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第八章 第五節(jié)
一、選擇題
1．(文)(2014廣東文)若實數(shù)k滿足0
0)的右焦點，O為坐標原點，設P是雙曲線C上一點，則∠POF的大小不可能是( )
A．15 B．25
C．60 D．165
[答案] C
[解析] 雙曲線的漸近線方程為＝0，兩漸近線的斜率k＝＝，漸近線的傾斜角分別為30，150，所以∠POF的大小不可能是60.
(理)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線的方程為( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[答案] A
[解析] 由漸近線方程為y＝x知，＝，
∴a＝b，①
又頂點到漸近線距離為1，
∴＝1，②
由①②得，a＝2，b＝，∴選A．
3．(文)(2013保定調研)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝x，它的一個焦點在拋物線y2＝48x的準線上．則雙曲線的方程為( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[答案] B
[解析] 由題意可知解得
所以選B．
(理)(2014甘肅蘭州、張掖診斷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3,4)，則此雙曲線的方程為( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[答案] C
[解析] 因為以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3,4)，所以c＝5，＝，又c2＝a2＋b2，所以a＝3，b＝4，所以以此雙曲線的方程為－＝1.
4．(2014山東煙臺一模)雙曲線C1的中心在原點，焦點在x軸上，若C1的一個焦點與拋物線C2：y2＝12x的焦點重合，且拋物線C2的準線交雙曲線C1所得的弦長為4，則雙曲線C1的實軸長為( )
A．6 B．2
C． D．2
[答案] D
[解析] 設雙曲線C1的方程為－＝1(a>0，b>0)．
由已知，拋物線C2的焦點為(3,0)，準線方程為x＝－3，即雙曲線中c＝3，a2＋b2＝9，又拋物線C2的準線過雙曲線的焦點，且交雙曲線C1所得的弦長為4，所以＝2，與a2＋b2＝9聯(lián)立，得a2＋2a－9＝0，解得a＝，故雙曲線C1的實軸長為2，故選D．
5．(2013廣東六校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的頂點A(－5,0)和C(5,0)，若頂點B在雙曲線－＝1上，則為( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 設△ABC中角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，
由正弦定理得＝，
由雙曲線的標準方程和定義可知，A、C是雙曲線的焦點，且|AC|＝10，||BC|－|AB||＝8.
所以＝，故選C．
6．(文)(2014江西贛州四校聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點為F1，左、右頂點分別為A1，A2，P為雙曲線上任意一點，則分別以線段PF1，A1A2為直徑的兩個圓的位置關系為( )
A．相交 B．相切
C．相離 D．以上情況都有可能
[答案] B
[解析] 設以線段PF1，A1A2為直徑的兩圓的半徑分別為r1，r2，若P在雙曲線左支上，如圖所示，則|O2O|＝|PF2|＝(|PF1|＋2a)＝|PF1|＋a＝r1＋r2，即圓心距為兩圓半徑之和，兩圓外切．若P在雙曲線右支上，同理求得|OO1|＝r1－r2，故此時兩圓內切．綜上，兩圓相切，故選B．
(理)如圖在正方體ABCD－A1B1C1D1中，當動點M在底面ABCD內運動時，總有：D1A＝D1M，則動點M在面ABCD內的軌跡是( )上的一段?。? )
A．圓 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
[答案] A
[解析] 因為滿足條件的動點在底面ABCD內運動時，動點的軌跡是以D1D為軸線，以D1A為母線的圓錐，與平面ABCD的交線即圓的一部分．故選A．
二、填空題
7．(文)已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線為mx－y＝0，若m為集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一個值，則使得雙曲線的離心率大于3的概率是________．
[答案]
[解析] 由題意知雙曲線方程可設為m2x2－y2＝1，從而e＝>3，∵m>0，∴m>2，故所求概率是，故填.
(理)(2014浙江)設直線x－3y＋m＝0(m≠0)與雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A，B，若點P(m,0)滿足|PA|＝|PB|，則該雙曲線的離心率是________．
[答案]
[解析] 聯(lián)立漸近線與直線方程可解得A(，)，B(，)，則kAB＝，設AB的中點為E，由|PA|＝|PB|，可知AB的中點E與點P兩點連線的斜率為－3，∴＋＝6，化簡得4b2＝a2，所以e＝.
8．(2014溫州十校聯(lián)考)過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F作圓x2＋y2＝a2的兩條切線，記切點分別為A、B，雙曲線的左頂點為C，若∠ACB＝120，則雙曲線的離心率e＝________.
[答案] 2
[解析] 連接OA，根據(jù)題意以及雙曲線的幾何性質，|FO|＝c，|OA|＝a，而∠ACB＝120，∴∠AOC＝60，又FA是圓O的切線，故OA⊥FA，在Rt△FAO中，容易得到|OF|＝2a，∴e＝＝2.
9．(文)(2013北京大興模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左頂點與拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(－2，－1)，則雙曲線的焦距為________．
[答案] 2
[解析] 由解得
由題意得得
又已知＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝＝.
所以雙曲線的焦距2c＝2.
(理)(2014深圳調研)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)與橢圓＋＝1有相同的焦點，且雙曲線C的漸近線方程為y＝2x，則雙曲線C的方程為________．
[答案] x2－＝1
[解析] 易得橢圓的焦點為(－，0)，(，0)，
∴，∴a2＝1，b2＝4，
∴雙曲線C的方程為x2－＝1.
三、解答題
10．(文)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：＝0；
(3)在(2)的條件下，求△F1MF2的面積．
[解析] (1)∵e＝，
∴可設雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵雙曲線過點(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，
∴雙曲線方程為－＝1.
(2)證明：法1：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝，
∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1kMF2＝＝，
∵點M(3，m)在雙曲線上，∴m2＝3，
∴kMF1kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，即＝0.
法2：∵＝(－2－3，－m)，
＝(2－3，－m)，
∴＝(－2－3)(2－3)＋m2＝－3＋m2，
∵點M在雙曲線上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴＝0.
(3)∵△F1MF2的底邊長|F1F2|＝4，△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝6.
(理)(2013銅陵一模)若雙曲線E：－y2＝1(a>0)的離心率等于，直線y＝kx－1與雙曲線E的右支交于A，B兩點．
(1)求k的取值范圍；
(2)若|AB|＝6，點C是雙曲線上一點，且＝m(＋)，求k，m的值．
[解析] (1)由得
故雙曲線E的方程為x2－y2＝1.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
∵直線與雙曲線右支交于A，B兩點，
故
即
所以10，a>0)與拋物線y＝x2有一個公共焦點F，雙曲線的過點F且垂直于y軸的弦長為，則雙曲線的離心率等于( )
A．2 B．
C． D．
[答案] B
[解析] 雙曲線與拋物線x2＝8y的公共焦點F的坐標為(0,2)，由題意知(，2)在雙曲線上，于是，得a2＝3，b2＝1，故e＝＝，故選B．
(理)(2013安徽皖南八校聯(lián)考)設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，若雙曲線的右支上存在一點P，使＝0，且△F1PF2的三邊長構成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率為( )
A． B．
C．2 D．5
[答案] D
[解析] 設|PF1|＝m，|PF2|＝n，且m>n，|F1F2|＝2c，由題可知△F1PF2為直角三角形且F1F2為斜邊．由雙曲線的幾何性質和直角三角形的勾股定理得
由①③得
代入②得(2c－2a)2＋(2c－4a)2＝4c2，整理得c2－6ac＋5a2＝0，等式兩邊同時除以a2得e2－6e＋5＝0，解得e＝5或e＝1.因為雙曲線的離心率e>1，所以e＝5.
12．(2014重慶理)設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1||PF2|＝ab，則該雙曲線的離心率為( )
A． B．
C． D．3
[答案] B
[解析] 由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF1||PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1||PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9()2－－4＝0，則(＋1)(－4)＝0，解得＝(＝－舍去)，則雙曲線的離心率e＝.
13．(2014湖北文)設a，b是關于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的兩個不等實根，則過A(a，a2)，B(b，b2)兩點的直線與雙曲線－＝1的公共點的個數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] 關于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的兩個不等實根為0，－tanθ(tanθ≠0)，∴A(0,0)，B(－tanθ，tan2θ)，則過A，B兩點的直線方程為y＝－xtanθ，雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝xtanθ，所以直線y＝－xtanθ與雙曲線沒有公共點，故選A．
14．(文)若原點O和點F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a>0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[，＋∞)
[答案] B
[解析] ∵a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，
∴雙曲線方程為－y2＝1.
設P點坐標為(x，y)，則＝(x，y)，＝(x＋2，y)，
∵y2＝－1，∴＝x2＋2x＋y2
＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1＝(x＋)2－.
又∵x≥(右支上任意一點)，
∴≥3＋2.故選B．
(理)設F1、F2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P滿足|PF2|＝|F1F2|，且cos∠PF1F2＝，則雙曲線的漸近線方程為( )
A．3x4y＝0 B．3x5y＝0
C．4x3y＝0 D．5x4y＝0
[答案] C
[解析] 在△PF1F2中，由余弦定理得，
cos∠PF1F2＝
＝＝＝.所以|PF1|＝c.
又|PF1|－|PF2|＝2a，即c－2c＝2a，所以c＝a.
代入c2＝a2＋b2得＝.
因此，雙曲線的漸近線方程為4x3y＝0.
二、填空題
15．(文)(2013湖南)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，若在C上存在一點P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30，則C的離心率為________．
[答案]?。?
[解析] 由已知可得，|PF1|＝2ccos30＝c，|PF2|＝2csin30＝c，由雙曲線的定義，可得c－c＝2a，則e＝＝＝＋1.
(理)(2014山東日照模擬)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P和Q.且△F1PQ為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為________．
[答案] y＝x
[解析] 設F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，
代入雙曲線方程得y0＝，
∵PQ⊥x軸，∴|PQ|＝.
在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30，
∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2或2a2＝－3b2(舍去)，
∵a>0，b>0，∴＝.
故所求雙曲線的漸近線方程為y＝x.
16．P為雙曲線x2－＝1右支上一點，M、N分別是圓(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為________．
[答案] 5
[解析] 雙曲線的兩個焦點為F1(－4,0)、F2(4,0)，為兩個圓的圓心，半徑分別為r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值為(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.
三、解答題
17．(文)(2013江蘇泰州質檢)已知點N(1,2)，過點N的直線交雙曲線x2－＝1于A，B兩點，且＝(＋)．
(1)求直線AB的方程；
(2)若過N的另一條直線交雙曲線于C，D兩點，且＝0，那么A，B，C，D四點是否共圓？為什么？
[解析] (1)由題意知直線AB的斜率存在．
設直線AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－＝1得，
(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*)
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程(*)的兩根，
∴2－k2≠0且x1＋x2＝.
∵＝(＋)，∴N是AB的中點，∴＝1，
∴k(2－k)＝－k2＋2，∴k＝1，∴AB的方程為y＝x＋1.
(2)將k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，
∴x＝－1或x＝3，
不妨設A(－1,0)，B(3,4)．
∵＝0，∴CD垂直平分AB．
∴CD所在直線方程為y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x，
代入雙曲線方程整理得x2＋6x－11＝0，
令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中點M(x0，y0)，
則x3＋x4＝－6，x3x4＝－11，
∴x0＝＝－3，y0＝6，即M(－3,6)．
|CD|＝|x3－x4|
＝＝4，
|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，
|MA|＝|MB|＝2，
即A，B，C，D到M的距離相等，∴A，B，C，D四點共圓．
(理)(2014廣東肇慶一模)設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點坐標為(，0)，離心率e＝，A，B是雙曲線上的兩點，AB的中點為M(1,2)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)求直線AB的方程；
(3)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C，D兩點，那么A，B，C，D四點是否共圓？為什么？
[解析] (1)依題意得解得a＝1.
所以b2＝c2－a2＝3－1＝2，
故雙曲線C的方程為x2－＝1.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有
兩式相減得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，
由題意得x1≠x2，x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，
所以＝＝1，即kAB＝1.
故直線AB的方程為y＝x＋1.
(3)假設A，B，C，D四點共圓，且圓心為P.因為AB為圓P的弦，所以圓心P在AB的垂直平分線CD上．
又CD為圓P的弦且垂直平分AB，故圓心P為CD中點M.
下面只需證CD的中點M滿足|MA|＝|MB|＝|MC|＝|MD|即可．
由得A(－1,0)，B(3,4)．
由此可得直線CD方程：y＝－x＋3.
由
得C(－3＋2，6－2)，D(－3－2，6＋2)，
所以CD的中點M(－3,6)．
因為|MA|＝＝2，|MB|＝＝2，
|MC|＝＝2，|MD|＝＝2，
所以|MA|＝|MB|＝|MC|＝|MD|，
即A，B，C，D四點在以點M(－3,6)為圓心，2為半徑的圓上．
18．(文)已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，其漸近線與圓x2＋y2－10x＋20＝0相切．過點P(－4,0)作斜率為的直線l，交雙曲線左支于A、B兩點，交y軸于點C，且滿足|PA||PB|＝|PC|2.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)設點M為雙曲線上一動點，點N為圓x2＋(y－2)2＝上一動點，求|MN|的取值范圍．
[解析] (1)設雙曲線的漸近線方程為y＝kx，
因為漸近線與圓(x－5)2＋y2＝5相切，
則＝，即k＝，
所以雙曲線的漸近線方程為y＝x.
設雙曲線方程為x2－4y2＝m，將y＝(x＋4)代入雙曲線方程中整理得，3x2＋56x＋112＋4m＝0.
所以xA＋xB＝－，xAxB＝.
因為|PA||PB|＝|PC|2，點P、A、B、C共線，且點P在線段AB上，則(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，即(xB＋4)(－4－xA)＝16.
所以4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.
于是4(－)＋＋32＝0，解得m＝4.
故雙曲線方程是x2－4y2＝4，即－y2＝1.
(2)設點M(x，y)，圓x2＋(y－2)2＝的圓心為D，則x2－4y2＝4，點D(0,2)．
所以|MD|2＝x2＋(y－2)2＝4y2＋4＋(y－2)2
＝5y2－4y＋8＝5(y－)2＋≥.
所以|MD|≥，
從而|MN|≥|MD|－≥.
故|MN|的取值范圍是[，＋∞)．
(理)已知斜率為1的直線l與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D兩點，且BD的中點為M(1,3)．
(1)求C的離心率；
(2)設C的右頂點為A，右焦點為F，|DF||BF|＝17，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切．
[解析] (1)由題意知，l的方程為：y＝x＋2，
代入C的方程并化簡得，
(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0.
設B(x1，y1)，D(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝－，①
由M(1,3)為BD的中點知＝1，
故＝1，
即b2＝3a2，②
故c＝＝2a，
∴C的離心率e＝＝2.
(2)由②知，C的方程為3x2－y2＝3a2，
A(a,0)，F(xiàn)(2a,0)，x1＋x2＝2，x1x2＝－<0，
故不妨設x1≤－a，x2≥a，
|BF|＝＝＝a－2x1，
|FD|＝＝＝2x2－a，
|BF||FD|＝(a－2x1)(2x2－a)
＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.
又|BF||FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，
解得a＝1，或a＝－.
故|BD|＝|x1－x2|＝＝6.
連接MA，則由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，
從而MA＝MB＝MD，∠DAB＝90，
因此以M為圓心，MA為半徑的圓過A、B、D三點，且在點A處與x軸相切，所以過A、B、D三點的圓與x軸相切．
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