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第十八章 勾股定理 本章小結 從容說課 勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結論，它有著悠久的歷史，在數(shù)學發(fā)展中起過重要作用，在現(xiàn)實世界中也有著廣泛的應用，勾股定理的發(fā)現(xiàn)．驗證和應用蘊涵著豐富的文化價值．勾股定理從邊的角度進一步刻畫了直角三角形的特征，通過對勾股定理的學習，學生對直角三角形有了更進一步的認識和理解． 為了使學生更好地認識勾股定理和它的逆定理，更好地運用他的解決實際生活中的問題，通過回顧已學過的知識，加強對勾股定理及逆定理的理解和應用． 在本章，數(shù)形結合的思想有較多的體現(xiàn)，教學中應更進一步地滲透這種思想，讓學生更進一步體驗從代數(shù)表示聯(lián)想到有關的幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關的代數(shù)表示，這有助于學生認識數(shù)學的內(nèi)在聯(lián)系． 勾股定理和逆定理在現(xiàn)實世界中有著較為廣泛的應用。在本小結中應讓學生更進一步體會它們在解決問題中的作用，認識現(xiàn)實世界中蘊涵著豐富的數(shù)學信息．進一步介紹有關勾股定理的歷史，體現(xiàn)其文化價值．這一定理又導致了無理數(shù)的產(chǎn)生——數(shù)學歷史上的第一次數(shù)學危機． 本章小結 三維目標 一、知識與技能 1．對直角三角形的特殊性質(zhì)全面地進行總結． 2．讓學生回顧本章的知識，同時重溫這些知識尤其是勾股定理的獲得和驗證的過程；體會勾股定理及其逆定理的廣泛應用． 3．了解勾股定理的歷史． 二、過程與方法 1．體會在結論獲得和驗證過程中的數(shù)形結合的思想方法． 2．在回顧與思考的過程中，提高學生解決問題，反思問題的能力，鼓勵學生具有創(chuàng)新精神． 三、情感態(tài)度與價值觀 1．在反思和交流的過程中，體驗學習帶來的無盡的樂趣． 2．通過對勾股定理歷史的了解，培養(yǎng)學生的愛國主義精神，體驗科學給人類帶來的力量． 教學重點 1．回顧并思考勾股定理及其逆定理獲得和驗證的過程；總結直角三角形邊、角之間分別存在的關系． 2．體會勾股定理及其逆定理在生活中的廣泛應用． 教學難點 1．勾股定理及其逆定理的廣泛應用． 2．建立本章的知識框架圖， 教具準備 多媒體課件． 教學過程 一、引入新課 勾股定理，我們把它稱為世界第一定理．它的重要性，通過這一章的學習已深有體驗．首先，勾股定理是數(shù)形結合的最典型的代表；其次，了解勾股定理歷史的同學知道，正是由于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，導致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了數(shù)學的第一次危機，這一點，我們將在《實數(shù)》一章里講到．第三，勾股定理中的公式是第一個不定方程，有許許多多的數(shù)滿足這個方程，也是有完整解答的最早的不定方程，由此由它引導出各式各樣的不定方程，最為著名的就是費馬大定理，直到1995年，數(shù)學家懷爾斯才將它證明． 勾股定理是我們數(shù)學史的奇跡，我們已經(jīng)比較完整地研究了這個先人給我們留下來的寶貴的財富，這節(jié)課，我們將通過回顧與思考中的幾個問題更進一步了解勾股定理的歷史，勾股定理的應用． 二、回顧與思考 問題1：直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關系? 師：在上一學期我們已對直角三角形有所涉及，而這一章我們又重點研究了直角三角形的性質(zhì)．現(xiàn)在我們來回答問題1，從直角三角形的邊、角的特殊性角度全面地進行總結． 生：從邊的關系來說，當然就是勾股定理；從角的關系來說，由于直角三角形中有一個特殊的角即直角，所以直角三角形的兩個銳角互余． 生：我認為直角三角形作為一個特殊的三角形，如果又有一個銳角是30，那么30的角所對的直角邊是斜邊的一半． 師：很好．我們的學習就應該是一個不斷總結、概括、創(chuàng)新的過程．隨著以后的學習，你會發(fā)現(xiàn)，直角三角形還有它更吸引人的地方．下面我們來看第2個問題． 問題2：舉例說明，如何判斷一個三角形是直角三角形． 生：判斷一個三角形是直角三角形可以從角、邊兩個方面去判斷． 例如：①在△ABC中，∠B＝75，∠C＝15，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得∠A＝90．根據(jù)定義可判斷△ABC是直角三角形． ②在△ABC中．∠A＝∠B＝∠C，由三角形的內(nèi)角和定理可知∠A＋2∠A＋3∠A＝180，所以∠A＝30，∠B＝2∠A＝60，∠C＝3∠A＝90，△ABC是直角三角形． 上面兩個例子都是從定義即從角出發(fā)去判斷一個三角形是直角三角形． 生：我來說一下從邊如何去判斷一個三角形是直角三角形吧．其實從邊來判斷直角三角形它的理論依據(jù)就是判定直角三角形的條件(即勾股定理的逆定理)． 例如：①△ABC的三條邊分別為a＝7，b＝25，c＝24，而a2＋c2＝72＋242＝625＝252＝b2，，即a2＋c2＝b2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．但這里要注意的是b所對的角∠B＝90． ②△ABC三條邊的比為a:b:c＝5:12:13，則可設a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形． 師：同學們對我們所學知識能很靈活地運用．在談到應用這些知識的同時，我們不妨重溫一下勾股定理的獲得和驗證的過程，體會驗證過程中的數(shù)形結合的思想和方法，對于我們將來學習和研究數(shù)學會大有益處． 生：勾股定理獲得是從一些特例猜想得到的．我們在方格紙上任意畫出一個直角三角形，使它的每個頂點都在方格紙的交點上，然后以它的每個邊為邊長在外部長出三個正方形，我們通過討論、計算、數(shù)格子的方法得到了三個正方形的面積，并且發(fā)現(xiàn)以斜邊為邊長的正方形的面積等于那兩個以直角邊為邊長的正方形的面積和，我們設直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，大正方形的面積是c2，兩個小正方形的面積為a2、b2，由上面的關系，我們猜想，是不是所有的直角三角形都有a2＋b2＝c2這個結論呢? 師：這位同學的思路很好．勾股定理又是如何驗證的呢? 生：先是又找了幾個特例驗證，發(fā)現(xiàn)這個結論正確。但我們不可能把所有的直角三角形都拿來驗證，僅此說明它正確，又不可信．接下來．我們就用先人的方法——拼圖，從一般意義上證明了勾股定理：取四個全等的直角三角形，將它們拼擺，得到一個以斜邊為邊長的正方形，通過用兩種方法表示拼出的整個圖形的面積，找到相等關系，從而得到勾股定理． 師：在我們的數(shù)學史上，好多結論的發(fā)現(xiàn)都是這樣一個過程，都是從幾個或大量的特例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想出結論，然后以前面的理論作為基礎，證明猜想，一個偉大的成果就誕生了．掌握這種研究數(shù)學的方法，大膽創(chuàng)新，刻苦鉆研，說不一定你就是未來的商高，第二個趙爽． 問題3：請你舉生活中的一個實例，并運用勾股定理解決它． (這個問題可讓學生在小組內(nèi)先交流討論，實例已由學生事先準備好，然后每組推薦一個最好的實例，展示給全班同學．在全班進行交流) 生：例如：臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風暴，有極強的破壞力．如下圖，據(jù)氣象觀測，距沿海城市A的正南方向260千米B處有一臺風中心，沿BC的方向以15千米／時的速度向D移動，已知AD是城市A距臺風中心的距離最短，且AD＝100千米，求臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點? 解：根據(jù)題意可知AD⊥BC． 在Rt△ABD中，AB＝260千米，AD＝100千米，AB2＝AD2＋BD2，所以BD2＝AB2－AD2＝2602－1002＝2402，BD＝240千米．則臺風中心經(jīng)過240千米15千米／時＝16(小時)從B點移到D點． 生：例如：一個長為10米的梯子斜靠在墻上．梯子的頂端距地面的垂直高度為8米，梯子的頂端下滑2米后，底端將水平滑動2米嗎?試說明理由． 解：根據(jù)題意，可知：下圖中AB＝DE＝10米，AC＝8米，AD＝2米，所以DC＝8－2＝6米． 在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝102－82＝36，BC＝6米，在Rt△CDE中，CE2＝DC2－CD2＝102－62＝82，CE＝8米，則BE＝CE－CB＝8－6＝2米． 所以頂端向下滑動2米，底端也水平滑動2米． 師：我們從學習這一章開始，就讓同學們通過各種渠道收集勾股定理史料．現(xiàn)在我們就來介紹一下你們收集到的有關勾股定理的史料吧． 問題4：你了解勾股定理的史料嗎? 回在上古時代，人類雖然“愚昧無知”，但是，當他們仰望蒼穹時，也會引起無窮無盡的遙想，經(jīng)常有人提出這樣的問題：天有多高? 要是從天地的形成來解釋，也是有數(shù)的，據(jù)說，天和地原先是混沌的一團，像個大雞蛋，后來降生一個神，叫盤古，由他來開天辟地．據(jù)說“天日高一丈，地日厚一丈，盤古日長一丈，如此萬八千歲……”盤古的身子每天長高一丈，一萬八千年后，這個頂天立地的大漢有多高，天也就是多高了． 雖然人們竭力探索通往天庭的路徑，但希望是渺茫的。 約在公元前12世紀，周朝政治家姬旦(即周公)首先考慮到確定“天高”的問題．當時，他要搞一番建設事業(yè)，需要廣泛的科學技術的知識，也涉及測量問題，于是，他就把知名的學者商高找來，問道：“聽說你的數(shù)學造詣很深，請你談談，古代伏羲是怎樣確定天球的度數(shù)的?沒有臺階走上天庭，也沒有辦法用尺子量測大地，那么，怎么知道天高地廣的數(shù)呢?” 這就是數(shù)學史上有名的“周公問數(shù)”．這段話記載在《周髀算經(jīng)》的首頁． 昔者，周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出?” 《骨髀算經(jīng)》問世至今已經(jīng)兩千年了．它所寫的周公則是距今三千年以前的古人．他居然能夠提這樣大膽的設想——測天量地，實在難能可貴．不過，被問者商高也不含糊，當即胸有成竹地作出合乎科學道理的回答． 商高認為：“數(shù)之法出自圓方?！庇谑撬?lián)想到存在于矩之中的微妙內(nèi)在關系：“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五．”從此建立了直角三角形中的三邊關系，即勾、股、弦構成三、四、五的關系． 商高的這樁發(fā)現(xiàn)在數(shù)學史上形成了一個新的里程碑，是對人類處理生活和生產(chǎn)問題，以及加強對大自然斗爭手段的重要貢獻．后人在他的基礎上進一步探索，終于確定了“勾股定理”：a2＋b2＝c2．式中a、b——直角三角形直角邊；c——直角三角形的斜邊． 商高答問的時間約在公元前12世紀，而在西方，則在公元前6世紀才由古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)“畢氏定理”(即我國的“勾股定理”)． 那么，回到“天有多高”問題上來，商高用什么方法來測天量地呢? 他的主要方法就是使用直角三角形中的勾、股、弦關系，并且確信，除非數(shù)學被應用于水工技術，否則大禹是不可能戰(zhàn)勝洪水的． 就這樣，《周髀算經(jīng)》提出一則“榮子與陳子的回答”的故事來具體說明商高方法的應用． 師：這位同學講得很好．陳子測日高的方法確實是一項了不起的發(fā)明，雖然由于大地不是平的，導致所得結果的誤差太大，因此用這種方法測日高是不準確的，但是，這種方法卻可以用于測量高聳景物的高度和距離，陳子稱自己的方法是“望遠起高之術”，為后人測度“可望不可及”的景物提供極好的線索。 由于時間關系，對勾股定理的歷史同學們可繼續(xù)收集，交流、討論． 三、課時小結 通過回顧與思考中的問題的交流．由同學們自己建立本章的知識結構圖． 板書設計 本章小結 1．回顧與思考 問題1：直角三角形的邊，角之間分別存在什么關系? 在Rt△ABC中，∠C＝90，則有∠A＋∠B＝90，a2＋b2＝c2． 問題2：舉例說明，如何判斷一個三角形是直角三角形? 在△ABC中．①如果∠A＋∠B＝90，則△ABC是直角三角形．②如果a2＋b2＝c2，則△ABC是直角三角形． 問題3：舉生活實例，用勾股定理解決它． 例1．臺風問題 例2．梯子問題 問題4：勾股定理史料 2．本章知識結構圖 ====================================================================== 活動與探究 如下圖，折疊長方形(四個角都是直角，對邊相等)的一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知AD＝8cm，DC＝10cm，求EC的長． 過程：“折疊”問題是數(shù)學中常見問題之一．由折疊的過程可知．△AFE≌△ADE、AD＝AF，DC＝EF，在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，BF2＝AF2－AB2＝102－82＝62，BF＝6， FC＝BC－BF＝10－6＝4cm，如果設CE＝xcm，DE＝(8－x)cm，所以EF＝(8－x)cm． 在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2，用這個關系就可建立關于x的方程．解出x便求得CE． 結果：解：根據(jù)題意，得 (8－x)2＝42＋x2 所以x＝3，即CE的長為3cm． 習題詳解 復習題18 1．解：兩人從同一地點同時出發(fā)．10分后，一人向北直行200米，一人向東直行300米，此時，他們相距＝100米． 2．解：根據(jù)題意AC＝＝＝110mm．所以兩孔中心的垂直距離110mm． 3．解：覆蓋在頂上的塑料薄膜需 d＝10≈33.5m2． 4．解：根據(jù)題意，設三角形的三邊分別為k，k，2k，(k)2＋k2＝(2k)2，所以這個三角形是直角三角形． 5．(1)逆命題：同位角相等，兩條直線平行．此逆命題成立； (2)逆命題：如果兩個數(shù)的積是正數(shù)，那么這兩個數(shù)是正數(shù)，此逆命題不成立； (3)逆命題；銳角三角形是等邊三角形，此逆命題不成立； (4)逆命題：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．此逆命題成立． 6．解：(1)四邊形ABCD的面積為： 56－(24＋15＋21＋14＋15) ＝30－(4＋＋1＋2＋6)＝30－13－＝14.5． 四邊形ABCD的周長為：＝2＋＋＝3＋ (2)BC＝2，CD＝，BD＝5 (2)2＋()2＝25． 所以BC2＋CD2＝BD2．即∠BCD為直角． 7．解：設折斷處離地面的高度是x尺，根據(jù)題意，得 (10－x)2＝x2＋32 解，得x＝； 所以折斷處離地面的高度為尺， 8．解：圓柱底面的周長為12πcm，則 螞蟻從A點爬到B點的最短路程＝≈14.6cm． 9．解：根據(jù)題意長方體的斜對角線的長度＝≈70.7cm． 70cm＜70.7cm． 所以一根70cm長的木棒，可以放在長、寬、高分別是30cm、40cm、50cm的長方體木箱中。