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《直線和圓的方程》單元教學設計 【教學設計思路】 教材分析： 直線是解析幾何中的靈魂，而圓是在解析幾何中的最簡單的曲線．這節(jié)課安排在學習了 如何求直線的方程，直線的傾斜角和斜率；圓的方程的求法之后，學習三大圓錐曲線之前，旨在培養(yǎng)解析幾何中的數(shù)形集合的理論，為后繼學習做好準備．同時，有關圓的問題，特別是直線與圓的位置關系問題，也是解析幾何中的基本問題，這些問題的解決為圓錐曲線問題的解決提供了基本的思想方法．因此教學中應加強練習，使學生確實掌握這一單元的知識和方法． 學情分析： 所教班級是文科班，學生的層次處于我校的中等偏下水平，應該說學生的認知水平和思維品質(zhì)還可以，學習習慣和風氣比較好，相對自覺，而且學生對前面的有關直線和圓中的基本知識點已經(jīng)有了較好的掌握。但考慮到本節(jié)課的重要性，教師授課時還須充分發(fā)揮學生的主觀能動性，留給學生更多的思維空間，培養(yǎng)學生在解析幾何中的運算意識，以及注意如何減少運算量。 【知識與技能】 （1）掌握圓的切線方程，能根據(jù)過定點熟練地寫出圓的切線方程，也能根據(jù)圓的切線方程熟練地求出切線長． 　?。?）掌握圓和直線的位置關系的判定方法，　　 （3）了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程，能夠進行圓的普通方程與參數(shù)方程之間的互化，能應用圓的參數(shù)方程解決有關直線中的簡單問題． 【教學重點，難點】 （1）注意在解析幾何中要“一題多解” （2） 如何提高學生運算能力 （3）培養(yǎng)學生簡化運算過程的意識能力． 輔助手段：多媒體課件 教學安排：1課時 【教學過程】 一 課前預習：（1）若圓(x-a)2+(y-b) 2=r2，那么點(x0,y0)在 （2）直線與圓的位置關系 直線與圓有三種位置關系：相離、相切和相交。有兩種判斷方法： （1） 代數(shù)法（判別式法） （2） 幾何法，圓心到直線的距離 一般宜用幾何法。 （3）弦長與切線方程，切線長的求法 （1）弦長求法一般采用幾何法：弦心距d，圓半徑r，弦長l則 （2）切線長，過圓外一點引圓：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 或(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切線 則切線長： 二 問題設置： 1：推導過點的切線方程： 問題1：設C（x0，y0）在圓上，圓方程為：x2+y2=r2,求過C 的切線方程？ 對(x-a)2+(y-b)2=r2而言，切點方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 問題2：若點C（x0，y0）在圓外，圓方程為：x2+y2=r2, 求切點弦的方程？ 如圖：設D（x1,y1）,E(x2,y2),則過D的切線方程為：x1x+y1y=r2, 同理， 則過E的切線方程為：x2x+y2y=r2,C在兩切線上， x1x0+y1y0=r2, x2y0+y2y0=r2. DE在直線方程xy0+yy0=r2上，由于兩點可以確定一條直線，切點弦的方程為：xy0+yy0=r2 總結：要過點求圓的切線方程，，我們需要注意先驗證點是否在圓上在利用切點方程去解決。 2 典型例題示范 (1)若直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交，則點P(a,b) 與圓的位置關系是 ( C ) (A)在圓上 (B) 在圓內(nèi) (C) 在圓外 (D)以上皆有可能 分析直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交 d=, (2)若圓x2+y2=1與直線bx+ay=ab(a>0,b>0)相切,則ab的最小值為( C ) (A)1 (B)5 (C)2 (D)4 分析：x2+y2=1與直線bx+ay=ab(a>0,b>0)相切，d=， 例題2:已知點P（5，0）和⊙O：x2+y2=16 (1)自P作⊙O的切線，求切線的長,切點弦長及切線的方程; (2)過P任意作直線l與⊙O交于A、B兩相異點，求弦AB中點M的軌跡. 解:（1）設過P的圓O的切線切圓于點Q， 連OQ，∵△PQO是Rt△ ，∴切線長PQ= 下求切線方程： 法一:設切點為Q（x0，y0），則切線方程為xox+y0y=16， 由題意得： 所以所求切線方程為：4x+3y-20=0或4x-3y-20=0 法二:設所求切線方程為:y=k(x-5) 法三：設切線l的直線方程為：y=k(x-5) 直線l與圓O相切,O到直線l的距離等于半徑, 則 所求切線方程為：4x+3y-20=0,4x-3y-20=0 總結:在直線與圓相切時求切線方程時有兩種常見方法： (1)用幾何方法圓心到直線的距離等于半徑. (2)代數(shù)方法聯(lián)立方程組用方程解的個數(shù)來考慮 （2）設M(x,y)是所求軌跡上任一點，A(x1,y1),B(x2,y2) AB的斜率為k 由題意得： 化簡得：（1+k2）x2-10k2x+2k2-16=0 消k得： 當y=0時,k=0 此時x=0 而 所求軌跡方程為 總結:在直線與圓相交時求相交兩點的中點的軌跡方程時有三種方法可以解決: (1)聯(lián)立直線方程和圓方程求出關于x或y的二次方程利用根與系數(shù)的關系求斜率.此方法適用一切解析幾何中直線和曲線相交求中點軌跡問題. (2)可用點差法求直線的斜率.但此方法只是適用與求中點弦之類的題目,如果不是中點時就很難解決. (3)用圓的基本性質(zhì)來解決,直角頂點必在兩定點為直徑的圓上.這是在圓中才有的特征,在圓錐曲線中沒有,要注意區(qū)別. 3 課堂練習 (1)已知圓C：x2+y2-4x-6y+12=0，則過A(2，5)的圓的切線方程為 (2)直線l:x-y+3=0,圓(x-a)2+(y-2)2=4,若直線與圓相交于AB,直線與y軸交于點C,若 ,則a= (3)已知圓C:x2+y2-2x-4y+1=0，直線l:x+y+2=0，在圓上求一點P，使P到直線x+y+2=0的距離最短。 （4）若方程有解，求m的取值范圍？ 4 課堂總結提煉： (1)掌握直線和圓的位置關系,會求圓的切線方程,公共弦長,切點弦的方程和切點弦長. (2) 在處理直線和圓的有關問題時要能夠抓住”數(shù)”和”形”的結合,可充分利用圓的幾何性質(zhì)來簡化運算. 5 課后作業(yè)：數(shù)學之友相關練習