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第13章 軸對稱（05） 　 一、選擇題 1．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．如圖，∠3=30，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時，必須保證∠1的度數(shù)為（　?。? A．30 B．45 C．60 D．75 3．如圖是經過軸對稱變換后所得的圖形，與原圖形相比（　?。? A．形狀沒有改變，大小沒有改變 B．形狀沒有改變，大小有改變 C．形狀有改變，大小沒有改變 D．形狀有改變，大小有改變 4．正方形的對稱軸的條數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 5．正三角形△ABC的邊長為3，依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1的面積是（　　） A． B． C． D． 6．在Rt△ABC中，∠C=90，AB=10．若以點C為圓心，CB為半徑的圓恰好經過AB的中點D，則AC=（　?。? A．5 B． C． D．6 7．觀察下列圖形，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 8．剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術，下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的為（　?。? A． B． C． D． 9．以下圖形中對稱軸的數(shù)量小于3的是（　?。? A． B． C． D． 10．下列圖案中，軸對稱圖形是（　?。? A． B． C． D． 11．下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 12．在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 13．下列圖案是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 14．如圖，直角坐標系中的五角星關于y軸對稱的圖形在（　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉動這個四邊形，使它形狀改變，當∠B=90時，如圖1，測得AC=2，當∠B=60時，如圖2，AC=（　?。? A． B．2 C． D．2 16．P是∠AOB內一點，分別作點P關于直線OA、OB的對稱點P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結論正確的是（　?。? A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP2 17．如圖，點P是∠AOB外的一點，點M，N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，則線段QR的長為（　?。? A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm 18．已知AD∥BC，AB⊥AD，點E，點F分別在射線AD，射線BC上．若點E與點B關于AC對稱，點E與點F關于BD對稱，AC與BD相交于點G，則（　?。? A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF C．∠AEB+22=∠DEF D．4cos∠AGB= 　 二、填空題 19．由于木質衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時，∠AOB=60，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是　 　cm． 20．如圖，有一個英語單詞，四個字母都關于直線l對稱，請在試卷上補全字母，在答題卡上寫出這個單詞所指的物品　 ?。? 21．請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按所選做的第一題計分． A．一個正五邊形的對稱軸共有　 　條． B．用科學計算器計算： +3tan56≈　 （結果精確到0.01） 22．如圖，△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊三角形GEF，則△ABH與△GEF重疊（陰影）部分的面積為　 ?。? 23．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　 　度． 24．如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是　 ?。? 25．如圖，點B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，以OB1為一邊，構造等邊△OB1A1（點O，B1，A1按逆時針方向排列），稱為第一次構造；點B2是△OB1A1的兩條中線的交點，再以OB2為一邊，構造等邊△OB2A2（點O，B2，A2按逆時針方向排列），稱為第二次構造；以此類推，當?shù)趎次構造出的等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合時，構造停止．則構造出的最后一個三角形的面積是　 ?。? 26．已知等邊三角形ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊三角形AB1C1，再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個等邊三角形AB2C2，再以等邊三角形AB2C2的邊B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊AB3C3；…，如此下去，這樣得到的第n個等邊三角形ABnCn的面積為　 ?。? 27．如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，點B（0，），點A在第一象限且AB⊥BO，點E是線段AO的中點，點M在線段AB上．若點B和點E關于直線OM對稱，則點M的坐標是（　 　，　 ?。? 28．已知等邊三角形ABC的高為4，在這個三角形所在的平面內有一點P，若點P到AB的距離是1，點P到AC的距離是2，則點P到BC的最小距離和最大距離分別是　 ?。? 　 三、解答題（共2小題） 29．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F． （1）求∠F的度數(shù)； （2）若CD=2，求DF的長． 30．如圖，O為△ABC內部一點，OB=3，P、R為O分別以直線AB、直線BC為對稱軸的對稱點． （1）請指出當∠ABC在什么角度時，會使得PR的長度等于7？并完整說明PR的長度為何在此時會等于7的理由． （2）承（1）小題，請判斷當∠ABC不是你指出的角度時，PR的長度是小于7還是會大于7？并完整說明你判斷的理由． 　 第13章 軸對稱 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，故A符合題意； B、不是軸對稱圖形，故B不符合題意； C、不是軸對稱圖形，故C不符合題意； D、不是軸對稱圖形，故D不符合題意． 故選：A． 【點評】本題主要考查軸對稱圖形的知識點．確定軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 　 2．如圖，∠3=30，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時，必須保證∠1的度數(shù)為（　?。? A．30 B．45 C．60 D．75 【考點】生活中的軸對稱現(xiàn)象；平行線的性質． 【專題】壓軸題． 【分析】要使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，則∠2=60，根據(jù)∠1、∠2對稱，則能求出∠1的度數(shù)． 【解答】解：要使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中， ∠2+∠3=90， ∵∠3=30， ∴∠2=60， ∴∠1=60． 故選：C． 【點評】本題是考查圖形的對稱、旋轉、分割以及分類的數(shù)學思想． 　 3．如圖是經過軸對稱變換后所得的圖形，與原圖形相比（　?。? A．形狀沒有改變，大小沒有改變 B．形狀沒有改變，大小有改變 C．形狀有改變，大小沒有改變 D．形狀有改變，大小有改變 【考點】軸對稱的性質． 【分析】根據(jù)軸對稱不改變圖形的形狀與大小解答． 【解答】解：∵軸對稱變換不改變圖形的形狀與大小， ∴與原圖形相比，形狀沒有改變，大小沒有改變． 故選：A． 【點評】本題考慮軸對稱的性質，是基礎題，熟記軸對稱變換不改變圖形的形狀與大小是解題的關鍵． 　 4．正方形的對稱軸的條數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】軸對稱的性質． 【分析】根據(jù)正方形的對稱性解答． 【解答】解：正方形有4條對稱軸． 故選：D． 【點評】本題考查了軸對稱的性質，熟記正方形的對稱性是解題的關鍵． 　 5．正三角形△ABC的邊長為3，依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1的面積是（　?。? A． B． C． D． 【考點】等邊三角形的判定與性質． 【專題】壓軸題． 【分析】依題意畫出圖形，過點A1作A1D∥BC，交AC于點D，構造出邊長為1的小正三角形△AA1D；由AC1=2，AD=1，得點D為AC1中點，因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D=；同理求出S△CC1B1=S△BB1A1=；最后由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得結果． 【解答】解：依題意畫出圖形，如下圖所示： 過點A1作A1D∥BC，交AC于點D，易知△AA1D是邊長為1的等邊三角形． 又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2，AD=1， ∴點D為AC1的中點， ∴S△AA1C1=2S△AA1D=212=； 同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1=， ∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1=32﹣3=． 故選B． 【點評】本題考查等邊三角形的判定與性質，難度不大．本題入口較寬，解題方法多種多樣，同學們可以嘗試不同的解題方法． 　 6．在Rt△ABC中，∠C=90，AB=10．若以點C為圓心，CB為半徑的圓恰好經過AB的中點D，則AC=（　?。? A．5 B． C． D．6 【考點】等邊三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】連結CD，直角三角形斜邊上的中線性質得到CD=DA=DB，利用半徑相等得到CD=CB=DB，可判斷△CDB為等邊三角形，則∠B=60，所以∠A=30，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系先計算出BC，再計算AC． 【解答】解：連結CD，如圖， ∵∠C=90，D為AB的中點， ∴CD=DA=DB， 而CD=CB， ∴CD=CB=DB， ∴△CDB為等邊三角形， ∴∠B=60， ∴∠A=30， ∴BC=AB=10=5， ∴AC=BC=5． 故選C． 【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質：三邊都相等的三角形為等邊三角形；等邊三角形的三個內角都等于60．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質以及含30度的直角三角形三邊的關系． 　 7．觀察下列圖形，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項正確； B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤． 故選A． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 　 8．剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術，下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的為（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形， B、不是軸對稱圖形， C、不是軸對稱圖形， D、是軸對稱圖形， 故選：D． 【點評】本題考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形的判斷方法：把某個圖象沿某條直線折疊，如果圖形的兩部分能夠重合，那么這個是軸對稱圖形． 　 9．以下圖形中對稱軸的數(shù)量小于3的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)對稱軸的概念求解． 【解答】解：A、有4條對稱軸； B、有6條對稱軸； C、有4條對稱軸； D、有2條對稱軸． 故選D． 【點評】本題考查了軸對稱圖形，解答本題的關鍵是掌握對稱軸的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸． 　 10．下列圖案中，軸對稱圖形是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各圖形分析判斷后即可求解． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤； B、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤； C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤； D、是軸對稱圖形，故此選項正確； 故選；D． 【點評】本題考查了軸對稱圖形，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸． 　 11．下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D、是軸對稱圖形，故本選項正確． 故選D． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 　 12．在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項正確； B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤． 故選A． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 　 13．下列圖案是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對個圖形分析判斷即可得解． 【解答】解：A、是軸對稱圖形， B、不是軸對稱圖形， C、不是軸對稱圖形， D、不是軸對稱圖形， 故選：A． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 　 14．如圖，直角坐標系中的五角星關于y軸對稱的圖形在（　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考點】軸對稱的性質． 【分析】根據(jù)軸對稱的性質作出選擇． 【解答】解：如圖所示，直角坐標系中的五角星關于y軸對稱的圖形在第一象限． 故選：A． 【點評】本題考查了軸對稱的性質．此題難度不大，采用了“數(shù)形結合”的數(shù)學思想． 　 15．將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉動這個四邊形，使它形狀改變，當∠B=90時，如圖1，測得AC=2，當∠B=60時，如圖2，AC=（　?。? A． B．2 C． D．2 【考點】等邊三角形的判定與性質；勾股定理的應用；正方形的性質． 【分析】圖1中根據(jù)勾股定理即可求得正方形的邊長，圖2根據(jù)有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形即可求得． 【解答】解：如圖1， ∵AB=BC=CD=DA，∠B=90， ∴四邊形ABCD是正方形， 連接AC，則AB2+BC2=AC2， ∴AB=BC===， 如圖2，∠B=60，連接AC， ∴△ABC為等邊三角形， ∴AC=AB=BC=． 【點評】本題考查了正方形的性質，勾股定理以及等邊三角形的判定和性質，利用勾股定理得出正方形的邊長是關鍵． 　 16．P是∠AOB內一點，分別作點P關于直線OA、OB的對稱點P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結論正確的是（　?。? A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP2 【考點】軸對稱的性質． 【專題】壓軸題． 【分析】作出圖形，根據(jù)軸對稱的性質求出OP1、OP2的數(shù)量與夾角即可得解． 【解答】解：如圖，∵點P關于直線OA、OB的對稱點P1、P2， ∴OP1=OP2=OP， ∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2， ∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2， =2（∠AOP+∠BOP）， =2∠AOB， ∵∠AOB度數(shù)任意， ∴OP1⊥OP2不一定成立． 故選：B． 【點評】本題考查了軸對稱的性質，是基礎題，熟練掌握性質是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀． 　 17．如圖，點P是∠AOB外的一點，點M，N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，則線段QR的長為（　?。? A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm 【考點】軸對稱的性質． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】利用軸對稱圖形的性質得出PM=MQ，PN=NR，進而利用MN=4cm，得出NQ的長，即可得出QR的長． 【解答】解：∵點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于OB的對稱點R落在MN的延長線上， ∴PM=MQ，PN=NR， ∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm， ∴RN=3cm，MQ=2.5cm， 即NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5（cm）， 則線段QR的長為：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）． 故選：A． 【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的性質，得出PM=MQ，PN=NR是解題關鍵． 　 18．已知AD∥BC，AB⊥AD，點E，點F分別在射線AD，射線BC上．若點E與點B關于AC對稱，點E與點F關于BD對稱，AC與BD相交于點G，則（　?。? A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF C．∠AEB+22=∠DEF D．4cos∠AGB= 【考點】軸對稱的性質；解直角三角形． 【專題】幾何圖形問題；壓軸題． 【分析】連接CE，設EF與BD相交于點O，根據(jù)軸對稱性可得AB=AE，并設為1，利用勾股定理列式求出BE，再根據(jù)翻折的性質可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后對各選項分析判斷利用排除法求解． 【解答】解：如圖，連接CE，設EF與BD相交于點O， 由軸對稱性得，AB=AE，設為1， 則BE==， ∵點E與點F關于BD對稱， ∴DE=BF=BE=， ∴AD=1+， ∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE， ∴四邊形ABCE是正方形， ∴BC=AB=1， 1+tan∠ADB=1+=1+﹣1=，故A正確； CF=BF﹣BC=﹣1， ∴2BC=21=2， 5CF=5（﹣1）， ∴2BC≠5CF，故B錯誤； ∠AEB+22=45+22=67， ∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45， ∴∠BFE==67.5， ∴∠DEF=∠BFE=67.5，故C錯誤； 由勾股定理得，OE2=BE2﹣BO2=（）2﹣（）2=， ∴OE=， ∵∠EBG+∠AGB=90， ∠EBG+∠BEF=90， ∴∠AGB=∠BEF， 又∵∠BEF=∠DEF ∴cos∠AGB===，4cos∠AGB=2，故D錯誤． 故選：A． 【點評】本題考查了軸對稱的性質，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質，正方形的判定與性質，熟記性質是解題的關鍵，設出邊長為1可使求解過程更容易理解． 　 二、填空題 19．由于木質衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時，∠AOB=60，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是　18　cm． 【考點】等邊三角形的判定與性質． 【專題】應用題． 【分析】根據(jù)有一個角是60的等腰三角形的等邊三角形進行解答即可． 【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60， ∴△AOB是等邊三角形， ∴AB=OA=OB=18cm， 故答案為：18 【點評】此題考查等邊三角形問題，關鍵是根據(jù)有一個角是60的等腰三角形的等邊三角形進行分析． 　 20．如圖，有一個英語單詞，四個字母都關于直線l對稱，請在試卷上補全字母，在答題卡上寫出這個單詞所指的物品　書?。? 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質，組成圖形，即可解答． 【解答】解：如圖， 這個單詞所指的物品是書． 故答案為：書． 【點評】本題考查了軸對稱圖形，解決本題的關鍵是根據(jù)軸對稱的性質，作出圖形． 　 21．請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按所選做的第一題計分． A．一個正五邊形的對稱軸共有　5　條． B．用科學計算器計算： +3tan56≈　10.02?。ńY果精確到0.01） 【考點】軸對稱的性質；計算器—數(shù)的開方；計算器—三角函數(shù)． 【專題】常規(guī)題型；計算題． 【分析】A．過正五邊形的五個頂點作對邊的垂線，可得對稱軸． B．先用計算器求出、tan56的值，再計算加減運算． 【解答】解：（A）如圖， 正五邊形的對稱軸共有5條． 故答案為：5． （B）≈5.5678，tan56≈1.4826， 則+3tan56≈5.5678+31.4826≈10.02 故答案是：10.02． 【點評】A題考查了軸對稱的性質，熟記正五邊形的對稱性是解題的關鍵．B題考查了計算器的使用，要注意此題是精確到0.01． 　 22．如圖，△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊三角形GEF，則△ABH與△GEF重疊（陰影）部分的面積為　?。? 【考點】等邊三角形的判定與性質；三角形的重心；三角形中位線定理． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質，可得AD的長，∠ABG=∠HBD=30，根據(jù)等邊三角形的判定，可得△MEH的形狀，根據(jù)直角三角形的判定，可得△FIN的形狀，根據(jù)面積的和差，可得答案． 【解答】解：如圖所示： ， 由△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點H，BC=4，得 AD=BE=BC=6，∠ABG=∠HBD=30． 由直角三角的性質，得∠BHD=90﹣∠HBD=60． 由對頂角相等，得∠MHE=∠BHD=60 由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4． 由GE為邊作等邊三角形GEF，得 FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60， △MHE是等邊三角形； S△ABC=AC?BE=ACEH3 EH=BE=6=2． 由三角形外角的性質，得∠BIG=∠FGE﹣∠IBG=60﹣30=30， 由∠IBG=∠BIG=30，得IG=BG=2， 由線段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2， 由對頂角相等，得∠FIN=∠BIG=30， 由∠FIN+∠F=90，得∠FNI=90， 由銳角三角函數(shù)，得FN=1，IN=． S五邊形NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣S△FIN =42﹣22﹣1=， 故答案為：． 【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質，利用了等邊三角形的判定與性質，直角三角形的判定，利用圖形的割補法是求面積的關鍵． 　 23．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　15　度． 【考點】等邊三角形的性質；三角形的外角性質；等腰三角形的性質． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據(jù)等邊三角形三個角相等，可知∠ACB=60，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ACB=60，∠ACD=120， ∵CG=CD， ∴∠CDG=30，∠FDE=150， ∵DF=DE， ∴∠E=15． 故答案為：15． 【點評】本題考查了等邊三角形的性質，互補兩角和為180以及等腰三角形的性質，難度適中． 　 24．如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是　400　． 【考點】等邊三角形的判定與性質；平移的性質． 【專題】規(guī)律型． 【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形，又觀察圖可得，第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個，據(jù)此求出第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)． 【解答】解：如圖① ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=AC， ∵A′B′∥AB，BB′=B′C=BC， ∴B′O=AB，CO=AC， ∴△B′OC是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形． 又觀察圖可得，第1個圖形中大等邊三角形有2個，小等邊三角形有2個， 第2個圖形中大等邊三角形有4個，小等邊三角形有4個， 第3個圖形中大等邊三角形有6個，小等邊三角形有6個，… 依次可得第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個． 故第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是：2100+2100=400． 故答案為：400． 【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質及平移的性質，解題的關鍵是據(jù)圖找出規(guī)律． 　 25．如圖，點B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，以OB1為一邊，構造等邊△OB1A1（點O，B1，A1按逆時針方向排列），稱為第一次構造；點B2是△OB1A1的兩條中線的交點，再以OB2為一邊，構造等邊△OB2A2（點O，B2，A2按逆時針方向排列），稱為第二次構造；以此類推，當?shù)趎次構造出的等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合時，構造停止．則構造出的最后一個三角形的面積是　?。? 【考點】等邊三角形的性質． 【專題】壓軸題；規(guī)律型． 【分析】由于點B1是△OBA兩條中線的交點，則點B1是△OBA的重心，而△OBA是等邊三角形，所以點B1也是△OBA的內心，∠BOB1=30，∠A1OB=90，由于每構造一次三角形，OBi 邊與OB邊的夾角增加30，所以還需要（360﹣90）30=9，即一共1+9=10次構造后等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合；又因為任意兩個等邊三角形都相似，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，由△OB1A1與△OBA的面積比為，求得構造出的最后一個三角形的面積． 【解答】方法一： 解：∵點B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點， ∴點B1是△OBA的重心，也是內心， ∴∠BOB1=30， ∵△OB1A1是等邊三角形， ∴∠A1OB=60+30=90， ∵每構造一次三角形，OBi 邊與OB邊的夾角增加30， ∴還需要（360﹣90）30=9，即一共1+9=10次構造后等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合， ∴構造出的最后一個三角形為等邊△OB10A10． 如圖，過點B1作B1M⊥OB于點M， ∵cos∠B1OM=cos30==， ∴===，即=， ∴=（）2=，即S△OB1A1=S△OBA=， 同理，可得=（）2=，即S△OB2A2=S△OB1A1=（）2=， …， ∴S△OB10A10=S△OB9A9=（）10=，即構造出的最后一個三角形的面積是． 故答案為． 方法二： ∵∠AOA1=30，∠A1OA2=30，∠AOB=60， ∴每構造一次增加30， ∴n==10， ∵△OBA∽△OB1A1， ∴?， ∵S△OBA=1， ∴S△OB1A1=，q=， ∴S△OB10A10=． 【點評】本題考查了等邊三角形的性質，三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定與性質等知識，有一定難度．根據(jù)條件判斷構造出的最后一個三角形為等邊△OB10A10及利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，得出△OB1A1與△OBA的面積比為，進而總結出規(guī)律是解題的關鍵． 　 26．已知等邊三角形ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊三角形AB1C1，再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個等邊三角形AB2C2，再以等邊三角形AB2C2的邊B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊AB3C3；…，如此下去，這樣得到的第n個等邊三角形ABnCn的面積為?。ǎ﹏?。? 【考點】等邊三角形的性質． 【專題】壓軸題；規(guī)律型． 【分析】由AB1為邊長為2的等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B1為BC的中點，求出BB1的長，利用勾股定理求出AB1的長，進而求出第一個等邊三角形AB1C1的面積，同理求出第二個等邊三角形AB2C2的面積，依此類推，得到第n個等邊三角形ABnCn的面積． 【解答】解：∵等邊三角形ABC的邊長為2，AB1⊥BC， ∴BB1=1，AB=2， 根據(jù)勾股定理得：AB1=， ∴第一個等邊三角形AB1C1的面積為（）2=（）1； ∵等邊三角形AB1C1的邊長為，AB2⊥B1C1， ∴B1B2=，AB1=， 根據(jù)勾股定理得：AB2=， ∴第二個等邊三角形AB2C2的面積為（）2=（）2； 依此類推，第n個等邊三角形ABnCn的面積為（）n． 故答案為：（）n． 【點評】此題考查了等邊三角形的性質，屬于規(guī)律型試題，熟練掌握等邊三角形的性質是解本題的關鍵． 　 27．如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，點B（0，），點A在第一象限且AB⊥BO，點E是線段AO的中點，點M在線段AB上．若點B和點E關于直線OM對稱，則點M的坐標是（　1　，　?。? 【考點】軸對稱的性質；坐標與圖形性質；解直角三角形． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)點B的坐標求出OB的長，再連接ME，根據(jù)軸對稱的性質可得OB=OE，再求出AO的長度，然后利用勾股定理列式求出AB的長，利用∠A的余弦值列式求出AM的長度，再求出BM的長，然后寫出點M的坐標即可． 【解答】解：∵點B（0，）， ∴OB=， 連接ME， ∵點B和點E關于直線OM對稱， ∴OB=OE=， ∵點E是線段AO的中點， ∴AO=2OE=2， 根據(jù)勾股定理，AB===3， cosA==， 即=， 解得AM=2， ∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1， ∴點M的坐標是（1，）． 故答案為：（1，）． 【點評】本題考查了軸對稱的性質，坐標與圖形性質，解直角三角形，熟練掌握軸對稱的性質并作出輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵． 　 28．已知等邊三角形ABC的高為4，在這個三角形所在的平面內有一點P，若點P到AB的距離是1，點P到AC的距離是2，則點P到BC的最小距離和最大距離分別是　1，7?。? 【考點】等邊三角形的性質；平行線之間的距離． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】根據(jù)題意畫出相應的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2，當P與N重合時，HN為P到BC的最小距離；當P與M重合時，MQ為P到BC的最大距離，根據(jù)題意得到△NFG與△MDE都為等邊三角形，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出DB與FB的長，以及CG與CE的長，進而由DB+BC+CE求出DE的長，由BC﹣BF﹣CG求出FG的長，求出等邊三角形NFG與等邊三角形MDE的高，即可確定出點P到BC的最小距離和最大距離． 【解答】解：根據(jù)題意畫出相應的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2， 當P與N重合時，HN為P到BC的最小距離；當P與M重合時，MQ為P到BC的最大距離， 根據(jù)題意得到△NFG與△MDE都為等邊三角形， ∴DB=FB==，CE=CG==， ∴DE=DB+BC+CE=++=，F(xiàn)G=BC﹣BF﹣CG=， ∴NH=FG=1，MQ=DE=7， 則點P到BC的最小距離和最大距離分別是1，7． 故答案為：1，7． 【點評】此題考查了等邊三角形的性質，以及平行線間的距離，作出相應的圖形是解本題的關鍵． 　 三、解答題 29．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F． （1）求∠F的度數(shù)； （2）若CD=2，求DF的長． 【考點】等邊三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質可得∠EDC=∠B=60，根據(jù)三角形內角和定理即可求解； （2）易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B=60， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90， ∴∠F=90﹣∠EDC=30； （2）∵∠ACB=60，∠EDC=60， ∴△EDC是等邊三角形． ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90，∠F=30， ∴DF=2DE=4． 【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質，以及直角三角形的性質，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半． 　 30．如圖，O為△ABC內部一點，OB=3，P、R為O分別以直線AB、直線BC為對稱軸的對稱點． （1）請指出當∠ABC在什么角度時，會使得PR的長度等于7？并完整說明PR的長度為何在此時會等于7的理由． （2）承（1）小題，請判斷當∠ABC不是你指出的角度時，PR的長度是小于7還是會大于7？并完整說明你判斷的理由． 【考點】軸對稱的性質；三角形三邊關系． 【分析】（1）連接PB、RB，根據(jù)軸對稱的性質可得PB=OB，RB=OB，然后判斷出點P、B、R三點共線時PR=7，再根據(jù)平角的定義求解； （2）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊解答． 【解答】解：（1）如圖，∠ABC=90時，PR=7． 證明如下：連接PB、RB， ∵P、R為O分別以直線AB、直線BC為對稱軸的對稱點， ∴PB=OB=3，RB=OB=3， ∵∠ABC=90， ∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90， ∴點P、B、R三點共線， ∴PR=23=7； （2）PR的長度是小于7， 理由如下：∠ABC≠90， 則點P、B、R三點不在同一直線上， ∴PB+BR＞PR， ∵PB+BR=2OB=23=7， ∴PR＜7． 【點評】本題考查了軸對稱的性質，三角形的任意兩邊之和大于第三邊的性質，熟記各性質是解題的關鍵．