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第一章 斷裂力學(xué)的基本概念 1.1 斷裂力學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展 【產(chǎn)生】 傳統(tǒng)安全設(shè)計思想： （n、n>1） 低應(yīng)力破壞現(xiàn)象： 二戰(zhàn)時，美國建造2500只船，700只發(fā)生破壞，145只在非軍事行為下斷為兩截，美國—T2油輪斷裂，甲板應(yīng)力為70MPa，而甲板屈服強(qiáng)度300MPa。 新的衡量材料斷裂性能指標(biāo)出現(xiàn)，標(biāo)志著斷裂力學(xué)的產(chǎn)生。 【發(fā)展】 最早產(chǎn)生于1920年，Griffith（格里菲斯）提出： =常數(shù) -裂紋擴(kuò)展臨界應(yīng)力，a-裂紋半長度 該理論的局限性：成功的解釋了脆性材料開裂現(xiàn)象，但不能很好的解釋金屬材料。 1949年，Orowan（奧羅文）提出修正的格里菲斯公式： =常數(shù) -塑性變形功，E-彈性模量 該理論的局限性：難以測量，工程上難以應(yīng)用。 1957年，Irwin（伊爾文）提出應(yīng)力強(qiáng)度因子K的概念，奠定了線彈性斷裂力學(xué)的基礎(chǔ)。 【發(fā)展?fàn)顩r】 線彈性斷裂力學(xué)成熟，彈塑性斷裂力學(xué)不成熟。 【斷裂力學(xué)與材料力學(xué)的不同點(diǎn)】 材料力學(xué)研究完整的材料，斷裂力學(xué)研究帶裂紋的材料。 1） 靜荷載情況：材料力學(xué)用許用應(yīng)力設(shè)計構(gòu)件，斷裂力學(xué)用斷裂韌性設(shè)計構(gòu)件。 2） 循環(huán)荷載情況：材料力學(xué)用疲勞極限設(shè)計構(gòu)件，斷裂力學(xué)用疲勞壽命設(shè)計構(gòu)件。 1.2 裂紋的類型 Ⅰ型裂紋（張開型裂紋）：拉應(yīng)力垂直于裂紋擴(kuò)展面。 Ⅱ型裂紋（滑開型裂紋）：切應(yīng)力平行于裂紋面且垂直于裂紋前沿線。 Ⅲ型裂紋（撕開型裂紋）：切應(yīng)力平行于裂紋面，平行于裂紋前沿線。 1.3 Griffith裂口理論 理論假設(shè)： 1） 脆性材料存在微裂紋，裂紋尖端應(yīng)力集中大大降低了材料強(qiáng)度。 2） 對應(yīng)一定尺寸裂紋，有一臨界應(yīng)力值，當(dāng)外加應(yīng)力大小大于時，裂紋擴(kuò)展導(dǎo)致斷裂。 3） 裂紋擴(kuò)展條件是擴(kuò)展所需要的表面能由系統(tǒng)釋放的彈性應(yīng)變能提供。 [無裂紋時] 取相當(dāng)大的板，上下端施加均布載荷，穩(wěn)定后把兩端固定，構(gòu)成能量封閉體系。 應(yīng)變能： （1） [有裂紋時] 上述板上割開一穿透裂紋，裂紋表明無應(yīng)力，應(yīng)力被松弛，系統(tǒng)釋放能量。 應(yīng)變能改變量（釋放的能量）： （平面應(yīng)力）或（平面應(yīng)變） （2） ——泊松比 新增表面能： （3） ——單位面積表面能 對平面應(yīng)力問題，有裂紋情況下系統(tǒng)總能量： （4） 顯然U是a的函數(shù)。 對（4）求導(dǎo)，令其為零，可求U的極值。 臨界值 （5） 由于 所以 當(dāng)時，系統(tǒng)內(nèi)能U達(dá)極大值。 當(dāng)a<時，a↑，U↑，若無外界能量輸入，裂紋不擴(kuò)展。 當(dāng)a>時，a↑，U↓，裂紋將失穩(wěn)擴(kuò)展。 由（5）式可得： （平面應(yīng)力） （6） 對平面應(yīng)變問題 （平面應(yīng)變） （7） 注：以上公式（6）、（7）僅適用于脆性斷裂。 對金屬材料，Orowan 修正公式： （8） 其中： ——塑性變形功 由于>>，所以略去： （9） 1.4 復(fù)變函數(shù)基本知識 ﹡復(fù)數(shù) ，、為實(shí)數(shù) ， ﹡復(fù)變數(shù) ， 極坐標(biāo)中，，r---- 復(fù)數(shù)的模。 或 互為共軛復(fù)數(shù)。 *復(fù)變函數(shù) 為自變量 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)變函數(shù)的積分 *解析函數(shù) 若在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo)，稱是域D內(nèi)的解析函數(shù)。 解析函數(shù)性質(zhì)： ① 若是解析函數(shù)，則 ——拉普拉斯算子 即解析函數(shù)的實(shí)部和虛部是調(diào)和函數(shù)。 ② 解析函數(shù)存在下列關(guān)系 ③解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分仍為解析函數(shù)。 ④一個解析函數(shù)必然是雙調(diào)和函數(shù)，即 若，則。 其中： 所以解析函數(shù)的實(shí)部和虛部也是雙調(diào)和函數(shù)。 第二章 線彈性斷裂力學(xué)——應(yīng)力場強(qiáng)度因子斷裂理論 2.1 斷裂力學(xué)平面問題的求解 【基本方程】 平面應(yīng)力問題： （2-1） 平面應(yīng)變問題： （2-2） 若體積力X,Y與坐標(biāo)無關(guān)，則平面應(yīng)力，平面應(yīng)變問題歸為： （2-3） 由以上方程及邊界條件求,,，再由其他關(guān)系式求及。 【求解方法】 構(gòu)造Airy應(yīng)力函數(shù)，該函數(shù)滿足雙調(diào)和方程： (即 ) （2-4） 及邊界條件。 則應(yīng)力分量為： （2-5） 應(yīng)變分量為： （2-6） 其中： ，（平面應(yīng)力） （平面應(yīng)變） 2.2 應(yīng)力函數(shù) 1939年，提出應(yīng)力函數(shù)： —（具體形式的Airy應(yīng)力函數(shù)） 可證明： （2-7） （2-8） （2-9） （2-10） （2-11） 該方法實(shí)質(zhì)：只要找到滿足邊界條件的解析函數(shù)Z，即可求應(yīng)力，應(yīng)變，位移。 2.3 雙向拉伸的I型裂紋問題 Irwin 用Westergaard應(yīng)力函數(shù)求解I型裂紋問題。 已知：無限大板內(nèi)有長為2a中心穿透裂紋，板無限遠(yuǎn)處受雙向張應(yīng)力作用。 求：應(yīng)力場，位移場。 解： 邊界條件描述為： 由式（2-7），， 當(dāng)時，，，滿足條件③。 以下求裂紋附近處的應(yīng)力場和位移場： 則 當(dāng)時或時，分子中，分母中很小，可以忽略。 所以 （2-12） 由： ， （注：Zˊ可由對z求導(dǎo)并略去小量求得。） 代入（2-7）式，可得 （2-13） 表達(dá)式略 （2-14） 注： ① 以上解為近似解，忽略了r的高次項(xiàng)。 ② 當(dāng)r≤0.02a近似解與精確解的誤差小于1.5% 。 2.4單向拉伸條件下Ⅰ型裂紋尖端應(yīng)力場 邊界條件：① y=0，|x|a時， 且時，越大。 ③ y=0， 時，，。 采用修正的Westergaard應(yīng)力函數(shù)求解。 令函數(shù)（A為待定常數(shù)） 可以證明： 當(dāng)y=0時， （a） 由邊界條件② 、③，|x|>a時，對于則應(yīng)有 （與雙向拉伸相同） （b） 比較（a）、（b）則時， 所以 由 ，當(dāng)y=0時，將上式代入得： 由邊界條件③：當(dāng)y=0，時，，則應(yīng)有： 所以 。 最后可知，能滿足邊界條件的復(fù)變函數(shù)為： 采用相同方法可求得： （2-15） 2.5 應(yīng)力場強(qiáng)度因子及裂紋斷裂韌性 1．應(yīng)力強(qiáng)度因子 將I型裂紋尖端應(yīng)力場公式（2-13）改寫為： （2-16） 其中，——I型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子 或 （2-14）改寫為： （2-17） 綜合各種情況I型裂紋，應(yīng)力強(qiáng)度因子可表示為： （2-18） ——幾何形狀因子 注：①控制著裂紋尖端的應(yīng)力、應(yīng)變、位移。 ②（2-16），（2-17）式適用于所有純I型裂紋的應(yīng)力、位移表達(dá)。 2．?dāng)嗔秧g性 I型裂紋及延長線上應(yīng)力： 將代入(2-16)式，得： ， （） 為主應(yīng)力，且是引起裂紋擴(kuò)展的力。 討論：①當(dāng)增加時，增大； ②當(dāng)裂紋開始擴(kuò)展時，達(dá)到臨界值。 定義：為斷裂韌性； 為I型裂紋在平面應(yīng)變條件下的斷裂韌性； 為I型裂紋在平面應(yīng)力條件下的斷裂韌性。 斷裂判據(jù)： 或 （2-19） 注：①與裂紋長度，外加應(yīng)力有關(guān)，僅與材料有關(guān)； ②一般情況下常研究平面應(yīng)變下的及斷裂判據(jù)； ③對Ⅱ型，Ⅲ型裂紋，斷裂判據(jù)為： ， 。 2.6 I型裂紋尖端塑性區(qū)及的塑性修正 裂紋尖端應(yīng)力場表達(dá)式的局限性：趨于無窮大。 解決思路：若塑性區(qū)尺寸很小，對進(jìn)行修正。 解決辦法：采用或準(zhǔn)則，確定塑性區(qū)大小及形狀，對進(jìn)行修正。 1、I型裂紋尖端塑性區(qū) 準(zhǔn)則：在多向應(yīng)力條件下，材料中最大切應(yīng)力等于剪切強(qiáng)度時就發(fā)生屈服，即 或 （2-20） 準(zhǔn)則：當(dāng)多向應(yīng)力狀態(tài)的形狀改變能密度等于單向拉伸或壓縮屈服時的形狀改變能密度時，材料就發(fā)生屈服。即： （2-21） 對平面問題，裂紋尖端附近主應(yīng)力為： （平面應(yīng)力） （平面應(yīng)變） 將 表達(dá)式代入上式，可得： （2-22） [準(zhǔn)則確定的塑性區(qū)] 將（2-22）代入（2-21），可得： *對平面應(yīng)力情況： （2-23） 當(dāng)θ由變化時，可得塑性區(qū)形狀如圖。 當(dāng)θ=時塑性區(qū)寬度為 (2-24) 對于平面應(yīng)變情況 (2-25) (2-26) [準(zhǔn)則確定的塑性區(qū)] 塑性區(qū)形狀與準(zhǔn)則略有不同，但塑性區(qū)的寬度一致。 由于平面應(yīng)變問題，裂紋尖端處處于三向應(yīng)力狀態(tài)，變形受更大限制，所以塑性區(qū)相對平面應(yīng)力問題較小。 2、I型裂紋塑性區(qū)寬度的修正 裂紋延長線上（軸）應(yīng)力為： 裂紋前沿線上若發(fā)生塑性變形，由準(zhǔn)則： 對平面應(yīng)力情況，，即 對于平面應(yīng)變情況，，即 定義有效屈服應(yīng)力： （2-27） 塑性區(qū)寬度實(shí)際上是時的值。 若不考慮加工硬化（如理想彈塑性材料），應(yīng)力松弛使得裂紋延長線上的應(yīng)力由DBEF曲線代替ABC曲線。由兩曲線與軸圍成的面積相等，且假設(shè)BC和軸圍成面積與EF和軸圍成面積相等，可推出圖中陰影部分的面積等于圖中BEHG的面積。 即 可得 （2-28） 3、的塑性修正 [引起應(yīng)力松弛的方式] ①發(fā)生塑性變形 ②產(chǎn)生裂紋或裂紋擴(kuò)展 [有效裂紋長度] 當(dāng)不考慮塑性變形時且裂紋尺寸由a增加到所引起的應(yīng)力松弛，相當(dāng)于裂紋長度為a而考慮塑性變形引起的應(yīng)力松弛，則稱為有效裂紋長度。 [的計算] 當(dāng)不考慮塑性變形時，假設(shè)裂紋尖端有移到， A點(diǎn)處應(yīng)力為(純彈性)： 其中：為修正后的應(yīng)力強(qiáng)度因子。 由于A點(diǎn)處應(yīng)力（考慮塑性變形） 由，經(jīng)推導(dǎo)可得 (2-29) (2-30) 結(jié)論：①當(dāng)比值較大時，需要對進(jìn)行修正。如對平面應(yīng)變情況: =0.6~0.7時對進(jìn)行修正。 ②當(dāng)＞0.7時采取彈塑性斷裂力學(xué)方法分析。 2-7 Ⅱ型裂紋應(yīng)力場及應(yīng)力強(qiáng)度因子 邊界條件： ①y=0, |x|＜a, ②y=0, |x|＞a, ③y=0, |x|→, 取函數(shù) 可推出 —Ⅱ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子 或 第三章 線彈性斷裂力學(xué)——能量平衡斷裂理論 3-1 裂紋擴(kuò)展的能量（釋放）率 從能量角度研究裂紋擴(kuò)展，存在下列公式 （3-1） ——裂紋擴(kuò)展的阻力（裂紋擴(kuò)展單位面積所需的能量） ——裂紋擴(kuò)展單位面積所消耗的塑性變形功 ——裂紋擴(kuò)展單位面積所需的表面能 設(shè)G為裂紋擴(kuò)展單位面積系統(tǒng)提供能量，則裂紋擴(kuò)展條件為 G≥R （3-2） ——可稱為裂紋擴(kuò)展的能量(釋放)率，或稱裂紋擴(kuò)展力。 對型裂紋，斷裂判據(jù)為：==2+ ——稱為斷裂韌性。 [的物理意義] 若外力功增量為△W，應(yīng)變能變化量，由能量原理 則 （3-3） 若試樣厚度為，裂紋長度為a， 則 （3-4） [的兩種表達(dá)式] 1、恒負(fù)載條件下表達(dá)式 （3-5） 其中，稱為柔度，為裂紋長度a的函數(shù)。 *當(dāng)裂紋未擴(kuò)展時,由圖（a）: 應(yīng)變能 *當(dāng)裂紋在圖（a）的基礎(chǔ)上擴(kuò)展時,由圖（b） 應(yīng)變能 *裂紋擴(kuò)展前后,能量變化為 外力功 應(yīng)變能 (3-6) 而， ，可得： (3-7) 2、恒位移條件下表達(dá)式 由于外力功改變量, (3-8) 由于 可得 (3-9) 說明： ① 表達(dá)式為，恒負(fù)荷條件取正號，恒位移條件取負(fù)號。 ② 恒負(fù)荷與恒位移條件下，GⅠ均可表達(dá)為 ③ 恒負(fù)荷條件下，隨裂紋擴(kuò)展系統(tǒng)應(yīng)變能增加；恒位移條件下，隨裂紋擴(kuò)展系統(tǒng)應(yīng)變能減小。表征了系統(tǒng)應(yīng)變能對裂紋長度的變化率，常稱為裂紋擴(kuò)展的能量率。 3-2 和的關(guān)系 裂紋擴(kuò)展判據(jù)： 以恒位移條件為例： 1） 裂紋擴(kuò)展時釋放出來的應(yīng)變能在數(shù)值上應(yīng)等于外力將裂紋閉合到原來狀態(tài)所做的功。 2） 使裂紋重新閉合的力應(yīng)等到于使裂紋擴(kuò)展的力。 *當(dāng)裂紋尖端在處時， 在軸上 ，=0，則 *當(dāng)裂紋擴(kuò)展△a時，裂紋尖端在處，方向位移： 在裂紋面上, =則有： *閉合長度為△a的裂紋，力緩慢加載時外力功為： B—厚度 *對于恒定位移條件，應(yīng)變能的改變量為負(fù)值，由假設(shè)1）, 則 將，的表達(dá)式代入可得：，其中 由恒定位移條件下的表達(dá)式可得： 則 說明： 該公式適用于所有其他加載條件下的I型裂紋問題，但僅限于彈性斷裂問題。 該公式表明K判據(jù)和G判斷等效。 對Ⅱ、Ⅲ型裂紋G、K關(guān)系為：， 3.3 的力學(xué)標(biāo)定 思路:求關(guān)鍵→求之值 方法: ?確定不用裂紋長度的關(guān)系,求各不同裂紋長度試樣的柔度。 由， ，圖中各斜線斜率的倒數(shù)為不同裂紋長度下試件的柔度。 ?確定裂紋長度與柔度C的關(guān)系，求各裂紋長度下的。 ③的標(biāo)定 設(shè)：W---試樣寬度，B---試樣厚度， 由 ④由標(biāo)定曲線圖,可求出不同裂紋長度時的,若臨界應(yīng)力和臨界裂紋尺寸已知，可求出斷裂韌性。 第四章 彈性斷裂力學(xué)—復(fù)合型裂紋的脆性斷裂理論 4-1 概述 復(fù)合型裂紋：同時受到兩種或兩種以上類型裂紋應(yīng)力作用的裂紋。 復(fù)合型裂紋產(chǎn)生原因： ①載荷不對稱 ②裂紋方位不對稱（傾斜） ③裂紋方位不對稱（偏離） ④材料各向異性 復(fù)合型裂紋需解決的兩個問題： ①裂紋沿什么方向擴(kuò)展?——需確定開裂角 ②裂紋在什么條件下擴(kuò)展?——需確定臨界狀態(tài) 復(fù)合型裂紋脆性斷裂理論： ⑴最大周向應(yīng)力理論 ⑵能量釋放率理論 ⑶應(yīng)變能密度因子理論 4-2 最大周向應(yīng)力理論（準(zhǔn)則） 基本假設(shè)： ① 裂紋沿最大周向應(yīng)力方向開始擴(kuò)展； ② 裂紋的擴(kuò)展是由于最大周向應(yīng)力達(dá)到臨界值而產(chǎn)生的。 注：這里切應(yīng)力正負(fù)號規(guī)定與材料力學(xué)相反。 用極坐標(biāo)表示裂紋尖端應(yīng)力場為： （4-1） 對Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋（Ⅰ、Ⅱ型裂紋疊加）： （4-2） r=r0的微小圓周上各點(diǎn)周向應(yīng)力： 的極值條件為 即 令：時得 由于即無實(shí)際意義，所以開裂角由以下方程確定： （4-3） 求出后，可得到： （4-4） 斷裂準(zhǔn)則為： （4-5） 為最大周向應(yīng)力的臨界值。 [的確定] 對Ⅰ型裂紋：、 當(dāng)時裂紋擴(kuò)展，代入(4-4) (4-6) [Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂紋斷裂準(zhǔn)則] 將（4-4）、（4-6）代入（4-5），可得： （4-7） [與的關(guān)系] 對于純Ⅱ型裂紋： 由（4-3）得 ∴ ， 實(shí)驗(yàn)表明：對切應(yīng)力為正號的Ⅱ型裂紋，為負(fù)值，即。 當(dāng)裂紋擴(kuò)展時， 由（4-7）式，代入得到 即 （4-8） 例1 已知：一個受單向拉伸作用的無限大平板，板中含一個長度為2a穿透裂紋，裂紋與拉伸方向夾角為，材料斷裂韌性為。 求：裂紋開裂角和臨界應(yīng)力。 注：離裂紋尖端較遠(yuǎn)處可認(rèn)為應(yīng)力不受裂紋影響。 解：裂紋位置處“當(dāng)?shù)貞?yīng)力”為： 即 此問題為Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋問題。 將 代入開裂角的方程（4-3） 得： 由確定開裂角后代入（4-7），求得臨界應(yīng)力為： 4-3 能量釋放率理論（G準(zhǔn)則） 基本假設(shè)： ①裂紋沿能產(chǎn)生最大能量釋放率的方向擴(kuò)展； ②裂紋擴(kuò)展是由于最大能量釋放率達(dá)到臨界值而產(chǎn)生的。 以平面應(yīng)變情況下Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋為例： 假設(shè)=方向產(chǎn)生一長度為的支裂紋，對Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋，原裂紋沿本身平面擴(kuò)展時的能量釋放率為： =+=（+） （4-9） 支裂紋沿本身平面擴(kuò)展的能量釋放率為： =+=（+） （4-10） 其中：、為支裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子。 設(shè)局部坐標(biāo)系中（，）處應(yīng)力為，， 支裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子為：= （4-11） = 當(dāng)支裂紋尺寸0時，r，支裂紋尖端應(yīng)力場趨于擴(kuò)展開始前原裂紋尖端應(yīng)力場 （4-12） 此時支裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的起始值為： === = == （4-13） = 由（4-10）原裂紋沿（沿支裂紋）方向開始擴(kuò)展時瞬間的能量釋放率表示為： =（+） （4-14） 若為開裂角，由假設(shè)①，應(yīng)滿足 ==0 （*） 代入、表達(dá)式，可得的確定方程，但很復(fù)雜，可采用如下方法： 由（4-13）、（4-2）可得，在裂紋尖端處（） = = 代入（*）式得 =0 （a） 而由（4-2）看出 = （b） （b）代入(a) 可得 由=0得 =0 即 tan= (c) 將（c）、（4-13）代入（4-14），最后可得 = 比較=（+）= 顯然< 所以（c）式給定的不能使達(dá)最大值，舍去。 由 =0得 =0 由該式可確定。 同時由（b）式可知 =0 ，這與最大周向應(yīng)力理論相同，即在=方向上，達(dá)最大值，且=0。同時由（4-13）可知，=0，得： （見4-14式） （4-15） 由假設(shè)②，斷裂準(zhǔn)則為= （4-16） 為最大能量釋放率臨界值。 【的確定】 對型裂紋，當(dāng)裂紋擴(kuò)展時，= 代入（4-15）可得 由（4-16）可得 （4-17） 【斷裂準(zhǔn)則的表達(dá)式】 將（4-17）、（4-15）代入（4-16）可得： = 即 = （4-18） 注：對 Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋準(zhǔn)則與G準(zhǔn)則相同，但對其他復(fù)合型裂紋，兩者不同。 4-4 應(yīng)變能密度因子理論（S準(zhǔn)則） 基本假設(shè)： ①裂紋沿著應(yīng)變能密度因子最小的方向擴(kuò)展； ②裂紋的擴(kuò)展是由于最小應(yīng)變能密度因子達(dá)到材料相應(yīng)的臨界值而產(chǎn)生的。 應(yīng)變能密度：單位體積內(nèi)的應(yīng)變能（比能）。 對線彈性體 （4-19） 在平面應(yīng)變情況下，Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ復(fù)合型裂紋尖端應(yīng)力場為： （4-20） 將（4-20）帶入（4-19）得到 （4-21） 其中: a= a= a= a= 注：對平面應(yīng)力情況，用代替式中。 若令S=a11k+2akk+ak+ak （4-22） 則 =，S稱為應(yīng)變能密度因子。 由于r0時，主應(yīng)力分量無窮大，取裂紋尖端微小距離r=r0的圓上各點(diǎn)研究。 由假設(shè)（1）（2），開裂角可由，確定。 求得后代入（4-22），求的S。 斷裂準(zhǔn)則為：S=S=S （4-23） S為應(yīng)變能密度因子的臨界值。 [S的確定] 對純I型裂紋，K=0，K=0 S=a11K=K 裂紋擴(kuò)展時，=0，K=K，S=S 代入上式得 S= （4-24） [斷裂準(zhǔn)則表達(dá)式] 將（4-24）代入（4-23），得S=S= （4-25） [K、K、K間的關(guān)系] 對純II型裂紋，K=0，K=0 S=aK [(1-2)cos] 令，得， cos。 S 裂紋擴(kuò)展時，K，S 對純III型裂紋，K=0，=0 S=a= 當(dāng)裂紋擴(kuò)展時，，S= K2ⅢC K (4-27) 例2： 已知：薄壁容器，內(nèi)徑為D,壁厚t，鋼材斷裂韌性K，抗拉強(qiáng)度，容器壁上有一長度為2a=5mm的穿透裂縫，且與環(huán)向應(yīng)力方向成。求：按平面應(yīng)變問題確定容器臨界內(nèi)壓力。 解：由材料力學(xué)知： 環(huán)向應(yīng)力 軸向應(yīng)力 由材料力學(xué)公式: 這里，， 可求得裂紋位置處的“當(dāng)?shù)貞?yīng)力”為： 這是I-II復(fù)合型裂紋問題。 K K 將K，代入（4-22），得 S= 其中f 根據(jù)， 可求得 將代入S表達(dá)式，并根據(jù)斷裂準(zhǔn)則S。 即 而 ∴ 若不考慮裂紋影響，由第一強(qiáng)度理論（最大拉應(yīng)力理論），當(dāng)時壓力達(dá)到臨界值，即 可得 經(jīng)典強(qiáng)度理論與斷裂力學(xué)理論計算值相差275%。 4.5工程中應(yīng)用的復(fù)合型裂紋斷裂準(zhǔn)則 1.Ⅰ—Ⅱ復(fù)合型裂紋 工程準(zhǔn)則： 即 2.Ⅰ—Ⅲ復(fù)合型裂紋 實(shí)驗(yàn)證實(shí)：Ⅰ—Ⅲ復(fù)合型裂紋開裂角θ0 =0o，在此條件下，由S和G理論得到統(tǒng)一的斷裂準(zhǔn)則： 由S理論，；由G理論；代入斷裂準(zhǔn)則，可做下圖。 由圖可知，S準(zhǔn)則偏安全，工程準(zhǔn)則可采用下式： 即 3．Ⅰ—Ⅱ—Ⅲ復(fù)合型裂紋 工程準(zhǔn)則 將代入，得 總結(jié)：將上述幾種準(zhǔn)則寫成統(tǒng)一形式： —相當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度因子 Ⅰ—Ⅱ復(fù)合型裂紋： Ⅰ—Ⅲ復(fù)合型裂紋： Ⅰ—Ⅱ—Ⅲ復(fù)合型裂紋： 第五章：彈塑性斷裂力學(xué)——積分理論 5-1 J積分定義 J積分定義： 積分由Rice于1968年提出，是彈塑性斷裂力學(xué)的一個重要參量。 設(shè)有一單位厚度板，板中有一穿透裂紋。以I型裂紋為例，裂紋擴(kuò)展力（能量釋放率）： 設(shè)為系統(tǒng)比能，則應(yīng)變能： （板為單位厚度） 設(shè)為邊界上應(yīng)力矢量，為位移矢量。則微元ds弧上外力功為： 代入的表達(dá)式，可得（證明從略）： ——由裂紋下表面走向上表面的任一條路徑。 定義： 張量表示： （5-1） 其中：x、y用 u、v用 在x、y軸分量 注 ：對任何彈塑性體積分總是存在的。 5.2 J積分的守恒性 設(shè)為圍繞裂紋尖端的兩個不同回路。 ---ABC ---DEF 可以證明= 結(jié)論：積分?jǐn)?shù)值與積分路徑無關(guān)，積分具有守恒性。 積分守恒條件： （1）對彈塑性體，加載需單調(diào)連續(xù)加載，不允許卸載； （2）彈塑性體符合小變形、小應(yīng)變假設(shè)； （3）不考慮體積力。 5.3 J積分判據(jù) 【彈塑性Ⅰ型裂紋尖端應(yīng)力、應(yīng)變場】 彈性裂紋： 與為與有關(guān)的方程。 注：i=1，2，3；j=1,2,3. = , =, =, = ，= ，= ，同理。 對彈塑性裂紋： 其中：——材料屈服強(qiáng)度 n——硬化指數(shù) ，——與材料有關(guān)系數(shù) ，——與硬化指數(shù)n及有關(guān)的方程。 可見，彈塑性狀態(tài)下，裂紋尖端應(yīng)力、應(yīng)變場由積分唯一確定，當(dāng)裂紋開始擴(kuò)展時，積分達(dá)到臨界值。 【J積分判據(jù)】 對平面應(yīng)變問題，彈塑性狀態(tài)下斷裂依據(jù)為： = 為平面應(yīng)變條件下積分臨界值，也稱為斷裂韌性。 【積分與其它斷裂韌性參量間關(guān)系】 在線彈性條件下：= 比能： 平面應(yīng)變情況下，， 將型裂紋尖端應(yīng)力表達(dá)式代入 可得： 在如圖半徑為的路徑上積分： ( ) 而 將： 臨界狀態(tài)下： 結(jié)論：(1) 線彈性條件下，積分與間存在確定關(guān)系，積分判據(jù)與判斷依據(jù)等效（包括平面應(yīng)力、平面應(yīng)變情況）。 (2) 彈塑性狀態(tài)下，已失效，而積分仍然存在。 5.4 J積分的形變功率定義 積分的形變功率定義是： 其中：積分回路C為試樣的邊界曲線； B為試樣厚度； 為試樣邊界上應(yīng)力及位移的分量； U為試樣應(yīng)變能； ds為試樣邊界上的微弧元。 可以證明：在塑性力學(xué)全量理論中，J積分的形變功率定義與前面所講的J積分定義完全等價。 【應(yīng)用舉例】已知：一切口試樣，厚度為B，上端邊界為C2固定，下端邊界荷載為P，其余邊界自由，求：J積分具體表達(dá)式。 由 在自由邊界上，； 在固定邊界上，； ，上積分項(xiàng)為零。（邊界，對上述積分項(xiàng)無貢獻(xiàn)） 在活動邊界上，，(BL為加載面面積) ，加載點(diǎn)位移， 則 5.5 積分的物理意義 （1）在線彈性條件下 積分與能量釋放率等效。 （2）在非彈性條件下，取兩個具有相同材料和外形，裂紋尺寸相差的試樣進(jìn)行如下試驗(yàn)： *恒位移條件下 （此時5-5中的P可理解為A、B兩點(diǎn)的平均值） 而 由（5-5）得： *恒載荷條件下 由（5-5） 總結(jié)：①恒位移條件下表示兩試樣應(yīng)變能的差異， ， ②恒載荷情況下表示兩試樣余能的差異， ， ③J積分意義為：兩個具有相同外形、裂紋尺寸相近（相差）的試樣，在單調(diào)加載到相同位移或具有相同載荷時，其應(yīng)變能或余能的差率（除以裂紋面積之差）。 [J積分存在的問題] （1）J積分是二維概念，只能描述二維問題。 （2）J積分不便于用于復(fù)合型裂紋問題。 （3）J積分用于彈塑性體時不容許卸載。 5.6 測試原理 采用單試樣法 [試樣] 三點(diǎn)彎曲試樣 [原理及方法] 由極限分析得 則加載過程試樣吸收應(yīng)變能（形變功）為： 令 則 （*） 在恒位移條件下， ∴ 將（*）式代入，得 當(dāng)A為裂紋啟裂點(diǎn)時， 裂紋啟裂臨界狀態(tài)可用電阻法、電位法、聲發(fā)射法等方法確定。 第六章 疲勞斷裂 6.1疲勞斷裂現(xiàn)象 疲勞斷裂：構(gòu)件在遠(yuǎn)低于材料的強(qiáng)度極限或斷裂臨界應(yīng)力的變動應(yīng)力長期作用下出現(xiàn)的斷裂現(xiàn)象。 疲勞斷裂特征： （1） 疲勞斷裂是循環(huán)載荷作下的低應(yīng)力斷裂。斷裂前應(yīng)力循環(huán)的次數(shù)與應(yīng)力的大小有關(guān)。 （2） 疲勞斷裂常為脆性斷裂，宏觀上材料不發(fā)生明顯的塑性變形。 （3） 疲勞斷裂時突發(fā)性斷裂。 （4） 材料表面質(zhì)量對疲勞斷裂有重要影響。 循環(huán)應(yīng)力： =（+）——平均應(yīng)力 △=- ——應(yīng)力幅 r=/——循環(huán)特征（應(yīng)力比） 循環(huán)應(yīng)力類型： （1）對稱交變應(yīng)力 （2）脈功循環(huán)應(yīng)力 （3）波動應(yīng)力 （4）不對稱交變應(yīng)力 （5）隨機(jī)循環(huán)應(yīng)力 疲勞斷裂類型： （1）高周疲勞（應(yīng)力疲勞）：構(gòu)件發(fā)生的總應(yīng)變中，彈性應(yīng)變占主要比例，循環(huán)應(yīng)力值較小，斷裂前總循環(huán)次數(shù)較多。 （2）低周疲勞（應(yīng)變疲勞）：構(gòu)件發(fā)生的總應(yīng)變中，塑性應(yīng)變占主要比例，循環(huán)應(yīng)力值較高，斷裂前總循環(huán)次數(shù)較少。 工程中一般把失效因數(shù)N＜10次的疲勞問題列為低周疲勞范圍。 6.2 高周疲勞與低周疲勞 疲勞曲線：用旋轉(zhuǎn)彎曲疲勞試驗(yàn)方法測得。 疲勞曲線分兩類： a類：低碳鋼、低合金鋼、少數(shù)鋁合金。 b類：大多數(shù)金屬，如不銹鋼、高強(qiáng)度鋼等。 〔a類曲線〕 分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ段。 Ⅰ段：高循環(huán)應(yīng)力段，曲線斜率不大，循環(huán)次數(shù)較低，疲勞行為近似于單向拉伸。 Ⅱ段：循環(huán)應(yīng)力值相對較低，曲線斜率較大，呈疲勞過程特點(diǎn)。 Ⅲ段：低循環(huán)應(yīng)力段，曲線呈水平，水平線對應(yīng)的應(yīng)力稱疲勞極限，用表示（如對稱循環(huán)應(yīng)力記為）。 〔b類曲線〕 無水平階段，以N為或次對應(yīng)的應(yīng)力為條件疲勞極限為。 1、高周疲勞 a、b類曲線的Ⅱ、Ⅲ段為高周疲勞階段，對于對稱循環(huán)應(yīng)力，-N曲線的第Ⅱ階段，可利用basqin經(jīng)驗(yàn)方程： =（2） （6-1） 其中:表示 稱為疲勞強(qiáng)度系數(shù),，為單向拉伸對材料斷裂的真實(shí)應(yīng)力。 b為疲勞強(qiáng)度指數(shù)，介于-0.05～0.12之間。 在線彈性條件下，（6-1）式可寫成： （6-2） 為彈性應(yīng)變幅。 2、低周疲勞 a、b類曲線的Ⅰ段為低周疲勞階段。 此段由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分散性較大，改用—N曲線。 對于對稱循環(huán)應(yīng)力，—N曲線可用 Coffin—Manson方程表示： （6-3） 其中：為塑性應(yīng)變幅。 為疲勞塑性系數(shù)，，為材料單向拉伸斷裂時的真實(shí)應(yīng)變， c為疲勞塑性指數(shù)，介于－0.7～－0.5之間。 3、總結(jié) 將（6-2）、（6-3）改寫為 （6-4） （6-5） 將（6-2）、（6-3）合并得： （6-6） 若彈性應(yīng)變幅占主要地位，屬高周疲勞（應(yīng)力疲勞）； 若塑性應(yīng)變幅占主要地位，屬低周疲勞（應(yīng)變疲勞）； 若兩種應(yīng)變幅相差不大，屬混合疲勞。 6—3 疲勞裂紋的擴(kuò)展 1、疲勞裂紋擴(kuò)展分四個階段 （1） 裂紋成形階段：出現(xiàn)微裂紋。 （2） 微觀裂紋擴(kuò)展階段：裂紋擴(kuò)展由切應(yīng)力控制，擴(kuò)展方向開始與拉應(yīng)力成角，然后逐漸過渡到與應(yīng)力垂直方向，擴(kuò)展速率較低，每循環(huán)擴(kuò)展量級在mm量級。 （3） 宏觀裂紋擴(kuò)展階段：裂紋尺寸由0.05mm擴(kuò)展到臨界裂紋尺寸為止，每循環(huán)擴(kuò)展量級在mm量級。 （4） 失穩(wěn)擴(kuò)展階段（斷裂階段）：裂紋擴(kuò)展到臨界尺寸后迅速擴(kuò)展，直到斷裂。 微觀、宏觀裂紋擴(kuò)展稱為疲勞裂紋的亞臨界擴(kuò)展。 2、微觀裂紋擴(kuò)展階段模型 （1）塑性鈍化模型 （2）位移模型 3、宏觀裂紋擴(kuò)展階段模型 對塑性材料，采用G.C.Smith模型 6—4 疲勞裂紋擴(kuò)展速率 疲勞裂紋擴(kuò)展速率：每一次應(yīng)力循環(huán)裂紋擴(kuò)展的長度。 用擴(kuò)展速率表示方法： ()或 1. 疲勞裂紋擴(kuò)展的N-a曲線: 分析： （1） 隨裂紋長度的增加，裂紋擴(kuò)展速率增大，當(dāng)應(yīng)力循環(huán)次數(shù)達(dá)到,裂紋長度達(dá)到臨界尺寸，達(dá)到無限大，裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展而斷裂。 （2） 與循環(huán)應(yīng)力值大小有關(guān)。 2. 疲勞裂紋擴(kuò)展的門檻值及Paris公式 對Ⅰ型裂紋： 對于循環(huán)應(yīng)力： 通過N-a曲線，可確定與之間關(guān)系，進(jìn)而做出關(guān)系曲線。 曲線分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三段。 Ⅰ段：值段低， 值也較低。時，=0，裂紋不擴(kuò)展。為裂紋擴(kuò)展門檻值。實(shí)際測定時，常取平面應(yīng)變條件下=～所對應(yīng)的為。 注：①對不同材料，若較高，表明該材料阻止裂紋擴(kuò)展能力越強(qiáng)，抗疲勞性能越好。 ②與疲勞極限均可用于構(gòu)件無限壽命設(shè)計，但疲勞極限用于無裂紋光滑構(gòu)件，用于含裂紋構(gòu)件。 Ⅱ段：疲勞裂紋擴(kuò)展主要階段，可采用Paris公式，即 =c 或 （6-7） 其中：c與n是材料常數(shù)，n=2～7。 Donahue提出修正的Paris公式， 考慮了門檻值的影響。 Walker提出修正的Paris公式， =c[] n=4，m=0.5 考慮了平均應(yīng)力的影響。 Forman提出公式， = 考慮了趨于時裂紋加速擴(kuò)展效應(yīng)。 Ⅲ段：此時，接近，值較大，材料很快失穩(wěn)斷裂。 6-5 恒幅應(yīng)力循環(huán)疲勞裂紋擴(kuò)展壽命的估算 由Paris公式： 即 其中：為裂紋原始長度，為裂紋臨界尺寸。,為幾何形狀因子。若為常數(shù)，上式積分可得： 當(dāng)時, 當(dāng)時， 例：某壓力容器上有一長度為的周向穿透裂紋，容器每次升壓降壓時，材料臨界裂紋尺寸，由實(shí)驗(yàn)得到裂紋擴(kuò)展速率表達(dá)式。 求：容器剩余疲勞壽命與經(jīng)過5000次循環(huán)后裂紋尺寸。 解：容器壁板可看成帶有中心穿透裂紋的無限大板，應(yīng)力強(qiáng)度因子 由Paris公式： 剩余壽命 （次） 設(shè)經(jīng)5000次循環(huán)后裂半板長度為a，則： 此時裂紋長度為 6.6 累積損傷理論與變幅循環(huán)疲勞壽命 變幅應(yīng)力循環(huán)： 線性累積損傷：材料承受高于疲勞極限應(yīng)力時，每一次循環(huán)都會使材料產(chǎn)生一定量的疲勞損傷，當(dāng)損傷累積到臨界值便會發(fā)生疲勞斷裂。 Miner定理： *假設(shè)試件在交變應(yīng)力