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有理數(shù) 一、有理數(shù)的含義 整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，很多學(xué)生想知道“為什么將這些數(shù)取名‘有理數(shù)’” ？要回答這個問題并不難，只需要略微多了解一點數(shù)學(xué)的發(fā)展史就可以了． “有理數(shù)”是一個外來詞，是由英語rational number翻譯而來的．rational number的準(zhǔn)確含義是“能表示成兩個整數(shù)的比的數(shù)”，即“凡是能表示成兩個整數(shù)的比的數(shù)就是有理數(shù)”，或者說“凡能用分?jǐn)?shù)的形式來表示的數(shù)就是有理數(shù)”，因此，rational number相對準(zhǔn)確地翻譯可以是“比數(shù)”，可惜的是我們的先輩并沒有把rational number翻譯為“比數(shù)”，而是按照rational一詞的另一意思“有理的”，把rational number翻譯成了“有理數(shù)”，而且這種稱呼一直沿用到今．如果我們的老師能給學(xué)生一些類似的解釋，相信學(xué)生不會再為這個名稱而苦惱． 在小學(xué)的時候，我們的學(xué)生都能把“整數(shù)表示成分母是1的分?jǐn)?shù)”，而且大多數(shù)學(xué)生也都能把有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)表示成分?jǐn)?shù)的形式．這樣，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)都屬于有理數(shù)．教科書中說“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)”，其中當(dāng)然包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)． 例 把3, 0.2, ，，，表示成分?jǐn)?shù)． 思路分析：3=, 0.2=，=, ＝，=，＝＝． 特別提醒：把循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)是有規(guī)律可循的．下面我們用方程的思想，借助具體的例子來總結(jié)這個規(guī)律： 設(shè) ＝x……………①，現(xiàn)將左右兩端同時乘以1000得 231. =1000 x………② 于是，由②－①，得 231＝1000 x- x 即 999x＝231 故 x =, 約分，得 x＝． 可見轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)是．于是在此基礎(chǔ)上給出純循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的一般方法就不困難了．請老師引導(dǎo)學(xué)生，盡量讓學(xué)生自已從中歸納得出相應(yīng)的一般方法來． 設(shè)，則有 10y=2.……………① 1000y=231. ………② 由②－①得 1000y-10 y =231-2 即 y=． 可見轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)是，在此基礎(chǔ)上給出混循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的一般方法是不困難的．請老師們引導(dǎo)學(xué)生自己去歸納． 二、任意兩個有理數(shù)之和、差、積、商仍為有理數(shù) 證明：因有理數(shù)都可以表示成兩個整數(shù)的比的形式，故不妨設(shè)， ， 其中m，n，k，l均為整數(shù)，且(m，n)=1，(k，l)=1，于是． 由于m，n，k，l均為整數(shù)，因此nk＋ml與mk均為整數(shù)，故必為有理數(shù)，故為有理數(shù) 對于兩個有理數(shù)之差、積、商仍為有理數(shù)，可以用類似方法證明，這里從略． 三、 任意兩個有理數(shù)之間都存在著無窮多個有理數(shù) 證明：假設(shè)任意兩個有理數(shù)a、b,設(shè)a＜b，它們之間僅有有限個有理數(shù)，不妨設(shè)僅有n個有理數(shù)，這n個有理數(shù)按從小到大的順序排列依次是a＜c1＜c2＜c3＜c4＜…＜cn＜b． 由于任意兩個有理數(shù)之和與積仍是有理數(shù)，因此當(dāng)cn是有理數(shù)，b是有理數(shù)時，也是有理數(shù)，而且a＜cn＜＜b． 即在有理數(shù)a與b之間找到了另外一個不同于c1＜c2＜c3＜c4＜…＜cn的第n＋1個有理數(shù)，而這正好與假設(shè)矛盾． 因此，任意兩個有理數(shù)之間都存在著無窮多個有理數(shù)． 四、 按要求，數(shù)正方形 1． 在圖1中，所有正方形的個數(shù)是多少？ 思路分析：要把圖中的正方形數(shù)清楚，顯然以邊長的不同數(shù)值來分類進(jìn)行統(tǒng)計要方便一些． 解：圖1中，設(shè)邊長最小的正方形的邊長為1，則邊長為1的正方形共有42＝16個；邊長為2的正方形共有32＝9個；邊長為3的正方形共有22＝4個；邊長為4的正方形僅有12＝1個． 于是圖1中所有正方形，一共有12＋22＋32＋42＝30個． 2． 在圖2中，以圖中各點為頂點一共能畫出多少個正方形？ 思路分析：本題與第1題相比，略有不同．在本題中，除了第1題所涉及到的正方形之外，還有邊長為、、、2等幾種新的情形． 解：由1可知，邊長為1的正方形共有42＝16個；邊長為2的正方形共有32＝9個；邊長為3的正方形共有22＝4個；邊長為4的正方形有12＝1個． 此外，還有邊長為的正方形共有32＝9個，如圖3所示；邊長為的正方形共有222＝8個，如圖4所示；邊長為的正方形共有2個，如圖5所示；邊長為2的正方形1個，如圖6所示． 故圖2中所有滿足條件的正方形一共有30＋9＋8＋2＋1＝50個． 特別提醒：這里的兩個問題從本質(zhì)上說并不難，但是對初一的學(xué)生來說，要能夠把其中所有的正方形都按要求一一數(shù)清楚，可不是一件容易的事．因此，老師需要引導(dǎo)學(xué)生按“類”去數(shù)每個圖中可能有的正方形．這樣做的目的在于逐漸滲透“分類討論的數(shù)學(xué)思想”，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)作鋪墊． 至于問題討論過程中可能涉及到的、、、2等數(shù)，可以根據(jù)學(xué)生的實際可能來處理，只要學(xué)生能認(rèn)識它們是一些正方形的邊長即可，不必在此向?qū)W生介紹這些無理數(shù)． 五、關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”乘法運(yùn)算法則 “為什么負(fù)負(fù)得正”要從初等數(shù)學(xué)的角度給學(xué)生講清楚，是一件非常不容易的事情．可以參考《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2005年第3期P3－P4的《“負(fù)負(fù)得正”的乘法法則可以證明嗎？》一文，文中最后指出：“綜上所述，筆者認(rèn)為，‘負(fù)負(fù)得正’的乘法法則是數(shù)學(xué)中的一種規(guī)定（定義），它不能通過邏輯證明得出．然而，對這個法則的規(guī)定既有客觀世界中的實際背景，又有數(shù)學(xué)內(nèi)部需要和諧發(fā)展的思想背景．教學(xué)中適當(dāng)?shù)亟榻B這些背景，可以幫助學(xué)生認(rèn)識乘法法則的由來與合理性，但是不能將這樣做認(rèn)為是證明了這個法則．”此外，如果能夠參閱浙江大學(xué)出版社出版、沈鋼編著的《高觀點下的初等數(shù)學(xué)概念》一書的第一章、第二章的相關(guān)內(nèi)容，也許你還能獲得一些新觀點． 我們認(rèn)為這個問題對初一的學(xué)生來說，只要學(xué)生能夠理解一些具體實例，并能認(rèn)可“負(fù)負(fù)得正”即可，不必再做過多的講解或過高的要求．下面引用一個有實際背景的例子，讓學(xué)生體會一下“負(fù)負(fù)得正”的實際背景． 如果水位一直以每小時2cm的速度下降，現(xiàn)在的水位在水文標(biāo)尺刻度的A處，試問3小時前水位在水文標(biāo)尺刻度的什么位置？ 為了區(qū)分水位變化的方向，我們可以規(guī)定水位上升為正，下降為負(fù)；為了區(qū)分時間，我們規(guī)定現(xiàn)在以后為正，現(xiàn)在以前為負(fù)．顯然3小時以前水位在水文標(biāo)尺刻度的A處上方6cm處，于是有（－2）（－3）=＋6． 這雖然是一個“有實際背景的原型”，的確有助于學(xué)生理解“負(fù)負(fù)得正”的乘法法則，但絕對不能就此認(rèn)為這是對“負(fù)負(fù)得正”的證明．因為數(shù)學(xué)中的證明不是個例的驗證，是需要依據(jù)已有的公理、定理、定義等進(jìn)行合乎邏輯的推證的． 六、“科學(xué)記數(shù)法” 課題引入的設(shè)計 （一）快速記憶游戲 目的：激發(fā)學(xué)生對數(shù)字或數(shù)據(jù)的興趣． 下面有幾組數(shù)據(jù)，你能過目不忘嗎？一閃而過之后，你能記住多少，請大家一起來試一試，看誰記得多！ 中國國土面積有9 600 000平方公里； 中國人口約有1 300 000 000人； 光的速度約為30 0000 000米/秒； 太陽的半徑約為69 600 000 000米； 世界的總?cè)丝诩s有6 100 000 000人； 銀河系的直徑為925 000 000 000 000 000公里． （二）討論怎樣有效地讀出以上各個數(shù)據(jù)，順勢引出新課 — 科學(xué)記數(shù)法．