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第12章 全等三角形 　 一、選擇題 1．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的點，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，現(xiàn)有如下結(jié)論： ①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45；④△GBE∽△ECH 其中，正確的結(jié)論有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2．如圖，正方形ABCD中，點E是AD邊中點，BD、CE交于點H，BE、AH交于點G，則下列結(jié)論： ①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD． 其中正確的個數(shù)是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如圖，點E，F(xiàn)在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，還需要添加的一個條件是（　?。? A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 　 二、填空題 4．如圖，AC是矩形ABCD的對角線，AB=2，BC=2，點E，F(xiàn)分別是線段AB，AD上的點，連接CE，CF．當(dāng)∠BCE=∠ACF，且CE=CF時，AE+AF=　 ． 5．如圖，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度數(shù)是　 ?。? 6．如圖，△ABC中，∠C=90，CA=CB，點M在線段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足為G，MG與BC相交于點H．若MH=8cm，則BG=　 cm． 7．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF，則下列結(jié)論：①△EBF≌△DFC；②四邊形AEFD為平行四邊形；③當(dāng)AB=AC，∠BAC=120時，四邊形AEFD是正方形．其中正確的結(jié)論是　 ．（請寫出正確結(jié)論的序號）． 　 三、解答題 8．如圖，點C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，點A，D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D． （1）求證：AB=CD． （2）若AB=CF，∠B=30，求∠D的度數(shù)． 9．如圖，CD是△ABC的中線，點E是AF的中點，CF∥AB． （1）求證：CF=AD； （2）若∠ACB=90，試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由． 10．如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC，AD=AE．求證：BE=CD． 11．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，F(xiàn)是CD的中點，過點C作AB的平行線交BF的延長線于點E，連接AE． （1）求證：EC=DA； （2）若AC⊥CB，試判斷四邊形AECD的形狀，并證明你的結(jié)論． 12．（2015?營口）【問題探究】 （1）如圖1，銳角△ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由． 【深入探究】 （2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45，求BD的長． （3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)△ACD在線段AC的左側(cè)時，求BD的長． 13．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90，點D是AB的中點，點P是AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），矩形PECF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，AC上． （1）探究DE與DF的關(guān)系，并給出證明； （2）當(dāng)點P滿足什么條件時，線段EF的長最短？（直接給出結(jié)論，不必說明理由） 14．如圖，△ABC和△EFD分別在線段AE的兩側(cè)，點C，D在線段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求證：BC=FD． 15．如圖，已知∠ABC=90，D是直線AB上的點，AD=BC． （1）如圖1，過點A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明； （2）如圖2，E是直線BC上一點，且CE=BD，直線AE、CD相交于點P，∠APD的度數(shù)是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由． 16．如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE=DF，連接BE，AF．求證：BE=AF． 17．如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，點M，N分別在AB，AC邊上，AM=2MB，AN=2NC．求證：DM=DN． 18．在平行四邊形ABCD中，將△BCD沿BD翻折，使點C落在點E處，BE和AD相交于點O，求證：OA=OE． 19．如圖，在△ABD和△FEC中，點B，C，D，E在同一直線上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求證：∠ADB=∠FCE． 20．如圖，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求證：AB=DE． 第12章 全等三角形 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的點，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，現(xiàn)有如下結(jié)論： ①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45；④△GBE∽△ECH 其中，正確的結(jié)論有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠B=∠DCB=90，AB=BC，求出BG=BE，根據(jù)勾股定理得出BE=GE，即可判斷①；求出∠GAE+∠AEG=45，推出∠GAE=∠FEC，根據(jù)SAS推出△GAE≌△CEF，即可判斷②；求出∠AGE=∠ECF=135，即可判斷③；求出∠FEC＜45，根據(jù)相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判斷④． 【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B=∠DCB=90，AB=BC， ∵AG=CE， ∴BG=BE， 由勾股定理得：BE=GE，∴①錯誤； ∵BG=BE，∠B=90， ∴∠BGE=∠BEG=45， ∴∠AGE=135， ∴∠GAE+∠AEG=45， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF=90， ∵∠BEG=45， ∴∠AEG+∠FEC=45， ∴∠GAE=∠FEC， 在△GAE和△CEF中 ∴△GAE≌△CEF，∴②正確； ∴∠AGE=∠ECF=135， ∴∠FCD=135﹣90=45，∴③正確； ∵∠BGE=∠BEG=45，∠AEG+∠FEC=45， ∴∠FEC＜45， ∴△GBE和△ECH不相似，∴④錯誤； 即正確的有2個． 故選B． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知識點的綜合運用，綜合比較強，難度較大． 　 2．如圖，正方形ABCD中，點E是AD邊中點，BD、CE交于點H，BE、AH交于點G，則下列結(jié)論： ①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD． 其中正確的個數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)證得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，再證△ADH≌△CDH，求得∠HAD=∠HCD，推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90；最后在△AGE中根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180求得∠AGE=90即可得到①正確．根據(jù)tan∠ABE=tan∠EAG=，得到AG=BG，GE=AG，于是得到BG=4EG，故②正確；根據(jù)AD∥BC，求出S△BDE=S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正確；由∠AHD=∠CHD，得到鄰補角和對頂角相等得到∠AHB=∠EHD，故④正確； 【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，E是AD邊上的中點， ∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90， 在△BAE和△CDE中 ∵， ∴△BAE≌△CDE（SAS）， ∴∠ABE=∠DCE， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45， ∵在△ADH和△CDH中， ， ∴△ADH≌△CDH（SAS）， ∴∠HAD=∠HCD， ∵∠ABE=∠DCE ∴∠ABE=∠HAD， ∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90， ∴∠ABE+∠BAH=90， ∴∠AGB=180﹣90=90， ∴AG⊥BE，故①正確； ∵tan∠ABE=tan∠EAG=， ∴AG=BG，GE=AG， ∴BG=4EG，故②正確； ∵AD∥BC， ∴S△BDE=S△CDE， ∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH， 即；S△BHE=S△CHD，故③正確； ∵△ADH≌△CDH， ∴∠AHD=∠CHD， ∴∠AHB=∠CHB， ∵∠BHC=∠DHE， ∴∠AHB=∠EHD，故④正確； 故選：D． 【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)：①四邊相等，兩兩垂直； ②四個內(nèi)角相等，都是90度； ③對角線相等，相互垂直，且平分一組對角． 　 3．如圖，點E，F(xiàn)在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，還需要添加的一個條件是（　?。? A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】利用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)而得出當(dāng)∠D=∠B時，△ADF≌△CBE． 【解答】解：當(dāng)∠D=∠B時， 在△ADF和△CBE中 ∵， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， 故選：B． 【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵． 　 二、填空題 4．如圖，AC是矩形ABCD的對角線，AB=2，BC=2，點E，F(xiàn)分別是線段AB，AD上的點，連接CE，CF．當(dāng)∠BCE=∠ACF，且CE=CF時，AE+AF=　?。? 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形． 【專題】壓軸題． 【分析】過點F作FG⊥AC于點G，證明△BCE≌△GCF，得到CG=CB=2，根據(jù)勾股定理得AC=4，所以AG=4﹣2，易證△AGF∽△CBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF的值． 【解答】解：過點F作FG⊥AC于點G，如圖所示， 在△BCE和△GCF中， ， ∴△BCE≌△GCF（AAS）， ∴CG=BC=2， ∵AC==4， ∴AG=4﹣2， ∵△AGF∽△CBA ∴， ∴AF==， FG==， ∴AE=2﹣=， ∴AE+AF=+=． 故答案為：． 【點評】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)，有一定的綜合性，難易適中． 　 5．如圖，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度數(shù)是　90?。? 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠ODA與∠BAE的關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠ODA與∠OAD的關(guān)系，根據(jù)直角三角形的判定，可得答案． 【解答】解：由ABCD是正方形，得 AD=AB，∠DAB=∠B=90． 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF， ∴∠BAE=∠ADF． ∵∠BAE+∠EAD=90， ∴∠OAD+∠ADO=90， ∴∠AOD=90， 故答案為：90． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，直角三角形的判定． 　 6．如圖，△ABC中，∠C=90，CA=CB，點M在線段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足為G，MG與BC相交于點H．若MH=8cm，則BG=　4　cm． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】如圖，作MD⊥BC于D，延長DE交BG的延長線于E，構(gòu)建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的對應(yīng)邊相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4． 【解答】解：如圖，作MD⊥BC于D，延長MD交BG的延長線于E， ∵△ABC中，∠C=90，CA=CB， ∴∠ABC=∠A=45， ∵∠GMB=∠A， ∴∠GMB=∠A=22.5， ∵BG⊥MG， ∴∠BGM=90， ∴∠GBM=90﹣22.5=67.5， ∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5． ∵M(jìn)D∥AC， ∴∠BMD=∠A=45， ∴△BDM為等腰直角三角形 ∴BD=DM， 而∠GBH=22.5， ∴GM平分∠BMD， 而BG⊥MG， ∴BG=EG，即BG=BE， ∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90， ∴∠MHD=∠E， ∵∠GBD=90﹣∠E，∠HMD=90﹣∠E， ∴∠GBD=∠HMD， ∴在△BED和△MHD中， ， ∴△BED≌△MHD（AAS）， ∴BE=MH， ∴BG=MH=4． 故答案是：4． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)． 　 7．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF，則下列結(jié)論：①△EBF≌△DFC；②四邊形AEFD為平行四邊形；③當(dāng)AB=AC，∠BAC=120時，四邊形AEFD是正方形．其中正確的結(jié)論是?、佗凇。ㄕ垖懗稣_結(jié)論的序號）． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；正方形的判定． 【專題】壓軸題． 【分析】由三角形ABE與三角形BCF都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對邊相等，∠ABE=∠CBF=60，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形EBF與三角形DFC全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EF=AC，再由三角形ADC為等邊三角形得到三邊相等，等量代換得到EF=AD，AE=DF，利用對邊相等的四邊形為平行四邊形得到AEFD為平行四邊形，若AB=AC，∠BAC=120，只能得到AEFD為菱形，不能為正方形，即可得到正確的選項． 【解答】解：∵△ABE、△BCF為等邊三角形， ∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60， ∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE， 在△ABC和△EBF中， ， ∴△ABC≌△EBF（SAS）， ∴EF=AC， 又∵△ADC為等邊三角形， ∴CD=AD=AC， ∴EF=AD=DC， 同理可得△ABC≌△DFC， ∴DF=AB=AE=DF， ∴四邊形AEFD是平行四邊形，選項②正確； ∴∠FEA=∠ADF， ∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF， 在△FEB和△CDF中， ． ∴△FEB≌△CDF（SAS），選項①正確； 若AB=AC，∠BAC=120，則有AE=AD，∠EAD=120，此時AEFD為菱形，選項③錯誤， 故答案為：①②． 【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，以及正方形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 三、解答題 8．如圖，點C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，點A，D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D． （1）求證：AB=CD． （2）若AB=CF，∠B=30，求∠D的度數(shù)． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）易證得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD； （2）易證得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30，即可證得△ABE是等腰三角形，解答即可． 【解答】證明：（1）∵AB∥CD， ∴∠B=∠C， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB=CD； （2）∵△ABE≌△CDF， ∴AB=CD，BE=CF， ∵AB=CF，∠B=30， ∴AB=BE， ∴△ABE是等腰三角形， ∴∠D=． 【點評】此題考查全等三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答． 　 9．如圖，CD是△ABC的中線，點E是AF的中點，CF∥AB． （1）求證：CF=AD； （2）若∠ACB=90，試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定． 【分析】（1）根據(jù)中點的性質(zhì)，可得AE與EF的關(guān)系，根據(jù)平行的性質(zhì)，可得內(nèi)錯角相等，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得CF與DA的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案； （2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得四邊形BFCD的形狀，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BD=CD，根據(jù)菱形的判定，可得答案； 【解答】（1）證明∵AE是DC邊上的中線， ∴AE=FE， ∵CF∥AB， ∴∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠CFE． 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴CF=DA． （2）∵CD是△ABC的中線， ∴D是AB的中點， ∴AD=BD， ∵△ADE≌△FCE， ∴AD=CF， ∴BD=CF， ∵AB∥CF， ∴BD∥CF， ∴四邊形BFCD是平行四邊形， ∵∠ACB=90， ∴△ACB是直角三角形， ∴CD=AB， ∵BD=AB， ∴BD=CD， ∴四邊形BFCD是菱形． 【點評】本題考查了四邊形綜合題，（1）利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，（2）利用了直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定分析． 　 10．如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC，AD=AE．求證：BE=CD． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】利用SAS證得△ADC≌△AEB后即可證得結(jié)論． 【解答】解：在△ADC和△AEB中， ∵， ∴△ADC≌△AEB， ∴BE=CD． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定的方法，難度不大． 　 11．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，F(xiàn)是CD的中點，過點C作AB的平行線交BF的延長線于點E，連接AE． （1）求證：EC=DA； （2）若AC⊥CB，試判斷四邊形AECD的形狀，并證明你的結(jié)論． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，F(xiàn)是CD的中點，得出FD=CF，再利用AAS證明△FEC與△DBF全等，進(jìn)一步證明即可； （2）利用直角三角形的性質(zhì)：斜邊上的中線等于斜邊的，得出CD=DA，進(jìn)一步得出結(jié)論即可． 【解答】（1）證明：∵EC∥AB， ∴∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF， ∵F是CD的中點， ∴FD=CF， 在△FEC與△DBF中， ∴△FEC≌△DBF， ∴EC=BD， 又∵CD是AB邊上的中線， ∴BD=AD， ∴EC=AD． （2）四邊形AECD是菱形． 證明：∵EC=AD，EC∥AD， ∴四邊形AECD是平行四邊形， ∵AC⊥CB，CD是AB邊上的中線， ∴CD=AD=BD， ∴四邊形AECD是菱形． 【點評】此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定以及菱形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 12．【問題探究】 （1）如圖1，銳角△ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由． 【深入探究】 （2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45，求BD的長． （3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)△ACD在線段AC的左側(cè)時，求BD的長． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明∠EAC=∠BAD，則根據(jù)SAS即可證明△EAC≌△BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明； （2）在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE=90，AE=AB，連接EA、EB、EC，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解； （3）在線段AC的右側(cè)過點A作AE⊥AB于點A，交BC的延長線于點E，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，即可求解． 【解答】解：（1）BD=CE． 理由是：∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD=CE； （2）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE=90，AE=AB，連接EA、EB、EC． ∵∠ACD=∠ADC=45， ∴AC=AD，∠CAD=90， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD=CE． ∵AE=AB=7， ∴BE==7，∠ABE=∠AEB=45， 又∵∠ABC=45， ∴∠ABC+∠ABE=45+45=90， ∴EC===， ∴BD=CE=． （3）如圖3，在線段AC的右側(cè)過點A作AE⊥AB于點A，交BC的延長線于點E，連接BE． ∵AE⊥AB， ∴∠BAE=90， 又∵∠ABC=45， ∴∠E=∠ABC=45， ∴AE=AB=7，BE==7， 又∵∠ACD=∠ADC=45， ∴∠BAE=∠DAC=90， ∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD=CE， ∵BC=3， ∴BD=CE=7﹣3（cm）． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解三個題目之間的聯(lián)系，構(gòu)造（1）中的全等三角形是解決本題的關(guān)鍵． 　 13．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90，點D是AB的中點，點P是AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），矩形PECF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，AC上． （1）探究DE與DF的關(guān)系，并給出證明； （2）當(dāng)點P滿足什么條件時，線段EF的長最短？（直接給出結(jié)論，不必說明理由） 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì)． 【分析】（1）連接CD，首先根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，∠C=90，點D是AB的中點得到CD=AD，CD⊥AD，然后根據(jù)四邊形PECF是矩形得到△APE是等腰直角三角形，從而得到△DCE≌△DAF，證得DE=DF，DE⊥DF； （2）根據(jù)DE=DF，DE⊥DF，得到EF=DE=DF，從而得到當(dāng)DE和DF同時最短時，EF最短得到此時點P與點D重合線段EF最短． 【解答】解：（1）DE=DF，DE⊥DF， 證明：連接CD， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90，點D是AB的中點， ∴CD=AD，CD⊥AD， ∵四邊形PECF是矩形， ∴CE=FP，F(xiàn)P∥CB， ∴△APF是等腰直角三角形， ∴AF=PF=EC， ∴∠DCE=∠A=45， ∴△DCE≌△DAF， ∴DE=DF，∠ADF=∠CDE， ∵∠CDA=90， ∴∠EDF=90， ∴DE=DF，DE⊥DF； （2）∵DE=DF，DE⊥DF， ∴EF=DE=DF， ∴當(dāng)DE和DF同時最短時，EF最短， ∴當(dāng)DF⊥AC，DE⊥AB時，二者最短， ∴此時點P與點D重合， ∴點P與點D重合時，線段EF最短． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠證得兩個三角形全等，難度不大． 　 14．如圖，△ABC和△EFD分別在線段AE的兩側(cè)，點C，D在線段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求證：BC=FD． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)已知條件得出△ACB≌△DEF，即可得出BC=DF． 【解答】證明：∵AB∥EF， ∴∠A=∠E， 在△ABC和△EFD中 ∴△ABC≌△EFD（SAS） ∴BC=FD． 【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形全等的判定方法，難度適中． 　 15．如圖，已知∠ABC=90，D是直線AB上的點，AD=BC． （1）如圖1，過點A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明； （2）如圖2，E是直線BC上一點，且CE=BD，直線AE、CD相交于點P，∠APD的度數(shù)是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）利用SAS證明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，即可判斷三角形的形狀； （2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，利用SAS證明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，∠FDC=90，即可得出∠FCD=∠APD=45． 【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC=90， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD與△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90， ∴∠BDC+∠FDA=90， ∴△CDF是等腰直角三角形； （2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，如圖， ∵AF⊥AD，∠ABC=90， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD與△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90， ∴∠BDC+∠FDA=90， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠FCD=45， ∵AF∥CE，且AF=CE， ∴四邊形AFCE是平行四邊形， ∴AE∥CF， ∴∠APD=∠FCD=45． 【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運用．解答時證明三角形全等是關(guān)鍵． 　 16．如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE=DF，連接BE，AF．求證：BE=AF． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB=AD，每一個角都是直角可得∠BAE=∠D=90，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可． 【解答】證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴BE=AF． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直的定義，求出兩三角形全等，從而得到BE=AF是解題的關(guān)鍵． 　 17．如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，點M，N分別在AB，AC邊上，AM=2MB，AN=2NC．求證：DM=DN． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD是頂角的平分線，再利用全等三角形進(jìn)行證明即可． 【解答】證明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC， ∴AM=AN， ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴∠MAD=∠NAD， 在△AMD與△AND中， ， ∴△AMD≌△AND（SAS）， ∴DM=DN． 【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明． 　 18．在平行四邊形ABCD中，將△BCD沿BD翻折，使點C落在點E處，BE和AD相交于點O，求證：OA=OE． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）． 【專題】證明題． 【分析】由在平行四邊形ABCD中，將△BCD沿BD對折，使點C落在E處，即可求得∠DBE=∠ADB，得出OB=OD，再由∠A=∠C，證明三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可． 【解答】證明：平行四邊形ABCD中，將△BCD沿BD對折，使點C落在E處， 可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C， ∴OB=OD， 在△AOB和△EOD中， ， ∴△AOB≌△EOD（AAS）， ∴OA=OE． 【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 19．如圖，在△ABD和△FEC中，點B，C，D，E在同一直線上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求證：∠ADB=∠FCE． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出BD=CE，再利用SAS得出：△ABD與△FEC全等，進(jìn)而得出∠ADB=∠FCE． 【解答】證明：∵BC=DE， ∴BC+CD=DE+CD， 即BD=CE， 在△ABD與△FEC中， ， ∴△ABD≌△FEC（SAS）， ∴∠ADB=∠FCE． 【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等式的性質(zhì)得出BD=CE，再利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答． 　 20．如圖，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求證：AB=DE． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】如圖，首先證明∠ACB=∠DCE，這是解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；然后運用AAS公理證明△ABC≌△DEC，即可解決問題． 【解答】解：如圖，∵∠BCE=∠ACD， ∴∠ACB=∠DCE；在△ABC與△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（AAS）， ∴AB=DE． 【點評】該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握全等三角形的判定方法，這是靈活運用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．