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橢圓的簡單幾何性質(zhì) 知識儲備案 1 橢圓的定義 到兩定點F1 F2的距離之和為常數(shù) 大于 F1F2 的動點的軌跡叫做橢圓 2 橢圓的標準方程是 3 橢圓中a b c的關系是 當焦點在X軸上時 當焦點在Y軸上時 a F2 F1 O B2 B1 A1 A2 x y c b 知識儲備案 找出a b c所表示的線段 B2F2O叫橢圓的特征三角形 二 橢圓簡單的幾何性質(zhì) 問題1 指出A1 A2 B1 B2的坐標 問題2 指出橢圓上點的橫坐標的范圍 問題3 指出橢圓上點的縱坐標的范圍 結(jié)論 橢圓中 a x a b y b 橢圓落在x a y b組成的矩形中 1 范圍 2 橢圓的對稱性 x x 對稱軸 x軸 y軸對稱中心 原點 2 對稱性 從圖形上看 橢圓關于x軸 y軸 原點對稱 從方程上看 1 把x換成 x方程不變 圖象關于y軸對稱 2 把y換成 y方程不變 圖象關于x軸對稱 3 把x換成 x 同時把y換成 y方程不變 圖象關于原點成中心對稱 3 橢圓的頂點 令x 0 得y 說明橢圓與y軸的交點 令y 0 得x 說明橢圓與x軸的交點 頂點 橢圓與它的對稱軸的四個交點 叫做橢圓的頂點 長軸 短軸 線段A1A2 B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸 a b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長 根據(jù)前面所學有關知識畫出下列圖形 1 2 A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 4 橢圓的離心率e 刻畫橢圓扁平程度的量 離心率 橢圓的焦距與長軸長的比 叫做橢圓的離心率 1 離心率的取值范圍 2 離心率對橢圓形狀的影響 0 e 1 1 e越接近1 c就越接近a 從而b就越小 橢圓就越扁2 e越接近0 c就越接近0 從而b就越大 橢圓就越圓 3 e與a b的關系 思考 當e 0時 曲線是什么 當e 1時曲線又是什么 x a y b 關于x軸 y軸成軸對稱 關于原點成中心對稱 a 0 a 0 0 b 0 b c 0 c 0 長半軸長為a 短半軸長為b a b x a y b 關于x軸 y軸成軸對稱 關于原點成中心對稱 a 0 a 0 0 b 0 b c 0 c 0 長半軸長為a 短半軸長為b a b x b y a 同前 b 0 b 0 0 a 0 a 0 c 0 c 同前 同前 同前 0 e 1 e越接近于1越扁 例1已知橢圓方程為9x2 25y2 225 它的長軸長是 短軸長是 焦距是 離心率等于 焦點坐標是 頂點坐標是 外切矩形的面積等于 10 6 8 60 解題的關鍵 1 將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標準方程明確a b 2 確定焦點的位置和長軸的位置 例5電影放映燈泡的反射面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分 過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分 燈絲位于橢圓的一個焦點上 片門位于另一個焦點上 由橢圓一個焦點發(fā)出的光線 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點 已知建立適當?shù)淖鴺讼?求截口BAC所在橢圓的方程 課本例題 練習 已知橢圓的離心率求m的值及橢圓的長軸和短軸的長 焦點坐標 頂點坐標 例2求適合下列條件的橢圓的標準方程 經(jīng)過點P 3 0 Q 0 2 長軸長等于20 離心率3 5 一焦點將長軸分成 的兩部分 且經(jīng)過點 解 方法一 設方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 將點的坐標方程 求出m 1 9 n 1 4 方法二 利用橢圓的幾何性質(zhì) 以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點 于是焦點在x軸上 且點P Q分別是橢圓長軸與短軸的一個端點 故a 3 b 2 所以橢圓的標準方程為 注 待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟 定位 定量 或 或 練習 1 根據(jù)下列條件 求橢圓的標準方程 長軸長和短軸長分別為8和6 焦點在x軸上 長軸和短軸分別在y軸 x軸上 經(jīng)過P 2 0 Q 0 3 兩點 一焦點坐標為 3 0 一頂點坐標為 0 5 兩頂點坐標為 0 6 且經(jīng)過點 5 4 焦距是12 離心率是0 6 焦點在x軸上 2 已知橢圓的一個焦點為F 6 0 點B C是短軸的兩端點 FBC是等邊三角形 求這個橢圓的標準方程 例3 1 橢圓的左焦點是兩個頂點 如果到直線AB的距離為 則橢圓的離心率e 3 設M為橢圓上一點 為橢圓的焦點 如果 求橢圓的離心率 小結(jié) 本節(jié)課我們學習了橢圓的幾個簡單幾何性質(zhì) 范圍 對稱性 頂點坐標 離心率等概念及其幾何意義 了解了研究橢圓的幾個基本量a b c e及頂點 焦點 對稱中心及其相互之間的關系 這對我們解決橢圓中的相關問題有很大的幫助 給我們以后學習圓錐曲線其他的兩種曲線扎實了基礎 在解析幾何的學習中 我們更多的是從方程的形式這個角度來挖掘題目中的隱含條件 需要我們認識并熟練掌握數(shù)與形的聯(lián)系 在本節(jié)課中 我們運用了幾何性質(zhì) 待定系數(shù)法來求解橢圓方程 在解題過程中 準確體現(xiàn)了函數(shù)與方程以及分類討論的數(shù)學思想 4 P為橢圓上任意一點 F1 F2是焦點 則 F1PF2的最大值是