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《第1章 全等三角形》w 一、選擇題t 1．在△ABC中，∠B=∠C，與△ABC全等的三角形有一個角是100，那么△ABC中與這個角對應(yīng)的角是（　?。﹉ A．∠A B．∠B C．∠C D．∠DY 2．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（　　）6 A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90O 3．如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識畫出一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（　　）5 A．SSS B．SAS C．AAS D．ASAI 4．如圖，已知AB∥DC，AD∥BC，BE=DF，則圖中全等的三角形有（　?。゛ A．3對 B．4對 C．5對 D．6對h 5．在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，若補充下列條件中的任意一條，就能判定△ABC≌△DEF的是（　?。㏄ ①AC=DF ②BC=EF ③∠B=∠E ④∠C=∠F．6 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④y 6．在△ABC中，∠A=90，CD平分∠ACB，DE⊥BC于點E，若AB=6，則DE+DB=（　?。? A．4 B．5 C．6 D．78 7．根據(jù)下列已知條件，能唯一畫出△ABC的是（　　）Z A．AB=3，BC=4，AC=8 B．AB=4，BC=3，∠A=30k C．∠A=60，∠B=45，AB=4 D．∠C=90，AB=64 8．如圖是人字型金屬屋架的示意圖，該屋架由BC、AC、BA、AD四段金屬材料焊接而成，其中A、B、C、D四點均為焊接點，且AB=AC，D為BC的中點，假設(shè)焊接所需的四段金屬材料已截好，并已標(biāo)出BC段的中點D，那么，如果焊接工身邊只有可檢驗直角的角尺，而又為了準(zhǔn)確快速地焊接，他應(yīng)該首先選取的兩段金屬材料及焊接點是（　　）0 A．AD和BC，點D B．AB和AC，點A C．AC和BC，點C D．AB和AD，點AA 9．如圖，已知OQ平分∠AOB，點P為OQ上任意一點，點N為OA上一點，點M為OB上一點，若∠PNO+∠PMO=180，則PM和PN的大小關(guān)系是（　?。ゝ A．PM＞PN B．PM＜PN C．PM=PN D．不能確定A 10．如圖，已知點C是∠AOB的平分線上一點，點P、P′分別在邊OA、OB上．如果要得到OP=OP′，需要添加以下條件中的某一個即可，請你寫出所有可能的結(jié)果的序號為（　?。? ①∠OCP=∠OCP′； ②∠OPC=∠OP′C； ③PC=P′C； ④PP′⊥OC．= A．①② B．④③ C．①②④ D．①④③ 　 二、填空題 11．如圖，△ABC≌△ADE，∠B=100，∠BAC=30，那么∠AED=　　度． 12．如圖，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，還需添加一個條件是　?。ㄌ钌夏阏J(rèn)為適當(dāng)?shù)囊粋€條件即可）． 13．如圖，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，則有△ADF≌　　，且DF=　　． 14．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根據(jù)“HL”判定，還需要加條件　　，若加條件∠B=∠C，則可用　　判定． 15．把兩根鋼條AA′、BB′的中點連在一起，可以做成一個測量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗），如圖，若測得AB=5厘米，則槽寬為　　米． 16．如圖，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=100，∠BAE=60，那么∠CAE=　?。? 17．如圖，∠A=∠E，AC⊥BE，AB=EF，BE=10，CF=4，則AC=　?。? 18．如圖，∠C=90，AC=10，BC=5，AM⊥AC，點P和點Q從A點出發(fā)，分別在射線AC和射線AM上運動，且Q點運動的速度是P點運動速度的2倍，當(dāng)點P運動至　　處時，△ABC與△APQ全等． 19．AD是△ABC的邊BC上的中線，AB=12，AC=8，則邊BC的取值范圍是　??；中線AD的取值范圍是　?。? 20．如圖，BD是∠ABC的角平分線，DE⊥AB于E，△ABC的面積是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，則DE=　　cm． 　 三、解答題 21．已知：如圖，∠ABC=∠DCB，BD、CA分別是∠ABC、∠DCB的平分線． 求證：AB=DC． 22．兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點O為邊AC和DF的交點，不重疊的兩部分△AOF與△DOC是否全等？為什么？ 23．如圖，∠DCE=90，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分別為A、B．求證：AD+AB=BE． 24．如圖，是一個用六根竹條連接而成的凸六邊形風(fēng)箏骨架，考慮到骨架的穩(wěn)定性、對稱性、實用性等因素，請再加三根竹條與其頂點連接． 要求：在圖（1）、（2）中分別加三根竹條，設(shè)計出兩種不同的連接方案．（用直尺連接） 25．已知：如圖①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50 （1）求證：①AC=BD；②∠APB=50； （2）如圖②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，則AC與BD間的等量關(guān)系為　　，∠APB的大小為　　 26．如圖①A、E、F、C在一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD． （1）圖①中有　　對全等三角形，并把它們寫出來　　； （2）求證：BD與EF互相平分于G； （3）若將△ABF的邊AF沿GA方向移動變?yōu)閳D②時，其余條件不變，第（2）題中的結(jié)論是否成立，如果成立，請予證明． 　 《第1章 全等三角形》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．在△ABC中，∠B=∠C，與△ABC全等的三角形有一個角是100，那么△ABC中與這個角對應(yīng)的角是（　?。? A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D 【考點】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】只要牢記三角形只能有一個鈍角就易解了． 【解答】解：∵一個三角形中只能有一個鈍角． ∴100的角只能是等腰三角形中的頂角． ∴∠B=∠C是底角，∠A是頂角 ∴△ABC中與這個角對應(yīng)的角是∠A． 故選A． 【點評】本題考查的知識點為：全等的三角形的對應(yīng)角相等，知道一個三角形中只能有一個鈍角是解決本題的關(guān)鍵． 　 2．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（　?。? A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90 【考點】全等三角形的判定． 【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共邊，具備了兩組邊對應(yīng)相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90后可分別根據(jù)SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后則不能． 【解答】解：A、添加CB=CD，根據(jù)SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A選項不符合題意； B、添加∠BAC=∠DAC，根據(jù)SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B選項不符合題意； C、添加∠BCA=∠DCA時，不能判定△ABC≌△ADC，故C選項符合題意； D、添加∠B=∠D=90，根據(jù)HL，能判定△ABC≌△ADC，故D選項不符合題意； 故選：C． 【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角． 　 3．如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識畫出一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（　?。? A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【考點】全等三角形的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)圖象，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據(jù)“角邊角”畫出． 【解答】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形． 故選D． 【點評】本題考查了三角形全等的判定的實際運用，熟練掌握判定定理并靈活運用是解題的關(guān)鍵． 　 4．如圖，已知AB∥DC，AD∥BC，BE=DF，則圖中全等的三角形有（　?。? A．3對 B．4對 C．5對 D．6對 【考點】全等三角形的判定． 【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法進(jìn)行判斷．全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件． 【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA，∠CDB=∠ABD，∠DCA=∠BAC，∠ADB=∠CBD， 又∵BE=DF， ∴由∠ADB=∠CBD，DB=BD，∠ABD=∠CDB，可得△ABD≌△CDB； 由∠DAC=∠BCA，AC=CA，∠DCA=∠BAC，可得△ACD≌△CAB； ∴AO=CO，DO=BO， 由∠DAO=∠BCO，AO=CO，∠AOD=∠COB，可得△AOD≌△COB； 由∠CDB=∠ABD，∠COD=∠AOB，CO=AO，可得△COD≌△AOB； 由∠DCA=∠BAC，∠COF=∠AOE，CO=AO，可得△AOE≌△COF； 由∠CDB=∠ABD，∠DOF=∠BOE，DO=BO，可得△DOF≌△BOE； 故選（D） 【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，解題時注意：若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，或者是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊． 　 5．在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，若補充下列條件中的任意一條，就能判定△ABC≌△DEF的是（　?。? ①AC=DF ②BC=EF ③∠B=∠E ④∠C=∠F． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【考點】全等三角形的判定． 【分析】根據(jù)已知條件，已知一角和一邊，所以要證兩三角形全等，可以根據(jù)角邊角、角角邊、邊角邊判定定理添加條件，再根據(jù)選項選取答案． 【解答】解：如圖，∵AB=DE，∠A=∠D， ∴根據(jù)“邊角邊”可添加AC=DF， 根據(jù)“角邊角”可添加∠B=∠E， 根據(jù)“角角邊”可添加∠C=∠F． 所以補充①③④可判定△ABC≌△DEF． 故選C． 【點評】本題主要考查三角形全等的判定，根據(jù)不同的判定方法可選擇不同的條件，所以對三角形全等的判定定理要熟練掌握并歸納總結(jié)． 　 6．在△ABC中，∠A=90，CD平分∠ACB，DE⊥BC于點E，若AB=6，則DE+DB=（　?。? A．4 B．5 C．6 D．7 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得AD=DE，然后根據(jù)AD+DB=AB等量代換即可得解． 【解答】解：∵∠A=90，CD平分∠ACB，DE⊥BC， ∴AD=DE， ∵AD+DB=AB， ∴DE+DB=AB=6． 故選C． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 7．根據(jù)下列已知條件，能唯一畫出△ABC的是（　?。? A．AB=3，BC=4，AC=8 B．AB=4，BC=3，∠A=30 C．∠A=60，∠B=45，AB=4 D．∠C=90，AB=6 【考點】全等三角形的判定． 【專題】作圖題；壓軸題． 【分析】要滿足唯一畫出△ABC，就要求選項給出的條件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的畫出的圖形不一樣，也就是三角形不唯一，而各選項中只有C選項符合ASA，是滿足題目要求的，于是答案可得． 【解答】解：A、因為AB+BC＜AC，所以這三邊不能構(gòu)成三角形； B、因為∠A不是已知兩邊的夾角，無法確定其他角的度數(shù)與邊的長度； C、已知兩角可得到第三個角的度數(shù)，已知一邊，則可以根據(jù)ASA來畫一個三角形； D、只有一個角和一個邊無法根據(jù)此作出一個三角形． 故選C． 【點評】此題主要考查了全等三角形的判定及三角形的作圖方法等知識點；能畫出唯一三角形的條件一定要滿足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的畫出的三角形不確定，當(dāng)然不唯一． 　 8．如圖是人字型金屬屋架的示意圖，該屋架由BC、AC、BA、AD四段金屬材料焊接而成，其中A、B、C、D四點均為焊接點，且AB=AC，D為BC的中點，假設(shè)焊接所需的四段金屬材料已截好，并已標(biāo)出BC段的中點D，那么，如果焊接工身邊只有可檢驗直角的角尺，而又為了準(zhǔn)確快速地焊接，他應(yīng)該首先選取的兩段金屬材料及焊接點是（　?。? A．AD和BC，點D B．AB和AC，點A C．AC和BC，點C D．AB和AD，點A 【考點】全等三角形的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SSS推知△ABD≌△ACD，則∠ADB=∠ADC=90． 【解答】解：根據(jù)題意知，∵在△ABD與△ACD中，， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠ADB=∠ADC=90， ∴AD⊥BC， 根據(jù)焊接工身邊的工具，顯然是AD和BC焊接點D． 故選：A． 【點評】本題考查了全等三角形的應(yīng)用．巧妙地借助兩個三角形全等，尋找角與角間是數(shù)量關(guān)系． 　 9．如圖，已知OQ平分∠AOB，點P為OQ上任意一點，點N為OA上一點，點M為OB上一點，若∠PNO+∠PMO=180，則PM和PN的大小關(guān)系是（　?。? A．PM＞PN B．PM＜PN C．PM=PN D．不能確定 【考點】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明PE=PF，根據(jù)三角形全等的判定定理證明△PFN≌△PEM，得到答案． 【解答】解：作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F， ∵OQ平分∠AOB， ∴PE=PF， ∵∠PNO+∠PNA=180，∠PNO+∠PMO=180， ∴∠PNA=∠PMO， 在△PFN和△PEM中， ， ∴△PFN≌△PEM， ∴PM=PN． 故選：C． 【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵． 　 10．如圖，已知點C是∠AOB的平分線上一點，點P、P′分別在邊OA、OB上．如果要得到OP=OP′，需要添加以下條件中的某一個即可，請你寫出所有可能的結(jié)果的序號為（　?。? ①∠OCP=∠OCP′； ②∠OPC=∠OP′C； ③PC=P′C； ④PP′⊥OC． A．①② B．④③ C．①②④ D．①④③ 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)所加條件，結(jié)合已知條件，能夠證明OP和OP′所在的三角形全等即可． 【解答】解：①若加∠OCP=∠OCP′，則根據(jù)ASA可證明△OPC≌△OP′C，得OP=OP′； ②若加∠OPC=∠OP′C，則根據(jù)AAS可證明△OPC≌△OP′C，得OP=OP′； ③若加PC=P′C，則不能證明△OPC≌△OP′C，不能得到OP=OP′； ④若加PP′⊥OC，則根據(jù)ASA可證明△OPC≌△OP′C，得OP=OP′． 故選C． 【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定方法是關(guān)鍵． 　 二、填空題 11．如圖，△ABC≌△ADE，∠B=100，∠BAC=30，那么∠AED=　50　度． 【考點】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】先運用三角形內(nèi)角和定理求出∠C，再運用全等三角形的對應(yīng)角相等來求∠AED． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C=180﹣∠B﹣∠BAC=50， 又∵△ABC≌△ADE， ∴∠AED=∠C=50， ∴∠AED=50度． 故填50 【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．是需要識記的內(nèi)容． 　 12．如圖，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，還需添加一個條件是　∠B=∠C?。ㄌ钌夏阏J(rèn)為適當(dāng)?shù)囊粋€條件即可）． 【考點】全等三角形的判定． 【專題】開放型． 【分析】根據(jù)題意，易得∠AEB=∠AEC，又AE公共，所以根據(jù)全等三角形的判定方法容易尋找添加條件． 【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC， 又 AE公共， ∴當(dāng)∠B=∠C時，△ABE≌△ACE（AAS）； 或BE=CE時，△ABE≌△ACE（SAS）； 或∠BAE=∠CAE時，△ABE≌△ACE（ASA）． 【點評】此題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角． 　 13．如圖，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，則有△ADF≌　△BCE　，且DF=　CE?。? 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】常規(guī)題型． 【分析】由題中條件可由ASA判定△ADF≌△BCE，進(jìn)而得出DF=CE． 【解答】解：∵AE=BF，∴AF=BE， ∵AD∥BC，∴∠A=∠D， 又AD=BC， ∴△ADF≌△BCE， ∴DF=CE． 故答案為：△BCE，CE． 【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，能夠熟練掌握． 　 14．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根據(jù)“HL”判定，還需要加條件　AB=AC　，若加條件∠B=∠C，則可用　AAS　判定． 【考點】直角三角形全等的判定． 【分析】要使△ABD≌△ACD，且利用HL，已知AD是直邊，則要添加對應(yīng)斜邊；已知兩角及一對應(yīng)邊相等，顯然根據(jù)的判定為AAS． 【解答】解：添加AB=AC ∵AD⊥BC，AD=AD，AB=AC ∴△ABD≌△ACD 已知AD⊥BC于D，AD=AD，若加條件∠B=∠C，顯然根據(jù)的判定為AAS． 【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角． 　 15．把兩根鋼條AA′、BB′的中點連在一起，可以做成一個測量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗），如圖，若測得AB=5厘米，則槽寬為　0.05　米． 【考點】全等三角形的應(yīng)用． 【專題】計算題． 【分析】連接AB，A′B′，根據(jù)O為AB′和BA′的中點，且∠A′OB′=∠AOB即可判定△OA′B′≌△OAB，即可求得A′B′的長度． 【解答】解：連接AB，A′B′， O為AB′和BA′的中點， ∴OA′=OB，OA=OB′， ∵∠A′OB′=∠AOB ∴△OA′B′≌△OAB， 即A′B′=AB， 故A′B′=5cm， 5cm=0.05m． 故答案為0.05． 【點評】本題考查了全等三角形在實際生活中的應(yīng)用，考查了全等三角形的證明和對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△OA′B′≌△OAB是解題的關(guān)鍵． 　 16．如圖，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=100，∠BAE=60，那么∠CAE=　40?。? 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】求出BD=CE和∠B的度數(shù)，根據(jù)SAS推出△ADB≌△AEC，推出∠C=∠B=40，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可． 【解答】解：∵BE=CD， ∴BE﹣DE=CD﹣DE， ∴BD=CE， ∵∠2=100，∠BAE=60， ∴∠B=∠2﹣∠BAE=40， ∵在△ADB和△AEC中 ∴△ADB≌△AEC， ∴∠C=∠B=40， ∵∠2+∠C+∠CAE=180， ∴∠CAE=180﹣100﹣40=40， 故答案為：40． 【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出△ADB≌△AEC，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等． 　 17．如圖，∠A=∠E，AC⊥BE，AB=EF，BE=10，CF=4，則AC=　6?。? 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由AAS證明△ABC≌△EFC，得出對應(yīng)邊相等AC=EC，BC=CF=4，求出EC，即可得出AC的長． 【解答】解：∵AC⊥BE， ∴∠ACB=∠ECF=90， 在△ABC和△EFC中，， ∴△ABC≌△EFC（AAS）， ∴AC=EC，BC=CF=4， ∵EC=BE﹣BC=10﹣4=6， ∴AC=EC=6； 故答案為：6． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等得出對應(yīng)邊相等是解決問題的關(guān)鍵． 　 18．如圖，∠C=90，AC=10，BC=5，AM⊥AC，點P和點Q從A點出發(fā)，分別在射線AC和射線AM上運動，且Q點運動的速度是P點運動速度的2倍，當(dāng)點P運動至　P點運動到AC中點　處時，△ABC與△APQ全等． 【考點】全等三角形的判定． 【分析】本題要分情況討論：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此時AP=BC=5cm，可據(jù)此求出P點的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此時AP=AC，P、C重合． 【解答】解：根據(jù)三角形全等的判定方法HL可知： ①當(dāng)P運動到AP=BC時， ∵∠C=∠QAP=90， 在Rt△ABC與Rt△QPA中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）， 即AP=BC=5， 即P點運動到AC中點； 故答案為：P點運動到AC中點． 【點評】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本題沒有說明全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解． 　 19．AD是△ABC的邊BC上的中線，AB=12，AC=8，則邊BC的取值范圍是　4＜BC＜20　；中線AD的取值范圍是　2＜AD＜10?。? 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【專題】計算題． 【分析】BC邊的取值范圍可在△ABC中利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行求解，而對于中線AD的取值范圍可延長AD至點E，使AD=DE，得出△ACD≌△EBD，進(jìn)而在△ABE中利用三角形三邊關(guān)系求解． 【解答】解：如圖所示， 在△ABC中，則AB﹣AC＜BC＜AB+AC， 即12﹣8＜BC＜12+8，4＜BC＜20， 延長AD至點E，使AD=DE，連接BE， ∵AD是△ABC的邊BC上的中線，∴BD=CD， 又∠ADC=∠BDE，AD=DE ∴△ACD≌△EBD，∴BE=AC， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC， 12﹣8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20， ∴2＜AD＜10． 故此題的答案為4＜BC＜20，2＜AD＜10． 【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系問題，能夠理解掌握并熟練運用． 　 20．如圖，BD是∠ABC的角平分線，DE⊥AB于E，△ABC的面積是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，則DE=　2　cm． 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】過點D，作DF⊥BC，垂足為點F，根據(jù)BD是∠ABC的角平分線，得DE=DF，根據(jù)等高的三角形的面積之比等于其底邊長之比，得△BDC與△BDA的面積之比，再求出△BDA的面積，進(jìn)而求出DE． 【解答】解：如圖，過點D，作DF⊥BC，垂足為點F ∵BD是∠ABC的角平分線，DE⊥AB， ∴DE=DF ∵△ABC的面積是30cm2，AB=18cm，BC=12cm， ∴S△ABC=?DE?AB+?DF?BC，即18DE+12DE=30， ∴DE=2（cm）． 故填2． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)；解題中利用了“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”、等高的三角形的面積之比等于其底邊長之比，三角形的面積計算公式等知識． 　 三、解答題 21．已知：如圖，∠ABC=∠DCB，BD、CA分別是∠ABC、∠DCB的平分線． 求證：AB=DC． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)和已知求出∠ACB=∠DBC，根據(jù)ASA推出△ABC≌△DCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可． 【解答】證明：∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABC，∠ACB=∠DCB， ∵∠ABC=∠DCB， ∴∠ACB=∠DBC， ∵在△ABC與△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（ASA）， ∴AB=DC． 【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△ABC≌△DCB，題目比較好，難度適中． 　 22．兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點O為邊AC和DF的交點，不重疊的兩部分△AOF與△DOC是否全等？為什么？ 【考點】全等三角形的判定． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)題意AB=BD，AC=DF，∠A=∠D，AB=BD，AC=DF可得AF=DC，利用AAS即可判定△AOF≌△DOC． 【解答】答：△AOF≌△DOC． 證明：∵兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF， ∴AB=DB，BF=BC， ∴AB﹣BF=BD﹣BC，∴AF=DC ∵∠A=∠D，∠AOF=∠DOC， 即， ∴△AOF≌△DOC（AAS）． 【點評】此題主要考查學(xué)生對全等三角形判定定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出AF=DC，AO=DO． 　 23．如圖，∠DCE=90，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分別為A、B．求證：AD+AB=BE． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，CD=CE，利用AAS得到三角形ECB與三角形CDA全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到BC=AD，BE=AC，由AB+BC=AC=BE，等量代換即可得證． 【解答】證明：∵∠ECB+∠DCA=90，∠DCA+∠D=90， ∴∠ECB=∠D， 在△ECB和△CDA中， ， ∴△ECB≌△CDA（AAS）， ∴BC=AD，BE=AC， ∴AD+AB=AB+BC=AC=BE． 【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 24．如圖，是一個用六根竹條連接而成的凸六邊形風(fēng)箏骨架，考慮到骨架的穩(wěn)定性、對稱性、實用性等因素，請再加三根竹條與其頂點連接． 要求：在圖（1）、（2）中分別加三根竹條，設(shè)計出兩種不同的連接方案．（用直尺連接） 【考點】利用軸對稱設(shè)計圖案． 【專題】方案型． 【分析】本題主要是利用軸對稱圖形的性質(zhì)來畫，本題為開放題答案不唯一． 【解答】解：． 【點評】本題主要考查了軸對稱圖形的性質(zhì)． 　 25．已知：如圖①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50 （1）求證：①AC=BD；②∠APB=50； （2）如圖②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，則AC與BD間的等量關(guān)系為　AC=BD　，∠APB的大小為　α　 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)∠AOB=∠COD=50求出∠AOC=∠BOD，根據(jù)SAS推出△AOC≌△BOD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=BD，∠CAO=∠DBO， 根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，推出∠APB=∠AOB即可． （2）根據(jù)∠AOB=∠COD=50求出∠AOC=∠BOD，根據(jù)SAS推出△AOC≌△BOD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=BD，∠CAO=∠DBO， 根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，推出∠APB=∠AOB即可． 【解答】證明：（1）∵∠AOB=∠COD=50， ∴∠AOC=∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD， ∴AC=BD，∠CAO=∠DBO， 根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB， ∴∠APB=∠AOB=50． （2）解：AC=BD，∠APB=α， 理由是：）∵∠AOB=∠COD=50， ∴∠AOC=∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD， ∴AC=BD，∠CAO=∠DBO， 根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB， ∴∠APB=∠AOB=α， 故答案為：AC=BD，α． 【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出△AOC≌△BOD，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等． 　 26．如圖①A、E、F、C在一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD． （1）圖①中有　3　對全等三角形，并把它們寫出來　△AFB≌△DEC，△DEG≌△BFG，△AGB≌△CGD　； （2）求證：BD與EF互相平分于G； （3）若將△ABF的邊AF沿GA方向移動變?yōu)閳D②時，其余條件不變，第（2）題中的結(jié)論是否成立，如果成立，請予證明． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（1）利用A、E、F、C在一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD可判斷全等三角形的個數(shù)． （2）先根據(jù)DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求證△ABF≌△CDE，再求證△DEG≌△BFG，即可． （3）先根據(jù)DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求證△ABF≌△CED，再求證△BFG≌△DEG，即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）圖①中有3對全等三角形，它們是△AFB≌△DEC，△DEG≌△BFG，△AGB≌△CGD． （2）∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB=∠CED=90 ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， 即AF=CE， 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL）， ∴ED=BF． 由∠AFB=∠CED=90得DE∥BF， ∴∠EDG=∠GBF， ∵∠EGD和∠FGB是對頂角，ED=BF， △DEG≌△BFG， ∴EG=FG，DG=BG， 所以BD與EF互相平分于G； （3）第（2）題中的結(jié)論成立， 理由：∵AE=CF， ∴AE﹣EF=CF﹣EF，即AF=CE， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB=∠CED=90， 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL）， ∴BF=ED． ∵∠BFG=∠DEG=90， ∴BF∥ED， ∴∠FBG=∠EDG， ∴△BFG≌△DEG， ∴FG=GE，BG=GD， 即第（2）題中的結(jié)論仍然成立． 【點評】此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題難度并不大，但是需要證明多次全等，步驟繁瑣，是一道綜合性較強的中檔題．