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集合之間的基本關(guān)系是類比實數(shù)之間的關(guān)系得到的 同樣類比實數(shù)的運算 能否得到集合之間的運算呢 想一想 實數(shù)有加法運算 那么集合是否也有 加法 呢 下列各個集合 你能說出集合C與集合A B之間的關(guān)系嗎 1 A a b B c d C a b c d 2 A x x是有理數(shù) B x x是無理數(shù) C x x是實數(shù) 3 A x 1 x 6 B x 4 x 8 C x 1 x 8 觀察 1 1 3集合的基本運算 集合A 集合B 集合C A B C 請觀察A B C這些集合之間是什么關(guān)系 a b c d a b c d x是有理數(shù) x是無理數(shù) x是實數(shù) 集合C是由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成 一般地 由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合 稱為集合A與B的并集 記作A B 讀作 A并B 即A B x x A 或x B 知識要點 1 并集 用Venn圖表示 即時訓練 1 兩個集合的并集中的元素就是將兩個集合中的元素合在一起 2 A B仍是一個集合 由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成 3 若集合A和集合B有公共元素 根據(jù)集合元素的互異性 則在A B中僅出現(xiàn)一次 例1設(shè)A 4 5 6 8 B 3 5 7 8 求A B 解 A B 4 5 6 8 3 5 7 8 3 4 5 6 7 8 元素全部拿過來 重復的只寫一次 例2設(shè)集合A 1 2 集合B 1 3 求A B 解 A B 1 2 1 3 A B A X 1 3 B 畫數(shù)軸 找端點是關(guān)鍵 例3設(shè)A a b c B a c d f 求A B 解 A B a b c a c d f a b c d f 例4設(shè)集合A x 4 x 2 集合B x 1 x 4 求A B 解 A B x 4 x 2 x 1 x 4 x 4 x 4 注意 求兩個集合的并集時 它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次 如 a c 在數(shù)軸上表示并集 A B 總結(jié)提升 兩個集合求并集 結(jié)果還是一個集合 由集合A與B的所有元素組成的集合 它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次 對于表示不等式解集的集合的運算 可借助數(shù)軸解題 注意 觀察 下列各個集合 你能說出集合A B與集合C之間的關(guān)系嗎 1 A 2 4 6 8 10 B 2 3 5 8 9 12 C 2 8 2 A x 1 x 6 B x 4 x 8 C x 4 x 6 集合C是由那些既屬于集合A且又屬于集合B的所有元素組成 2 交集 一般地 由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合 稱為A與B的交集 記作A B 讀作 A交B 即A B x x A 且x B 知識要點 用Venn圖表示 例5新華中學開運動會 設(shè)A x x是新華中學高一年級參加百米賽跑的同學 B x x是新華中學高一年級參加跳高比賽的同學 求A B 解 A B就是新華中學高一年級中那些既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學組成的集合 所以 A B x x是新華中學高一年級既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學 例6設(shè)A x x 1 B x x 1 求A B 例7設(shè)A x x是等腰三角形 B x x是直角三角形 求A B 解 A B x x 1 x x 1 x 1 x 1 解 A B x x是等腰三角形 x x是直角三角形 x x是等腰直角三角形 A B 例8設(shè)平面內(nèi)直線l1上點的集合為L1 直線l2上點的集合為L2 試用集合的運算表示l1 l2的位置關(guān)系 總結(jié)提升 兩個集合求交集 結(jié)果還是一個集合 由集合A與B的公共元素組成的集合 當兩個集合沒有公共元素時 兩個集合的交集是空集 而不能說兩個集合沒有交集 注意 A B A 思考1如果你所在班級共有50名同學 要求你從中選出46名同學參加體操比賽 你如何完成這件事呢 你不可能直接去找張三 李四 王五 一一確定出誰去參加吧 如果按這種方法做這件事情 可就麻煩多了 若確定出4位不參加比賽的同學 剩下的46名同學都參加 問題可就簡單多了 不要小看這個問題的解決方法 它可是這節(jié)內(nèi)容補集的現(xiàn)實基礎(chǔ) 補集 像這樣的集合也正是我們這節(jié)課所要研究的 全集與補集 思考2想一想如下的Venn圖所示陰影部分的集合 如何用描述法表示呢 方程的解集 在有理數(shù)范圍內(nèi)有幾個解 分別是什么 在不同的范圍內(nèi)研究問題 結(jié)果是不同的 為此 需要確定研究對象的范圍 想一想 在實數(shù)范圍內(nèi)有幾個解 分別是什么 1個 1 思考3 在不同范圍內(nèi)研究同一個問題 可能有不同的結(jié)果 我們通常把研究問題前給定的范圍所對應的集合稱為全集 如Q R Z等 那么全集的含義如何呢 一般地 如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素 那么就稱這個集合為全集 通常記作U 通常也把給定的集合作為全集 知識要點 特別提醒 全集是相對于所研究問題而言的一個相對概念 它含有與所研究問題有關(guān)的各個集合的全部元素 因此全集因問題而異 思考交流 想一想 全集一定包含任何元素嗎 提示 全集僅包含我們研究問題所涉及的集合的全部元素 而非任何元素 觀察下列三個集合 S 高一年級的同學 A 高一年級參加軍訓的同學 B 高一年級沒有參加軍訓的同學 這三個集合之間有何關(guān)系 顯然 由所有屬于集合S但不屬于集合A的元素組成的集合就是集合B 如何在全集S中研究相關(guān)集合間的關(guān)系呢 對于一個集合A 由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集 complementaryset 簡稱為集合A的補集 記作 可用Venn圖表示為 補集的概念 注意 補集符號 A有三層含義 1 A是U的一個子集 即AU 2 A表示一個集合 且 AU 3 A是U中所有不屬于A的元素構(gòu)成的集合 判斷 1 補集既是集合間的一種關(guān)系 同時也是集合間的一種運算 2 求集合A的補集的前提是 A是全集U的子集 集合A其實是給定的條件 對于任意的一個集合A都有 1 2 3 例1 1 設(shè)U x x是小于9的正整數(shù) A 1 2 3 B 3 4 5 6 求 UA UB 解 1 根據(jù)題意可知 2 設(shè)全集U x x是三角形 A x x是銳角三角形 B x x是鈍角三角形 求A B U A B AB 2 根據(jù)三角形的分類可知 x x是直角三角形 所以 A B x x是銳角三角形或鈍角三角形 設(shè)全集U R 在數(shù)軸上表示出集合A x 2 x 1 的補集 UA 變式練習 解 畫出數(shù)軸 通過數(shù)軸上集合的表示可得A的補集 UA x x 2或x 1 注意 求用區(qū)間表示的集合的補集時 要特別注意區(qū)間端點的歸屬 例2設(shè)全集為R 求 解得 例6設(shè)U x x是小于7的正整數(shù) A 1 2 3 B 3 4 5 6 求CUA CUB 例7設(shè)全集U R M x x 1 N x 0 x 1 則CUM CUN 解 根據(jù)題意可知CUM x x 1 CUN x x 0且x 1 解 根據(jù)題意可知 U 1 2 3 4 5 6 所以CUA 4 5 6 CUB 1 2 注意 用數(shù)軸來處理比較簡捷 數(shù)形結(jié)合思想 例3設(shè)集合A 4 2m 1 m2 B 9 m 5 1 m 又A B 9 求A B 解 1 若2m 1 9 得m 5 得A 4 9 25 B 9 0 4 得A B 4 9 不符合題 2 若m2 9 得m 3或m 3 m 3時 A 4 5 9 B 9 2 2 違反互異性 舍去 當m 3時 A 4 7 9 B 9 8 4 符合題意 此時A B 4 7 9 8 4 由 1 2 可知 m 3 A B 4 7 9 8 4 例4已知U R A x x 3 0 B x x 2 x 4 0 求 1 C A B 2 C A B 解 1 C A B 2 C A B x x 3或x 4 課堂小結(jié) 進行以不等式描述的或以區(qū)間形式出現(xiàn)的集合間的并 交 補運算時 一定要畫數(shù)軸幫助分析 1 運算順序 括號 補 交并 2 運算性質(zhì) 高考鏈接 B 0 2 則集合A B的所有元素之和為 1 2008江西 定義集合運算 設(shè)A 1 2 A 0B 2C 3D 6 解 由條件可知A B 0 2 4 所以之和為6 D 2 2009上海 已知集合A x x 1 B x x a 且A B R 則實數(shù)a的取值范圍是 解 A B 1 a R a 1 a 1 A A 3個B 4個C 5個D 6個 解析 本題目主要考察集合的運算 A B 4 7 9 U A B 3 4 5 7 8 9 A B 3 5 8 所以 A B 中的元素共3個 4 2009廣東 已知全集U R 則正確表示集合M 1 0 1 和N x x 0 關(guān)系的韋恩 Venn 圖是 N M U A B C D B 課堂練習 1 判斷正誤 1 若U 四邊形 A 梯形 則UA 平行四邊形 2 若U是全集 且A B 則UA CUB 3 若U 1 2 A U 則UA 解 將集合A B在數(shù)軸上表示 如圖 所以 A 6 設(shè)A 2 1 x2 2x 1 B 2y 4 x 1 C 1 4 且A B C 求x y 解 由A B C知4 A 必然x2 2x 1 4得x1 1 x2 3由x 1得x 1 0 C x 1 x 3x 1 4 C此時2y 1 y 1 2 綜上所述x 3 y 1 2 1 設(shè)集合M x x2 2x 0 x R N x x2 2x 0 x R 則M N A 0 B 0 2 C 2 0 D 2 0 2 D 解析 分析可得 M為方程x2 2x 0的解集 則M 0 2 N為方程x2 2x 0的解集 則N 0 2 故集合M N 2 0 2 動筆練一練 2 設(shè)集合A 1 2 3 集合B 2 2 則A B A B 2 C 2 2 D 2 1 2 3 B 解析 因為集合A 1 2 3 集合B 2 2 所以A B 2 3 若集合A 1 2 3 B 1 3 4 則A B的子集個數(shù)為 A 2B 3C 4D 16 解析 因為A 1 2 3 B 1 3 4 所以A B 1 3 則A B的子集個數(shù)為22 4 C 4 設(shè)集合A 1 0 1 B a a2 則使A B A成立的a的值為 解析 因為A B A 所以B A 所以a2 0或a2 1 所以a 0或a 1 但a 0或a 1不符合條件 舍去 故a 1 1 5 設(shè)集合U 1 2 3 4 5 6 M 1 2 4 則 A UB 1 3 5 C 3 5 6 D 2 4 6 C 解析 U中的元素去掉1 2 4得 故選C 6 若全集U 1 2 3 4 5 6 7 8 M 1 3 5 7 N 5 6 7 則 U M N A 5 7 B 2 4 C 2 4 8 D 1 3 5 6 7 解析 借助于Venn圖 如圖所示 M N 1 3 5 6 7 U M N 2 4 8 C 教材習題答案