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2 2 1橢圓及其標準方程 二 第二章圓錐曲線與方程 橢圓的標準方程 定義 圖形 方程 焦點 F c 0 F 0 c a b c之間的關系 c2 a2 b2 MF1 MF2 2a 小結 橢圓的標準方程的再認識 1 橢圓標準方程的形式 左邊是兩個分式的平方和 右邊是1 2 橢圓的標準方程中三個參數(shù)a b c始終滿足c2 a2 b2 不要與勾股定理a2 b2 c2混淆 3 由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)a b c的值 4 橢圓的標準方程中 x2與y2的分母哪一個大 則焦點在哪一個軸上 橢圓標準方程的特點 1 a b c三個基本量滿足a2 b2 c2且a b 0 其中2a表示橢圓上的點到兩焦點的距離之和 可借助如圖所示的幾何特征理解并記憶 2 利用標準方程判斷焦點的位置的方法是看大小 即看x2 y2的分母的大小 哪個分母大 焦點就在哪個坐標軸上 較大的分母是a2 較小的分母是b2 2 名師點睛 試一試 雙基題目 基礎更牢固 D B C 7 練習 已知圓C x 1 2 y2 25及點A 1 0 Q為圓上一點 AQ的垂直平分線交CQ于M 求點M的軌跡方程 解 如圖所示 M是AQ的垂直平分線與CQ的交點 連接MA 則 MQ MA MC MA MC MQ CQ 5 且 AC 2 動點M的軌跡是橢圓 且其焦點為C A 練習 在 ABC中 BC 24 AC AB邊上的中線長之和等于39 求 ABC的重心的軌跡方程 解 如圖所示 以線段BC所在直線為x軸 線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標系 若一個動點P x y 到兩個定點A 1 0 A 1 0 的距離和為定值m 試求P點的軌跡方程 解 PA PA m AA 2 1 當m 2時 P點的軌跡就是線段AA 其方程為y 0 1 x 1 2 當m 2時 由橢圓的定義知 點P的軌跡是以A A 為焦點的橢圓 2c 2 2a m 練習 已知 ABC中 A B C所對的邊分別為a b c 且a c b成等差數(shù)列 AB 2 求頂點C的軌跡方程 正解 接上面有3x2 4y2 12 又a b 即 BC AC 點C只能在y軸的左邊 即x 0 又由于 ABC的三個頂點不能共線 即點C不能在x軸上 故x 2 所求C點的軌跡方程為3x2 4y2 12 2 x 0 說明 1 求軌跡方程與求軌跡是有區(qū)別的 求軌跡 不但要求出軌跡方程 還要指明軌跡是什么圖形 2 求出軌跡方程后 注意考查曲線的完備性和純粹性 以防 疏漏 和 不純 練習 1 已知F1 F2是兩點 F1F2 8 動點M滿足 MF1 MF2 10 則點M的軌跡是 2 動點M滿足 MF1 MF2 8 則點M的軌跡是 D C A