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＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 無限長(zhǎng)弦的一般強(qiáng)迫振動(dòng)定解問題 解 三維空間的自由振動(dòng)的波動(dòng)方程定解問題 在球坐標(biāo)變換 (r=at) 無界三維空間自由振動(dòng)的泊松公式 二維空間的自由振動(dòng)的波動(dòng)方程定解問題 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 傅立葉變換 基本性質(zhì) 線性性質(zhì) 微分性質(zhì) 若則 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 拉普拉斯變換 基本性質(zhì) ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三個(gè)格林公式 高斯公式：設(shè)空間區(qū)域V是由分片光滑的閉曲面S所圍成，函數(shù)P,Q,R在V上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則： 或 第一格林公式：設(shè)u(x,y,z),V(x,y,z)在S?SV上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，它們?cè)赩中有二階偏導(dǎo)，則： 第二格林公式：設(shè)u(x,y,z),V(x,y,z)在S?SV上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，它們?cè)赩中有二階偏導(dǎo)，則： 第三格林公式 設(shè)M0，M是V中的點(diǎn)，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)滿足第一格林公式條件，則有： 定理1：泊松方程洛平問題 的解為： 推論1：拉氏方程洛平問題 的解為： ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 調(diào)和函數(shù) 1、定義：如果函數(shù)u(x,y,z)滿足:(1) 在具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；(2) 稱u為V上的調(diào)和函數(shù)。 2、調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)。 性質(zhì)1 設(shè) u(x,y,z) 是區(qū)域 V 上的調(diào)和函數(shù)，則有 推論2：拉氏牛曼問題（牛曼問題解不穩(wěn)定沒有得到公式解）有解的充分必要條件是： 性質(zhì)2 設(shè)u(x,y,z) 是區(qū)域V上的調(diào)和函數(shù)，則有 : 性質(zhì)3 : 設(shè)u(x,y,z)是區(qū)域V 上的調(diào)和函數(shù)，則在球心的值等于它在球面上的算術(shù)平均值，即: 其中SR是以M0為球心,R為半徑的球面 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三維空間中狄氏問題格林函數(shù) 泊松方程狄氏問題為： 其中： 如果G(M,M0)滿足： 則可得泊松方程狄氏解定理 定理：泊松方程狄氏解為： 其中G(M,M0)滿足： 推論：拉氏方程狄氏解為： 平面中的三個(gè)格林公式 首先證明一個(gè)定理： 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，且f(x,y)在D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n為曲線的外法線方向，則： (1) 第一格林公式 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，且u(x,y),v(x,y)在D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n為曲線的外法線方向。 (2) 第二格林公式 (3) 第三格林公式：設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，且u(x,y)在D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n為曲線的外法線方向，令： 定理：平面泊松方程洛平問題 的解為： 推論：平面拉氏方程洛平問題 的解為： 定理：平面泊松方程狄氏問題的解為： 推論：平面拉氏方程狄氏解為： 平面狄氏格林函數(shù) ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 特殊區(qū)域上狄氏問題格林函數(shù) 1．球形域內(nèi)狄氏問題格林函數(shù) 格林函數(shù)為： 其中： 球域內(nèi)狄式問題的解 其中： 球域上狄氏問題的解的球坐標(biāo)表達(dá)式 所以： 2．上半空間狄氏問題的Green函數(shù) 所以上半空間泊松方程狄氏問題的解為： 上半空間拉氏方程狄氏問題的解為： 3．上半平面狄氏問題的Green函數(shù) ， 上半平面上泊松方程狄氏解 上半平面上拉氏方程狄氏解 4．圓域上泊松與拉氏方程狄氏解的GREEN函數(shù) ， 圓域上泊松與拉氏方程狄氏解 5．第一象限上狄氏問題的Green函數(shù) ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三種典型方程的基本解問題 1． 泊松方程的基本解 方程的解稱為泊松方程的基本解。 三維空間泊松方程的基本解 平面泊松方程基本解為： 特解應(yīng)該為基本解與函數(shù)f的卷積 2．熱傳導(dǎo)方程柯西問題基本解 定解問題：的解，稱為定解問題的基本解。 基本解為： 定解為基本解與初始函數(shù)的卷積 3．熱傳導(dǎo)方程混合問題基本解 定解問題的解稱為定解問題的基本解 定解與基本解的關(guān)系為 4．波動(dòng)方程柯西問題基本解 定解問題的解稱為定解問題的基本解 基本解為： 定解與基本解的關(guān)系為： 貝塞爾函數(shù) 》 》 正、負(fù)n階第一類貝塞爾函數(shù) 第二類Bessel函數(shù) Bessel函數(shù)的母函數(shù) 當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)可得， Bessel函數(shù)的積分表達(dá)式 當(dāng)n為整數(shù)時(shí)： 貝塞爾函數(shù)的遞推公式 n 階整數(shù)階貝塞爾函數(shù)有： 貝塞爾函數(shù)的正交性 貝塞爾函數(shù)系 定義：定積分：稱為貝塞爾函數(shù)的模。 2、貝塞爾級(jí)數(shù)展開定理：設(shè)在區(qū)間[0,R]上至多有有限個(gè)跳躍間斷點(diǎn)，則f(x)在(0,R)連續(xù)點(diǎn)處的貝塞爾級(jí)數(shù)收斂與該點(diǎn)的函數(shù)值，在間斷點(diǎn)處收斂于該點(diǎn)左右極限的平均值 其中 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 勒讓德方程 考慮球域內(nèi)拉氏方程定解問題 在球坐標(biāo)系下 勒讓德方程 令， 取m=0時(shí)得 勒讓德多項(xiàng)式 當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí) 當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí) n次第一類勒讓德多項(xiàng)式 勒讓德多項(xiàng)式的羅得利克公式 勒讓德多項(xiàng)式的積分表達(dá)式 勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù) 勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式(重點(diǎn)) （n=1,2,3….. ） 勒讓德多項(xiàng)式正交性定理 勒讓德多項(xiàng)式展開定理：若 且：f ‘’(x)在[-1,1]上分段連續(xù)，則在[-1,1]上可以展開為絕 對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)： 其中 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 牛頓二項(xiàng)式展開式 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 泰勒級(jí)數(shù)