈由2n個(gè)相同的鏈環(huán)組成，每?jī)蓚€(gè)鏈環(huán)間的接觸是光滑的，鉸鏈兩端分別在一不光滑的水平鐵絲上滑動(dòng)，它們的摩擦系數(shù)為μ，證明：當(dāng)鎖鏈在鐵絲上剛好相對(duì)靜止時(shí)，末個(gè)鏈環(huán)與鉛垂線交角為。 A1 A2 A3 A4 A5 A6 B1 B2 B3 B4 B5 B6 8、（第六屆預(yù)賽）有6個(gè)完全相同的剛性長(zhǎng)條薄片AiBi（i=1，2…），其兩端下方各有一個(gè)小突起，薄片及突起的質(zhì)量均不計(jì)，現(xiàn)將此6個(gè)薄片架在一只水平的碗口上，使每個(gè)薄片一端的小突起B(yǎng)i恰在碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)放在薄片A6B6上一點(diǎn)，這一點(diǎn)與此薄片中點(diǎn)的距離等于它與小突起A6的距離，則薄片A6B6中點(diǎn)所受的（由另一薄片的小突起A1所施的）壓力。 第四講：一般物體的平衡、穩(wěn)度 【知識(shí)要點(diǎn)】 （一）一般物體平衡條件 受任意的平面力系作用下的一般物體平衡的條件是作用于物體的平面力系矢量和為零，對(duì)與力作用平面垂直的任意軸的力矩代數(shù)和為零，即： ΣF=0 ΣM=0 若將力向x、y軸投影，得平衡方程的標(biāo)量形式： ΣFx=0 ΣFy=0 ΣMz=0（對(duì)任意z軸） （二）物體平衡種類(lèi) （1）穩(wěn)定平衡：當(dāng)物體受微小擾動(dòng)稍微偏離平衡位置時(shí)，有個(gè)力或力矩使它回到平衡位置這樣的平衡叫穩(wěn)定平衡。特點(diǎn)：處于穩(wěn)定平衡的物體偏離平衡位置的重心升高。 （2）不穩(wěn)定平衡：當(dāng)物體受微小擾動(dòng)稍微偏離平衡時(shí)，在力或力矩作用下物體偏離平衡位置增大，這樣的平衡叫不穩(wěn)定平衡。特點(diǎn)：處于不穩(wěn)定平衡的物體偏離平衡位置時(shí)重心降低。 （3）隨遇平衡：當(dāng)物體受微小擾動(dòng)稍微偏平衡位置時(shí)，物體所受合外力為零，能在新的平衡位置繼續(xù)平衡，這樣的平衡叫隨遇平衡。特點(diǎn)：處于隨遇平衡的物體偏離平衡位置時(shí)重心高度不變。 （三）穩(wěn)度：物體穩(wěn)定程度叫穩(wěn)度。一般來(lái)說(shuō)，使一個(gè)物體的平衡遭到破壞所需的能量越多，這個(gè)平衡的穩(wěn)度越高；重心越低，底面積越大，物體穩(wěn)度越高。 一般物體平衡問(wèn)題是競(jìng)賽中重點(diǎn)和難點(diǎn)，利用ΣF=0和ΣM=0二個(gè)條件，列出三個(gè)獨(dú)立方程，同時(shí)通過(guò)巧選轉(zhuǎn)軸來(lái)減少未知量簡(jiǎn)化方程是處理這類(lèi)問(wèn)題的一般方法。對(duì)于物體平衡種類(lèi)問(wèn)題只要求學(xué)生能用重心升降法或力矩比較法并結(jié)合數(shù)學(xué)中微小量的處理分析出穩(wěn)定的種類(lèi)即可。這部分問(wèn)題和處理復(fù)雜問(wèn)題的能力，如競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的討論性題目便是具體體現(xiàn)，學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)掌握。 θ h B C A 【例題1】（第二屆全國(guó)復(fù)賽）如圖所示，勻質(zhì)管子AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，重為G，其A端放在水平面上，而點(diǎn)C則靠在高的光滑鉛直支座上，設(shè)管子與水平面成傾角θ=45，試求要使管子處于平衡時(shí)，它與水平面之間的摩擦因數(shù)的最小值。 【例題2】（第一屆全國(guó)決賽），如圖所示，有一長(zhǎng)為L(zhǎng)，重為G0的粗細(xì)均勻桿AB，A端頂在豎直的粗糙的墻壁上，桿端和墻壁間的摩擦因數(shù)為μ，B端用一強(qiáng)度足夠大且不可伸長(zhǎng)的繩懸掛，繩的另一端固定在墻壁C點(diǎn)，木桿處于水平，繩和桿夾角為θ。 （1）求桿能保持水平時(shí)，μ和θ應(yīng)滿足的條件； θ C A B （2）若桿保持平衡狀態(tài)時(shí)，在桿上某一范圍內(nèi)，懸掛任意重的重物，都不能破壞桿的平衡狀態(tài)而在這個(gè)范圍以外，則當(dāng)重物足夠重時(shí)，總可以使平衡破壞，求出這個(gè)范圍來(lái)。 【例題3】如圖所示，三個(gè)完全相同的圓柱體疊放在水平桌面上。將C柱體放上去之前，A、B兩柱體接觸，但無(wú)擠壓。假設(shè)桌面與柱體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ0，柱體與柱體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。若系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，μ0和μ必須滿足什么條件？ A B C A B F h h 【練習(xí)題】1、如圖所示，方桌重100N，前后腳與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.20，桌的寬與高相等。求：（1）要使方桌勻速前進(jìn)，則拉力F、地面對(duì)前、后腳的支持力和摩擦力各是多大？（2）若前、后腳與地面間的靜摩擦因數(shù)為0.60。在方桌的前端用多大水平力拉桌子可使桌子以前腳為軸向前翻倒？ 37 C A O B 2、如圖所示，重30N的均勻球放在斜面上，球面上C點(diǎn)以繩系住，繩與地面平行，求繩的拉力，斜面對(duì)球的支持力和摩擦力。 A B O 3、如圖所示，一光滑半球形容器直徑為a，邊緣恰與一光滑豎直的墻壁相切?，F(xiàn)有一均勻直棒AB，A端靠在墻上，B端與容器底相接觸，當(dāng)棒傾斜至水平面成60角時(shí)，棒恰好平衡，求棒長(zhǎng)。 θ d A B 4、（芬蘭奧賽試題）如圖所示，一均勻木板，以傾角θ靜止地放在二根水平固定木棒A和B上，兩棒之間距離為d，棒與木板間靜摩擦因數(shù)為μ0，當(dāng)木板剛好不滑動(dòng)時(shí)，求木板重心離A棒距離。 L L r O 5、如圖所示，將一根長(zhǎng)為2L的硬鉛絲彎成等臂直角形框架，在兩臂的端點(diǎn)各固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球，在直角的頂點(diǎn)焊一根長(zhǎng)為r的支桿，支桿平分這一頂角，將桿支在一支座上。試證明：當(dāng)時(shí)，平衡是隨遇平衡；當(dāng)r＞時(shí)，平衡是不穩(wěn)平衡；當(dāng)r＜時(shí)，平衡是穩(wěn)定平衡（不計(jì)支桿、鉛絲的質(zhì)量） 6、質(zhì)量為50kg的桿，豎直地立在水平地面上，桿與地面的最小靜摩擦因數(shù)μ為0.3，桿的上端被固定在地面上的繩牽拉住，繩與桿的夾角θ為30，如圖所示。 h L F θ （1）若 水平力F作用在桿上，作用點(diǎn)到地面距離h1為桿長(zhǎng)L的，要使桿不滑倒，則力F最大不超過(guò)多少？ （2）若作用點(diǎn)移到處時(shí)，情況又如何？ 第五講：運(yùn)動(dòng)的基本概念、運(yùn)動(dòng)的合成與分解 【知識(shí)要點(diǎn)】 平均速度： 瞬時(shí)速度： 平均加速度： 瞬時(shí)加速度： 【運(yùn)動(dòng)的合成與分解】 一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，各個(gè)分運(yùn)動(dòng)可以看作是獨(dú)立進(jìn)行的，它們互不影響，物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)可以看成是這幾個(gè)運(yùn)動(dòng)迭加而成的，這一原理叫運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理。它是運(yùn)動(dòng)的合成與分解的依據(jù)。在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的分解時(shí)，理論上，只要遵從平行四邊形法則，分解是任意的，而實(shí)際中既要注意分速度有無(wú)實(shí)際意義，又要注意某一分速度能否代表所要求解的分運(yùn)動(dòng)的速度。分運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)、分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)之間除遵從矢量運(yùn)動(dòng)算法則外，運(yùn)動(dòng)的同時(shí)性也是聯(lián)系各個(gè)方向上的分運(yùn)動(dòng)和合運(yùn)動(dòng)的橋梁。 【例題1】一物體以大小為v1的初速度豎直上拋，假設(shè)它受到大小不變的恒定的空氣阻力的作用，上升的最大高度為H，到最高點(diǎn)所用時(shí)間為t，從拋出到回到拋出點(diǎn)所用時(shí)間為T(mén)，回到拋出點(diǎn)速度大小為v2，求下列兩個(gè)過(guò)程中物體運(yùn)動(dòng)的平均速度、平均速率、平均加速度。 （1）在上升過(guò)程中。 （2）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中。 H h x0 x v v0 O 【例題2】高為H的燈柱頂部有一小燈，燈下有一高為h的行人由燈柱所在位置出發(fā)，沿直線方向在水平面上背離燈柱而去。設(shè)某時(shí)刻該人的行走速度為v0，試求此時(shí)行人頭頂在地面的投影的前進(jìn)速度v。 m B A v 【例題3】如圖所示，繩AB拉著物體m在水平面上運(yùn)動(dòng)，A端以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)m做什么運(yùn)動(dòng)？ A B C v v 60 【例題4】如圖所示，兩個(gè)相同的小球A、B通過(guò)輕繩繞過(guò)定滑輪帶動(dòng)C球上升，某時(shí)刻連接C球的兩繩夾角為60，A、B速度均為v，求此時(shí)C球的速度。 θ B A 【例題5】如圖所示，一剛性桿兩端各拴一小球A、B，A球在水平地面上，B球靠在豎直墻上，在兩球發(fā)生滑動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)桿與豎直夾角為θ時(shí)，A球速度為v，求此時(shí)B球的速度。 班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 【練習(xí)】1、如圖所示，細(xì)繩繞過(guò)定滑輪將重物m和小車(chē)連在一起，車(chē)以恒定速度v向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)細(xì)繩與水平方向間的夾為θ時(shí)，重物上升的速度是多大？重物上升的速度和加速度如何變化？ θ v 2、甲乙兩船在靜水中劃行速度分別為v甲、v乙，兩船從同一渡口過(guò)河，若甲船以最短時(shí)間過(guò)河，乙船以最短航程過(guò)河，結(jié)果兩船在同一地點(diǎn)到岸，求兩船過(guò)河時(shí)間之比。 3、如圖所示，一個(gè)不透光的球殼內(nèi)有一發(fā)光點(diǎn)，球殼可繞垂直于紙面的水平軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，由于球殼上開(kāi)一小孔，因而有一細(xì)束光線在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，在離轉(zhuǎn)軸距離為d處有一豎直墻，當(dāng)光線與屏幕夾角為θ時(shí)，屏上光斑速度為多大？ θ d ω 1 2 3 4、如圖所示，滑輪組中的小物體1、2向下的加速度分別為a1、a2，求物體3向上運(yùn)動(dòng)的加速度。 5、如圖所示，有一河面寬L=1km，河水由北向南流動(dòng)，流速v=2m/s，一人相對(duì)于河水以u(píng)=1m/s的速率將船從西岸劃向東岸。 （1）若船頭與正北方向成α=30角，船到達(dá)對(duì)岸要用多少時(shí)間？到達(dá)對(duì)岸時(shí)，船在下游何處？ （2）若要使船到達(dá)對(duì)岸的時(shí)間最短，船頭應(yīng)與岸成多大的角度？最短時(shí)間等于多少？到達(dá)對(duì)岸時(shí)，船在下游何處？ L 北 東 （3）若要使船相對(duì)于岸劃行的路程最短，船頭應(yīng)與岸成多大的角度？到達(dá)對(duì)岸時(shí)，船在下游何處？要用多少時(shí)間？ 第六講：相對(duì)運(yùn)動(dòng)與相關(guān)速度 【相對(duì)運(yùn)動(dòng)】 運(yùn)動(dòng)的合成包括位移、速度和加速度的合成。一般情況下把質(zhì)點(diǎn)對(duì)地面上靜止的物體的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)運(yùn)動(dòng)參照系的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而運(yùn)動(dòng)參照系對(duì)地的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為牽連運(yùn)動(dòng)，由坐標(biāo)系的變換公式 可得到 。 位移、加速度也存在類(lèi)似關(guān)系。 運(yùn)動(dòng)的合成與分解，一般來(lái)說(shuō)包含兩種類(lèi)型，一類(lèi)是質(zhì)點(diǎn)只有絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，如平拋物體的運(yùn)動(dòng)；另一類(lèi)則是質(zhì)點(diǎn)除了絕對(duì)運(yùn)動(dòng)外，還有牽連運(yùn)動(dòng)，如小船過(guò)河的運(yùn)動(dòng)。解題中難度較大的是后一類(lèi)運(yùn)動(dòng)。求解這類(lèi)運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是列出聯(lián)系各速度矢量的關(guān)系式，準(zhǔn)確地作出速度矢量圖。 【例題1】如圖所示，兩個(gè)邊長(zhǎng)相同的正方形線框相互疊放，且沿對(duì)角線方向，A有向左的速度v，B有向右的速度2v，求交點(diǎn)P的速度。 v 2v A B P 【例題2】一人以7m/s的速度向北奔跑時(shí)，感覺(jué)風(fēng)從正西北方向吹來(lái)，當(dāng)他轉(zhuǎn)彎向東以1m/s的速度行走時(shí)，感覺(jué)風(fēng)從正西南方向吹來(lái)，求風(fēng)速。 B d A β v1 【例題3】 一人站在到離平直公路距離為d=50m的B處，公路上有一汽車(chē)以v1=10m/s的速度行駛，如圖所示。當(dāng)汽車(chē)在與人相距L=200m的A處時(shí)，人立即以v2=3m/s的速率奔跑。為了使人跑到公路上時(shí)，能與車(chē)相遇。問(wèn)：（1）人奔跑的方向與AB連線的夾角θ為多少？（2）經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間人趕上汽車(chē)？（3）若其它條件不變，人在原處開(kāi)始勻速奔跑時(shí)要與車(chē)相遇，最小速度為多少？ 【練習(xí)】1、一艘船在河中逆流而上，突然一只救生圈掉入水中順流而下。經(jīng)過(guò)t0時(shí)間后，船員發(fā)現(xiàn)救生圈掉了，立即掉轉(zhuǎn)船頭去尋找丟失的救生圈。問(wèn)船掉頭后要多長(zhǎng)時(shí)間才能追上救生圈？ O 1 2 v2 v1 θ 2、平面上有兩直線夾角為θ（θ<90），若它們各以垂直于自身大小為v1和v2的速度在該平面上作如圖所示的勻速運(yùn)動(dòng)，試求交點(diǎn)相對(duì)于紙面的速率和相對(duì)于每一直線的速率。 v1 v2 θ L H 行李 3、如圖所示，一輛汽車(chē)以速度v1在雨中行駛，雨滴落下的速率v2與豎直方向偏前θ角，求車(chē)后一捆行李不會(huì)被雨淋濕的條件。 A B A1 B1 D C α v1 4、如圖所示，AA1和BB1是兩根光滑的細(xì)直桿，并排固定于天花板上，繩的一端拴在B點(diǎn)，另一端拴在套于AA1桿中的珠子D上，另有一珠子C穿過(guò)繩及桿BB1以速度v1勻速下落，而珠子D以一定速度沿桿上升，當(dāng)圖中角度為α?xí)r，珠子D上升的速度v2是多大？ 5、有A、B兩艘船在大海中航行，A船航向正東，船速15km/h，B船航向正北，船速20km/h。A船正午通過(guò)某一燈塔，B船下午兩點(diǎn)也通過(guò)同一燈塔。問(wèn)：什么時(shí)候A、B兩船相距最近？最近距離是多少？ 6、一個(gè)半徑為R的半圓柱體沿體沿水平方向向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，在半圓柱體上擱置一豎直桿，此桿只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng)（沿圖所示），當(dāng)半圓柱體的速度為v時(shí)，桿與半圓柱體接觸點(diǎn)P與柱心連線（豎直方向）的夾角為θ，求此時(shí)豎直桿的速度和加速度。 P R θ v b a d 7、在寬度為d的街上，有一連串汽車(chē)以速度u魚(yú)貫駛過(guò)，已知汽車(chē)的寬度為b，相鄰兩車(chē)間的間距為a。如圖所示，一行人想用盡可能小的速度沿一直線穿過(guò)此街，試求此人過(guò)街所需的時(shí)間。 8、一架飛機(jī)以相對(duì)于空氣為v的速率從A向正北方向飛向B，A與B相距為L(zhǎng)。假定空氣相對(duì)于地速率為u，且方向偏離南北方向有一角度θ，求飛機(jī)在A、B間往返一次所需時(shí)間為多少？并就所得結(jié)果，對(duì)u和θ進(jìn)行討論。 第七講：勻變速直線運(yùn)動(dòng) 【例題1】一小球自屋檐自由下落，在△t=0.2s內(nèi)通過(guò)窗口，窗高h(yuǎn)=2m，g=10m/s2，不計(jì)空氣阻力，求窗頂?shù)轿蓍艿木嚯x。 【例題2】一氣球從地面以10m/s的速度勻速豎直上升，4s末一小石塊從氣球上吊籃的底部自由落下，不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s2，求石塊離開(kāi)氣球后在空氣中運(yùn)行的平均速度和平均速率。 【例題3】一物體由靜止開(kāi)始以加速度a1勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后加速度突然反向，且大小變?yōu)閍2，經(jīng)過(guò)相同時(shí)間恰好回到出發(fā)點(diǎn)，速度大小為5m/s，求物體加速度改變時(shí)速度的大小和的值 【例題4】一架直升飛機(jī)，從地面勻加速飛行到高H的天空，若加速度a與每秒鐘耗油量的關(guān)系式為Y=ka+β（k>0，β>0），求飛機(jī)上升到H高空的最小耗油量Q和所對(duì)應(yīng)的加速度。 【練習(xí)】1、一物體做勻加速度直線運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻的前t1（s）內(nèi)的位移大小為s1（m），在此時(shí)刻的后t2（s）內(nèi)的位移大小為s2（m），求物體加速度的大小。 2、一皮球自h高處自由落下，落地后立即又豎直跳起，若每次跳起的速度是落地速度的一半，皮球從開(kāi)始下落到最后停止運(yùn)動(dòng)，行駛的路程和運(yùn)動(dòng)的時(shí)間各是多少？（不計(jì)空氣阻力，不計(jì)與地面碰撞的時(shí)間） 3、一固定的直線軌道上A、B兩點(diǎn)相距L，將L分成n等分，令質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)由靜止開(kāi)始以恒定的加速度a向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)每一等分段時(shí)它的加速度增加，試求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度vB 4、如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面頂端有一質(zhì)點(diǎn)A自靜止開(kāi)始自由下滑，與此同時(shí)在斜面底部有一質(zhì)點(diǎn)B自靜止開(kāi)始以加速度a背向斜面在光滑的水平面上向左運(yùn)動(dòng)。設(shè)A下滑到斜面底部能沿光滑的小彎曲部分平穩(wěn)地向B追去，為使A不能追上A B θ B，試求a的取值范圍。 5、地面上一點(diǎn)有物體甲，在甲的正上方距地面H高處有物體乙，在從靜止開(kāi)始釋放乙的同時(shí)，給甲一個(gè)初速度豎直上拋，問(wèn)（1）為使甲在上升階段與乙相遇，初速度v0為多大？（2）為使甲在下落階段與乙相遇，初速度v0又為多大？ 第八講：拋物的運(yùn)動(dòng) 【知識(shí)要點(diǎn)】 拋物運(yùn)動(dòng)——物體在地面附近不大的范圍內(nèi)僅在重力作用下的運(yùn)動(dòng)。 平拋運(yùn)動(dòng)——物體水平拋出后的運(yùn)動(dòng)。 斜拋運(yùn)動(dòng)——物體斜向上或斜向下拋出后的運(yùn)動(dòng)。 平拋和斜拋運(yùn)動(dòng)的物體只受恒定的重力作用，故物體作勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，其加速度為重力加速度g。 拋體運(yùn)動(dòng)的求解必須將運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解，一般情況下是分解為水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng)，則有： 在水平方向 ， 在豎直方向 ， 上式中，當(dāng)θ=0時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)為平拋運(yùn)動(dòng)。 求解拋物運(yùn)動(dòng)，還可以采用其它的分解方法，比如將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為初速度方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)。 拋物運(yùn)動(dòng)是一般勻變速曲線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，其求解方法也是求解一般勻變速曲線運(yùn)動(dòng)的基本方法。盡管物體速度方向是在不斷變化的，但其速度變化的方向只能在合力即重力的方向上，因此其速度變化的方向總是豎直向下的。 拋物運(yùn)動(dòng)的共同特點(diǎn)是加速度相同，因此，當(dāng)研究多個(gè)拋體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，以自由落體為參照物，則各物體的運(yùn)動(dòng)均為勻速直線運(yùn)動(dòng)，這種選擇參照物的方法，能大大簡(jiǎn)化各物體運(yùn)動(dòng)學(xué)量之間的聯(lián)系，使許多看似復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單、直觀。 【例題1】如圖所示，A、B兩球之間用長(zhǎng)L=6m的柔軟細(xì)繩相連，將兩繩相隔t0=0.8s先后從同一地點(diǎn)拋出，初速均為v0=4.5m/s，求A球拋出多長(zhǎng)時(shí)間后，連線被拉直，在這段時(shí)間內(nèi)A球離拋出點(diǎn)的水平距離多大？（g=10m/s2） A B 【例題2】在與水平成θ角的斜坡上的A點(diǎn)，以初速度v0水平拋出一物體，物體落在同一坡上的B點(diǎn)，如圖所示，不計(jì)空氣阻力，求：（1）物體的飛行時(shí)間及A、B間距離； θ v0 B （2）拋出后經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間物體離開(kāi)斜面的距離最大，最大距離多大？ 【例題3】如圖所示，樹(shù)上有一只小猴子，遠(yuǎn)處一個(gè)獵人持槍瞄準(zhǔn)猴子，當(dāng)獵槍擊發(fā)時(shí)猴子看到槍口的火光后立即落下，不考慮空氣阻力，已知猴子開(kāi)始離槍口的水平距離為s，豎直高度為h，試求當(dāng)子彈初速度滿足什么條件時(shí)，子彈總能擊中猴子。 θ s v0 h 【練習(xí)】 1、飛機(jī)以恒定的速度沿水平方向飛行，距地面高度為H。在飛行過(guò)程中釋放一個(gè)炸彈，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，飛行員聽(tīng)到炸彈著地后的爆炸聲。設(shè)炸彈著地即刻爆炸，聲速為v0，不計(jì)空氣阻力，求飛機(jī)的飛行速度v。 20m 30m 2、如圖所示，在離豎直墻壁30m的地面，向墻壁拋出一個(gè)皮球，皮球在高10m處剛好與墻壁垂直碰撞，反彈后落到離墻20m的地面，取g=10m/s2，求皮球斜拋初速度和落回地面時(shí)的速度。 3、某同學(xué)在平拋運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，得出如圖所示軌跡，并量出軌跡上a、b兩點(diǎn)到實(shí)驗(yàn)開(kāi)始前所畫(huà)豎直線的距離，，以及ab間豎直高度h，求平拋小球的初速度。 X1 X2 a b a/ b/ h 4、地面上的水龍頭按如圖所示的方式向上噴水，所有水珠噴出的初速度v0的大小相同，但噴射角在0到90范圍內(nèi)不等。若噴出后水束的最高位置距地面5m，試求水束落地時(shí)的圓半徑。 O v A B h H 5、從高H的一點(diǎn)O先后平拋兩個(gè)小球1和2，球1直接恰好越過(guò)豎直擋板A落到水平地面上的B點(diǎn)，球2與地面碰撞一次后，也恰好越過(guò)豎直擋板并落在B點(diǎn)，如圖所示。設(shè)球2與地面碰撞遵循的規(guī)律類(lèi)似反射定律，且反彈速度大小與碰撞前相同，求豎直擋板的高度h。 3m 18m 6、如圖所示，排球場(chǎng)總長(zhǎng)為18m，設(shè)球網(wǎng)高2m，運(yùn)動(dòng)員站在離網(wǎng)3m的線上（如圖中虛線所示）正對(duì)網(wǎng)前跳起將球水平擊出，球飛行中阻力不計(jì)，取g=10m/s2。（1）設(shè)擊球點(diǎn)在3m線正上方且高度為2.5m，試問(wèn)擊球的速度在什么范圍內(nèi)才能使球既不觸網(wǎng)也不越界？（2）若擊球點(diǎn)在3m線正上方的高度小于某個(gè)值，那么無(wú)論水平擊球的速度多大，球不是觸網(wǎng)就是越界，試求這個(gè)高度。 7、在擲鉛球時(shí)，鉛球出手時(shí)離地面高度為h，若出手時(shí)速度為v0，求以何角度擲鉛球時(shí)，鉛球水平射程最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)射程多少？ 第九講：牛頓運(yùn)動(dòng)定律（動(dòng)力學(xué)） 【知識(shí)要點(diǎn)】 2、物體初始條件對(duì)物體運(yùn)動(dòng)情況的影響 在受力相同的情況下，物體的初始條件不同，物體的運(yùn)動(dòng)情況也不同。如拋體運(yùn)動(dòng)，均只受重力作用，但初速度方向不同，運(yùn)動(dòng)情況就不同（平拋、斜拋、豎直上拋）；受力情況只決定物體的加速度。物體的運(yùn)動(dòng)情況必須將物體的受力情況和初速度結(jié)合一起加以考慮。 3、聯(lián)接體 聯(lián)接體是指在某一種力的作用下一起運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體。解題中要根據(jù)它們的運(yùn)動(dòng)情況來(lái)找出它們的加速度的關(guān)系，尋找的方法一般有兩種，一種方法是從相對(duì)運(yùn)動(dòng)的角度通過(guò)尋找各物體運(yùn)動(dòng)的制約條件，從而找出各物體運(yùn)動(dòng)的相對(duì)加速度間的關(guān)系；另一種方法是通過(guò)分析極短時(shí)間內(nèi)的位移關(guān)系，利用做勻變速運(yùn)動(dòng)的物體在相同時(shí)間內(nèi)位移正比于加速度這個(gè)結(jié)論，找到物體運(yùn)動(dòng)的加速度之間的關(guān)系。 【解題思路與技巧】 牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立了物體的受力和物體運(yùn)動(dòng)的加速度之間的關(guān)系。因此，應(yīng)用時(shí)分析物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況尤為重要。同時(shí)，要注重矢量的合成和分解。相對(duì)運(yùn)動(dòng)等知識(shí)的靈活運(yùn)用，從而找出各物體的受力與它的加速度之間的關(guān)系。 M N 【例題1】如圖所示，豎直光滑桿上有一個(gè)小球和兩根彈簧，兩彈簧的一端各與小球相連，另一端分別用銷(xiāo)釘M、N固定于桿，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，設(shè)拔去銷(xiāo)釘M瞬間，小球加速度大小為12m/s2。若不拔去銷(xiāo)釘M而拔去銷(xiāo)釘N瞬間，小球的加速度可能是（取g=10m/s2） A、22m/s2，豎直向上 B、22m/s2，豎直向下 C、2m/s2，豎直向上 D、2m/s2，豎直向下 m M A C B θ 【例題2】如圖所示，質(zhì)量為M=10kg的木楔ABC靜止于粗糙的水平地面上，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.02。在木楔的傾角θ為30的斜面上，有一質(zhì)量m=1.0kg的物塊由靜止開(kāi)始沿斜面下滑。當(dāng)滑行路程s=1.4m時(shí)，其速度v=1.4m/s。在此過(guò)程中木楔沒(méi)有動(dòng)。求地面對(duì)木楔的摩擦力的大小和方向。（g=10m/s2） m m A B 2m C 【例題3】如圖所示，質(zhì)量均為m的兩物塊A、B疊放水平桌面上，B與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1，一根輕繩繞過(guò)一動(dòng)滑輪和兩個(gè)定滑輪水平拉動(dòng)A、B。動(dòng)滑輪下面掛一個(gè)質(zhì)量為2m，的物體C，滑輪的質(zhì)量和摩擦都可忽略。 （1）如果A、B之間的摩擦力足以保證它們不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，那么它們之間的摩擦力為多在？ （2）如果A、B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2，且μ2無(wú)法維持A、B相對(duì)靜止，那A、B的加速度各為多大？ A B C D E α α 【例題4】如圖所示，兩斜面重合的木楔ABC和ADC的質(zhì)量均為M，AD、BC兩面成水平，E為質(zhì)量等于m的小滑塊，楔塊的傾角為α，各接觸面之間的摩擦均不計(jì)，系統(tǒng)放在水平臺(tái)角上從靜止開(kāi)始釋放，求兩斜面未分離前小滑塊E的加速度。 【練習(xí)】 m1 m2 1、如圖所示，一輕繩兩端各系重物m1和m2，掛在車(chē)廂內(nèi)的定滑輪上，滑輪摩擦不計(jì)，m2＞m1，m2靜止在車(chē)廂地板上，當(dāng)車(chē)廂以加速度a向右作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，m2仍在原處不動(dòng)。求此時(shí)m2對(duì)地板的壓力為多大？這時(shí)m2與地板間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為多大才能維持這種狀態(tài)？ A B α 2、如圖所示，尖劈A的質(zhì)量為mA，一面靠在光滑的豎直墻上，另一面與質(zhì)量為mB的光滑棱柱B接觸，B可沿光滑水平面C滑動(dòng)，求A、B的加速度aA和aB的大小及A對(duì)B的壓力。 A B 3、如圖所示，A、B的質(zhì)量分別為m1=1kg，m2=2kg，A與小車(chē)壁的靜摩擦因數(shù)μ=0.5，B與小車(chē)間的摩擦不計(jì)，要使B與小車(chē)相對(duì)靜止，小車(chē)的加速度應(yīng)為多大？ A B C 45 45 4、如圖所示，A、B兩個(gè)楔子的質(zhì)量都是8.0kg，C物體的質(zhì)量為384kg，C和A、B的接觸面與水平的夾角均為45。水平推力F=2920N，所有摩擦均忽略不計(jì)。求： （1）A和C的加速度。 （2）B對(duì)C的作用力的大小和方向。 m1 m2 5、如圖所示，質(zhì)量為M的光滑圓形滑塊平放在桌面上，一細(xì)輕繩跨過(guò)此滑塊后，兩端各掛一個(gè)物體，物體質(zhì)量分別為m1和 m2，繩子跨過(guò)桌邊豎直向下，所有摩擦均不計(jì)，求滑塊的加速度。 第十講：力和直線運(yùn)動(dòng) 【知識(shí)要點(diǎn)】 1、直線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)： 物體的s、v、a、在同一直線上，當(dāng)與V同向時(shí)，V逐漸增大，物體做加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)與V反向時(shí)，V逐漸減小，物體做減速運(yùn)動(dòng)。 2、恒力與直線運(yùn)動(dòng)： （1）單個(gè)物體牛頓第二定律的分量式： （2）物體系牛頓第二定律的分量式： 3、變力與直線運(yùn)動(dòng)： （1）分段運(yùn)動(dòng)： 在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)由于制約物體運(yùn)動(dòng)的條件發(fā)生變化而導(dǎo)致物體在不同階段的受力情況不同，這時(shí)我們可以將物體的運(yùn)動(dòng)分為幾個(gè)階段，雖然在物體運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中受力的情況發(fā)生變化，但每一階段的運(yùn)動(dòng)中物體卻是受到恒力的作用，是做勻變速運(yùn)動(dòng)。 （2）變力作用下物體的運(yùn)動(dòng)情況分析： 將彈簧與物體相連時(shí)，在物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧的彈力大小往往發(fā)生變化，這時(shí)我們要結(jié)合物體的受力及其速度來(lái)分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，尤其要抓住合外力、速度的最小和最大的狀態(tài)，及合外力、速度即將反向的狀態(tài)進(jìn)行分析。 （例題2） （3）特殊變力作用下的直線運(yùn)動(dòng)： 中學(xué)階段主要研究的特殊變力有：與時(shí)間成正比的變力；與位移成正比的變力。 4、臨界狀態(tài)分析法： 如果問(wèn)題中涉及到臨界狀態(tài)，分析時(shí)要抓住物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的臨界點(diǎn)，分析在臨界點(diǎn)的規(guī)律和滿足的條件。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)物體處于臨界狀態(tài)時(shí)，往往具有雙重特征。如在某兩個(gè)物體即將分離的臨界狀態(tài)，一方面相互作用的彈力為零（分離的特征），另一方面又具有相同的加速度（沒(méi)有分離的特征）。 （練習(xí)2） 【解題思路和技巧】 物體做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度、加速度、位移及物體所受到的合外力都在同一直線上。競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受力的變化，這時(shí)要抓住物體受力變化的特點(diǎn)，從而分析出物體運(yùn)動(dòng)情況的變化。同時(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)歸納法、數(shù)列等數(shù)學(xué)知識(shí)在物理解題中的應(yīng)用。 v 【例題1】水平傳送帶長(zhǎng)度為20m，以2m/s的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，已知某物體與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1，如圖所示，求物體輕輕放到傳送帶一端開(kāi)始到達(dá)另一端所需的時(shí)間（取g=10m/s2） 【例題2】如圖所示，質(zhì)量可以不計(jì)的彈簧，平行于水平面，左端固定，右端自由；物塊停放在彈簧右端的位置O（接觸但不相擠壓）?，F(xiàn)用水平力把物塊從位置O推到位置A，然后由靜止釋放，物塊滑到位置B靜止。下列說(shuō)法中正確的有（ ） A、物塊由A到B，速度先增大后減小，通過(guò)位置O的瞬時(shí)速度最大，加速度為零 A O B B、物塊由A到B，速度先增大后減小，通過(guò)A、O之間某個(gè)位置時(shí)速度最大，加速度為零 C、物塊通過(guò)位置O以后作勻減速直線運(yùn)動(dòng) D、物塊通過(guò)A、O之間某個(gè)位置時(shí)，速度最大，隨后作勻減速直線運(yùn)動(dòng) 【例題3】如圖所示，A、B兩木塊質(zhì)量分別為mA和mB緊挨著并排放在水平桌面上，A、B間的接觸面是光滑的，且與水平面成θ角。A、B和水平桌面之間的靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ。開(kāi)始時(shí)A、B均靜止，現(xiàn)施一水平推力F作用于A，要使A、B向右加速運(yùn)動(dòng)且A、B之間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則（1）μ的數(shù)值應(yīng)滿足什么條件？ θ A B F （2）推力F的最大值不能超過(guò)多少？（不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)） 【例題4】一固定的斜面，傾角θ=45，斜面長(zhǎng)L=2.00m。斜面下端有一與斜面垂直的擋板，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，從斜面的最高點(diǎn)沿斜面下滑，初速度為零。質(zhì)點(diǎn)沿斜面下滑到斜面最低端與擋板發(fā)生彈性碰撞。已知質(zhì)點(diǎn)與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.20。試求此質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到與擋板發(fā)生第11次碰撞的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的總路程。 【練習(xí)】 A B C D h 1、有一個(gè)同學(xué)用如下方法測(cè)定動(dòng)摩擦因數(shù)：用同種材料做成的AB、BD平面（如圖所示），AB面為一斜面，高為h、長(zhǎng)為L(zhǎng)1。BD是一足夠長(zhǎng)的水平面，兩面在B點(diǎn)接觸良好且為弧形，現(xiàn)讓質(zhì)量為m的小物塊從A點(diǎn)由靜止下滑，到達(dá)B點(diǎn)后順利進(jìn)入水平面，最后滑到C點(diǎn)停止，并測(cè)量出BC=L2，小物塊與兩平面的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，由以上數(shù)據(jù)可以求出物塊與平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ= 。 P F 2、如圖所示，一個(gè)彈簧臺(tái)秤的秤盤(pán)和彈簧的質(zhì)量都不計(jì)，盤(pán)內(nèi)放一個(gè)質(zhì)量m=12kg并處于靜止的物體P，彈簧的勁度系數(shù)為k=300N/m，現(xiàn)給P施加一個(gè)豎直向上的力F，使P從靜止開(kāi)始始終向上作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在這過(guò)程中，頭0.2s內(nèi)F是變力，在0.2s以后的F是恒力，取g=10m/s2，則物體P做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度a的大小為 m/s2，F(xiàn)的最小值是 N，最大值是 N。 A B F 3、光滑水平桌面上的厚木板質(zhì)量為M，它的上面有一個(gè)半徑為R的球穴，如圖所示，槽穴的深度為R/2；一個(gè)半徑為R，質(zhì)量為m的小球放在球穴中，A、B點(diǎn)是通過(guò)球心的豎直剖面中板面與球的接觸點(diǎn)。試分析計(jì)算，沿水平方向作用于木板的力F至少多大，球才會(huì)從球穴中翻出來(lái)？ 4、如圖所示，質(zhì)量M=8kg的小車(chē)放在水平光滑的平面上，在小車(chē)右端加一水平恒力F=8N。當(dāng)小車(chē)向右運(yùn)動(dòng)的速度達(dá)到1.5m/s時(shí)，在小車(chē)前端輕輕地放上一個(gè)大小不計(jì)，質(zhì)量為m=2kg的小物塊，物塊與小車(chē)間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，小車(chē)足夠長(zhǎng)。求從小物塊放上小車(chē)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)t=1.5s小物塊相對(duì)地通過(guò)的位移大小為多少？（g=10m/s2） F m M A B C F 5、如圖所示，小滑塊A疊放在長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.52m的平板B左端，B放在光滑水平桌面上。A、B兩物體通過(guò)一個(gè)動(dòng)滑輪和一個(gè)定滑輪和C物體相連，滑輪的摩擦和質(zhì)量均不計(jì)。A、B、C三個(gè)物體的質(zhì)量都是1kg，A、B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25?，F(xiàn)用一個(gè)水平向左的恒力F拉B，經(jīng)0.2s后A滑離B，求力F的大小。 v0 L 6、10個(gè)相同的扁木塊一個(gè)緊挨一個(gè)地放在水平地面上，如圖所示。每個(gè)木塊的質(zhì)量為m=0.4kg，長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.50m。木塊原來(lái)都靜止，它們與地面間的靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ1=0.10。左邊第一塊木塊的最左端放一塊質(zhì)量為M=1.0kg的小鉛塊，它與木塊間的靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ2=0.20。現(xiàn)突然給鉛塊一個(gè)向右的速度v0=4.3m/s，使其在木塊上滑行，試確定它最后是落在地面上還是停地哪一塊木塊上？（設(shè)鉛塊的大小可以忽略） x A L0 B v0 7、如圖所示，物體A質(zhì)量為m，吊索拖著A沿光滑的豎直桿上升，吊索跨過(guò)定滑輪B繞過(guò)定滑輪B繞在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的鼓輪上，吊索運(yùn)動(dòng)速度為v0，滑輪B到豎直桿的水平距離為L(zhǎng)0，求當(dāng)物體A到B所在水平面的距離為x時(shí)，繩子的張力大小是多少？ 8、如圖所示，一個(gè)厚度不計(jì)的圓環(huán)A，緊套在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的圓柱體B的上端，A、B兩者的質(zhì)量均為m。A與B之間的最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相同，其大小為kmg（k＞1）。B從離地H高處由靜止開(kāi)始落下，觸地后能豎直向上彈起，觸地時(shí)間極短，且無(wú)動(dòng)能損失。B與地碰撞n次后，A與B分離。 （1）B與地第一次碰撞后，當(dāng)A與B剛相對(duì)靜止時(shí)，B下端離地面的高度為多少？ A B H L （2）如果H、n、k為已知，那么L應(yīng)滿足什么條件？