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第28周表面積與體積 二 解答立體圖形的體積問題時 要注意以下幾點 1 物體沉入水中 水面上升部分的體積等于物體的體積 把物體從水中取出 水面下降部分的體積等于物體的體積 這是物體全部浸沒在水中的情況 如果物體不全部浸在水中 那么派開水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積 2 把一種形狀的物體變?yōu)榱硪环N形狀的物體后 形狀變了 但它的體積保持不變 3 求一些不規(guī)則形體體積時 可以通過變形的方法求體積 4 求與體積相關的最大 最小值時 要大膽想象 多思考 多嘗試 防止思維定勢 一 知識要點 例題1 有大 中 小三個正方體水池 它們的內邊長分別為6米 3米 2米 把兩堆碎石分別沉在中 小水池里 兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米 如果將這兩堆碎石都沉在大水池里 大水池的水面升高多少厘米 思路導航 中 小水池升高部分是一個長方體 它的體積就等同于碎石的體積 兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米 兩堆碎石的體積就是3 3 0 06 2 2 0 04 0 7 立方米 把它沉到大水池里 水面升高部分的體積也就是0 7立方米 再除以它的底面積就能求得升高了多少厘米 3 3 0 06 2 2 0 04 0 7 立方米 0 7 6的平方 7 360 米 1又17 18 厘米 二 精講精練 練習1 1 有大 中 小三個正方體水池 它們的內邊長分別為4米 3米 2米 把兩堆碎石分別沉沒在中 小水池的水中 兩個水池的水面分別升高了4厘米和11厘米 如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池中 那么大水池水面將升高多少厘米 2 用直徑為20厘米的圓鋼 鍛造成長 寬 高分別為30厘米 20厘米 5厘米的長方體鋼板 應截取圓鋼多長 精確到0 1厘米 3 將表面積為54平方厘米 96平方厘米 150平方厘米的三個鐵質正方體熔鑄成一個大正方體 不計損耗 求這個大正方體的體積 第28周表面積和體積瘋狂操練二 例題2 一個底面半徑是10厘米的圓柱形瓶中 水深8厘米 要在瓶中放入長和寬都是8厘米 高是15厘米的一塊鐵塊 把鐵塊豎放在水中 水面上升幾厘米 思路導航 在瓶中放鐵塊要考慮鐵塊是全部沉入水中 還是部分沉入水中 如果鐵塊是全部沉入水中 排開水的體積是8 8 15 960 立方厘米 而現(xiàn)在瓶中水深是8厘米 要淹沒15厘米高的鐵塊 水面就要上升15 8 7 厘米 需要排開水的體積是 3 14 10 10 8 8 7 1750 立方厘米 可知鐵塊是部分在水中 當鐵塊放入瓶中后 瓶中水所接觸的底面積就是3 14 10 10 8 8 250 平方厘米 水的形狀變了 但體積還是3 14 10 10 8 2512 立方厘米 水的高度是2512 250 10 048 厘米 上升10 048 8 2 048 厘米 3 14 10 10 8 3 14 10 10 8 8 8 2512 250 8 10 048 8 2 048 厘米 練習2 1 一個底面積是15平方厘米的玻璃杯中裝有高3厘米的水 現(xiàn)把一個底面半徑是1厘米 高5厘米的圓柱形鐵塊垂直放入玻璃杯水中 問水面升高了多少厘米 取3 2 一個圓柱形玻璃杯內盛有水 水面高2 5厘米 玻璃杯內側的底面積市2平方里 在這個杯中放進棱長6厘米的正方形鐵塊后 水面沒有淹沒鐵塊 這時水面高多少厘米 3 在底面是邊長為60厘米的正方形的一個長方形容器里 直立放著一個長100厘米 底面邊長為15厘米的正方形的四棱柱鐵棍 這時容器里的水50厘米深 現(xiàn)在把鐵棍輕輕地向上方提起24厘米 露出睡眠的四棱柱鐵棍浸濕部分長多少厘米 第28周表面積和體積瘋狂操練三 例題3 某面粉廠有一容積是24立方米的長方體儲糧池 它的長是寬或高的2倍 當貼著它一最大的內側面將面粉堆成一個最大的半圓錐體時 求這堆面粉的體積 第28周表面積和體積瘋狂操練三 思路導航 設圓錐體的底面半徑是r 則長方體的高和寬也都是r 長是2r 長方體的容積是2r r r 24 即r的立方 12 這個半圓錐體的體積是1 3 r的平方 r 2 1 6 r的立方 將r的立方 12代入 就可以求得面粉的體積 設圓錐體的底面半徑是r 則長方體的容積是2r r r 24 r的立方 12 1 3 3 14 r的平方 r 2 1 6 3 14 r的立方 1 6 3 14 12 6 28 立方米 練習3 1 已知一個圓錐體的底面半徑和高都等于一正方體的棱長 這個正方體的體積是216立方分米 求這個圓錐體的體積 2 一個正方體的紙盒中如圖28 2所示 恰好能裝入一個體積6 28立方厘米的圓柱體 紙盒的容積有多大 取3 14 3 如圖28 3所擲 圓錐形容器中裝有3升水 水面告訴正好是圓錐高讀的一半 這個容器還能裝多少水 第28周表面積和體積瘋狂操練四 例題4 如果把12件同樣的長方體物品打包 形成一件大的包裝物 有幾種包裝方法 怎樣打包物體的表面積最小呢 第28周表面積和體積瘋狂操練四 設長方體物品的長 寬 高分別是a b c 并且a b c 入土28 4 比較 3 4 和 2 6 兩種包法 圖28 5中大長方體表面積為6ab 8ac 24bc 圖28 6中大長方體的表面積為4ab 12ac 24bc 兩個式子中都曲調相同的部分4ab 8ac 24bc后 式與 式的大小要看2ab與4ac的大小 1 當b 2c時 2ab ac 兩種包法相同 2 當b 2c時 3 4 的包法表面積最小 3 當b 2c時 2 6 的包法表面積最小 練習4 1 如果把長8厘米 寬7厘米 高3厘米的2件同樣的長方體物品打包 形成一件大的包裝物 有幾種包裝方法 怎樣打包 物體的表面積最小 2 一個精美小禮品盒的形狀是長9厘米 寬6厘米 高4厘米的長方體 請你幫廠家設計一個能裝10個小禮品盒的大紙箱 你覺得怎樣設計比較合理 為什么 3 一包香煙的形狀是長方體 它的長是9厘米 寬是5厘米 高是2厘米 把10包香煙包裝在一起形成一個大長方體 稱為一條 可以怎樣包裝 算一算需要多少包裝紙 包轉念能夠紙的重疊部分忽略不計 你認為哪一種包裝比較合理 第28周表面積和體積瘋狂操練五 例題5 一只集裝箱 它的內尺寸是18 18 18 現(xiàn)在有批貨箱 它的外尺寸是1 4 9 問這只集裝箱能裝多少只貨箱 思路導航 因為集裝箱內尺寸18不是貨箱尺寸4的倍數(shù) 所以 只能先在18 16 18的空間放貨箱 可放18 16 18 1 4 9 144 只 這時還有18 2 18的空間 但只能在18 2 16的空間放貨箱 可放18 2 16 1 4 9 16 只 最后剩下18 2 2的空間無法再放貨箱 所以最多能裝144 16 160 只 18 16 18 1 4 9 18 2 16 1 4 9 144 16 160 只 練習5 1 有一個長方體的盒子 從里面量長為40厘米 寬為12厘米 高為7厘米 在這個盒子里放長5厘米 寬4厘米 高3厘米的長方體木塊 最多可放幾塊 2 從一個長 寬 高分別為21厘米 15厘米 12厘米的廠房體上面 盡可能大地切下一個正方體 然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個正方體 最后再從第二次剩余的部分盡可能大地切下一個正方體 剩下的體積是多少立方厘米 3 現(xiàn)有一張長40厘米 寬20厘米的長方形鐵皮 請你用它做一只深是5厘米的長方體無蓋鐵皮盒 焊接處及鐵皮厚度不計 容積越大越好 你做出的鐵皮盒容積是多少立方厘米