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2013年高中數(shù)學《3.3．1基本不等式》隨堂自測（含解析） 北師大版必修5 1．下列不等式中，對任意實數(shù)x都成立的是(　　) A．lg(x2＋1)≥lgx　　　　 B．x2＋1>2x C.≤1 D．x＋≥2 解析：選C.A、D中，x<0時都不成立，在B中，x＝1時不成立，故選C. 2．下列不等式正確的是(　　) A．a(chǎn)＋≥2 B．(－a)＋(－)≤－2 C．a(chǎn)2＋≥2 D．(－a)2＋(－)2≤－2 解析：選C.∵a2＋中a2>0，∴≥ ， 即(a2＋)≥1，∴a2＋≥2，故選C. 3．式子＋的取值范圍是________． 解析：當ab>0時，>0，>0，則＋≥2， 當ab<0時，<0，<0， 此時－>0，－>0， ∴(－)＋(－)≥2. ∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2， ∴＋∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 4．設(shè)a>0，b>0，給出下列不等式： (1)a2＋1>a；(2)(a＋)(b＋)≥4；(3)(a＋b)(＋)≥4， 其中恒成立的是________． 解析：∵(a2＋1)－a＝(a－)2＋>0，∴a2＋1>a，故(1)恒成立；∵a>0，∴a＋≥2，∵b>0，∴b＋≥2，∴當a>0，b>0時，(a＋)(b＋)≥4，故(2)恒成立；∵(a＋b)(＋)＝2＋＋，又∵a，b∈(0，＋∞)，∴＋≥2，∴(a＋b)(＋)≥4，故(3)恒成立． 答案：(1)(2)(3) [A級　基礎(chǔ)達標] 1．(2012宿州調(diào)研)若x>0，則x＋的最小值為(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 解析：選D.∵x>0，∴x＋≥2(當且僅當x＝2時等號成立)；∴x＋≥4，故選D. 2．已知a，b∈(0，＋∞)，則，， ，的大小順序是(　　) A.≥≥≥ B.≥ ≥≥ C. ≥≥≥ D.≥≥ ≥ 解析：選C.∵≥， 即a＋b≥2＝， ∴≥，又由 ≥，故C正確． 3．(2012蚌埠質(zhì)檢)若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是(　　) A.> B.＋≤1 C.≥2 D．a(chǎn)2＋b2≥8 解析：選D.∵≥()2，∴≥()2，即≥4，∴a2＋b2≥8，故選D. 4．若xy＝1，則下列結(jié)論中正確的是________． ①x＋y≥2；②x＋y≤－2；③2x＋8y≥8或2x＋8y≤－8；④|x＋y|≥2；⑤x2＋y2≥2. 解析：∵xy＝1>0，∴x、y同號，∴當x、y∈(0，＋∞)時，x＋y≥2，即x＋y≥2；當x、y為負數(shù)時，x＋y＝－[(－x)＋(－y)]，此時(－x)＋(－y)≥2，即－(x＋y)≥2，∴x＋y≤－2，因此，x＋y≥2或x＋y≤－2.題中①、②都錯誤；同樣方法可得：2x＋8y≥8或2x＋8y≤－8，故③正確；∵|x＋y|＝|x|＋|y|≥2，∴|x＋y|≥2，故④正確；又∵x2＋y2≥2xy，∴x2＋y2≥2，故⑤正確． 答案：③④⑤ 5．已知a>b>c，則與的大小關(guān)系是________． 解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0， ∴≤＝， 當且僅當a－b＝b－c， 即b＝時等號成立． 答案：≤ 6．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求證：＋＋≥9. 證明：＋＋＝＋＋＝1＋＋＋1＋＋＋1＋＋ ＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝9， 即＋＋≥9. [B級　能力提升] 7．若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，則(　　) A．Rb>1，∴<(lga＋lgb)＝lg0 B．2a－b< C．2＋< D．log2a＋log2b<－2 解析：選D.∵0，∴ab<.又∵log2a＋log2b＝log2ab，∴l(xiāng)og2a＋log2b＋＋. 證明：∵a，b，c為不等正數(shù)，且abc＝1， ∴＋＋＝＋＋＝bc＋ac＋ab ＝＋＋> ＋＋. 又∵abc＝1， ∴＋＋＝＋＋， ∴＋＋>＋＋. 11．(創(chuàng)新題)證明不等式(x2＋y2＋z2)≥xy＋2yz＋2zx. 證明：設(shè)λ>0，則λy2＋z2≥2yz，λx2＋z2≥2zx. 又∵x2＋y2≥xy，∴(λy2＋z2)＋(λx2＋z2)＋(x2＋y2)≥xy＋2yz＋2zx， ∴(λ＋)x2＋(λ＋)y2＋z2≥xy＋2yz＋2zx， 令λ＋＝，即2λ2＋λ－4＝0， 解得λ＝或λ＝(舍)， ∴＋λ＝＝， ∴(x2＋y2＋z2)≥xy＋2yz＋2zx.