《2016屆高三數(shù)學(xué)北師大版一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)達標(biāo)檢測：第9章 第5節(jié)橢圓.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2016屆高三數(shù)學(xué)北師大版一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)達標(biāo)檢測：第9章 第5節(jié)橢圓.doc（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第九章 第五節(jié)
一、選擇題
1．(2014長春模擬)橢圓x2＋4y2＝1的離心率為( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 先將x2＋4y2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1，
則a＝1，b＝，c＝＝.離心率e＝＝.
2．已知橢圓的一個焦點為F(0,1)，離心率e＝，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．＋y2＝1 B．x2＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[答案] D
[解析] 由已知，c＝1，∵e＝＝，
∴a＝2，∴b＝＝.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，故選D．
3．(文)(教材改編題)如果方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍為( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．(0,1]
[答案] A
[解析] 方程可化為＋＝1，焦點在y軸上，則有>2，即k<1，又k>0，∴0
>0，故選C．
4．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[答案] A
[解析] 依題意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝2a，∴c＝3，
∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴橢圓方程為＋＝1.
5．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為直線x＝上一點，△F2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 設(shè)直線x＝與x軸交于點M，則∠PF2M＝60，
在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F(xiàn)2M＝－c，
故cos60＝＝＝，
解得＝，故離心率e＝.
6．(2014全國大綱高考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[答案] A
[解析] 本題考查了橢圓的定義，離心率的計算，根據(jù)條件可知＝，且4a＝4，得a＝，所以c＝1，b2＝2，故C的方程為＋＝1.
二、填空題
7．若橢圓＋＝1的離心率為，則實數(shù)m＝________.
[答案] 或
[解析] e2＝＝1－，則1－＝或1－＝，解得m＝或m＝.
8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為________．
[答案] ＋＝1
[解析] 本題主要考查橢圓的定義及幾何性質(zhì)．
依題意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，
∴c＝2，∴b2＝8.
∴橢圓C的方程為＋＝1.
9．已知動點P(x，y)在橢圓＋＝1上，若A點坐標(biāo)為(3,0)，||＝1，且＝0，則||的最小值是________．
[答案]
[解析] ∵＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1.
∵橢圓右頂點到右焦點A的距離最小，
∴故||min＝2，∴||min＝.
三、解答題
10．已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率．
(1)求橢圓C2的方程；
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，點A，B分別在橢圓C1和C2上，＝2，求直線AB的方程．
[解析] 由已知可設(shè)橢圓C2的方程為＋＝1(a>2)，
其離心率為，故＝，則a＝4，
故橢圓C2的方程為＋＝1.
(2)設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為y＝kx.
將y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝，
由＝2，得x＝，y＝，
將x，y代入＋＝1中，得＝1，
即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝1.
故直線AB的方程為y＝x或y＝－x.
一、選擇題
1．已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為( )
A．3 B．2
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(0b>0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點)，則該橢圓的離心率是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 本題考查了橢圓離心率的求法．
根據(jù)＋＝1可得F1(－c,0)，P(－c，)，故OP與AB的斜率分別是kOP＝－，kAB＝－，根據(jù)OP∥AB得－＝－，即b＝C．
由于a2＝b2＋c2，即a2＝2c2，故e＝＝.
二、填空題
3．(2014安徽高考)若F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0b>0)的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點，F(xiàn)1B與y軸相交于點D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于________．
[答案]
[解析] 本題是橢圓綜合性質(zhì)的考查，∵AB⊥x軸，不妨設(shè)A(c，)，B(c，－)，又∵D是F1B與y軸的交點，可求得D(0，－)且為BF1的中點．
∵AD⊥F1B，∴△F1AB為等腰三角形，
∴|AF1|＝|AB|＝2，∴|AF1|＋|AF2|＝2＋＝3，由橢圓定義得3＝2a，
∴＝，∴＝，∴e＝.
(理)(2014江西高考)過點M(1,1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為________．
[答案]
[解析] 由題意可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則可得
①－②，并整理得＝－.(*)
∵M是線段AB的中點，且過點M(1,1)的直線斜率為－，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，k＝＝－.
∴(*)式可化為＝，
即a2＝2b2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，
即＝.∴e＝＝.
三、解答題
5．設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點(0,4)，離心率為.
(1)求C的方程；
(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標(biāo)．
[解析] (1)將(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，
又e＝＝得＝，
即1－＝，∴a＝5，∴C的方程為＋＝1.
(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)．
設(shè)直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，即x2－3x－8＝0，
∴AB的中點坐標(biāo)＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中點為(，－)．
6．(文)(2014天津高考)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B．已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，經(jīng)過點F2的直線l與該圓相切與點M，|MF2|＝2.求橢圓的方程．
[解析] (1)如圖所示，
由橢圓的幾何性質(zhì)
|AB|＝，而|AB|＝|F1F2|，
∴a2＋b2＝4c2＝3c2.
又b2＝a2－c2，∴2a2＝4c2，即e2＝，∴e＝.
(2)由(1)設(shè)橢圓方程＋＝1.
設(shè)P(x1，y1)，B(0，c)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，
∵P是異于頂點的點，∴x1≠0，y1≠0.
以PB為直徑的圓過F1，即PF1⊥BF1，
∴＝－1，∴y1＝－(x1＋c)．
設(shè)PB中點D(，)，即D為(，)．
由題意得|DF2|2＝|DM|2＋|MF2|2，
∵|DM|＝|DB|＝r，
∴|DF2|2＝(－c)2＋，|MF2|2＝8，
|DM|2＝＋(c＋)2，
即(－c)2＋＝8＋＋(c＋)2.
整理得cx1＝－4 ①
又P(x1，－(x1＋c))在橢圓上，
∴x＋2(x1＋c)2＝2c2整理得3x＋4cx1＝0 ②
∵x1≠0，∴，解之得c2＝3，
∴所求橢圓方程為＋＝1.
(理)(2014天津高考)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B．已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，經(jīng)過原點O的直線l與該圓相切，求直線l的斜率．
[解析] (1)設(shè)橢圓右焦點F2的坐標(biāo)為(c,0)，由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，又b2＝a2－c2，則＝.
所以，橢圓的離心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2，故橢圓方程為＋＝1.
設(shè)P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，
有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)
由已知，有＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0，
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0. ①
又因為點P在橢圓上，故
＋＝1 ②
由①和②可得3x＋4cx0＝0，而點P不是橢圓的頂點，故x0＝－c，代入①得y0＝，即點P的坐標(biāo)為(－，)．
設(shè)圓的圓心為T(x1，y1)，則
x1＝＝－c，y1＝＝c，
進而圓的半徑r＝＝C．
設(shè)直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為y＝kx，由l與圓相切，可得＝r，
即＝c，
整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4.
所以，直線l的斜率為4＋或4－.
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