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廣東省2017屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練 立體幾何 一、選擇、填空題 1、（2016年全國(guó)I卷）如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是 （A）17π （B）18π （C）20π （D）28π 2、（2016年全國(guó)I卷）平面過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，則m，n所成角的正弦值為 （A） （B） （C） （D） 3、（2015年全國(guó)I卷）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ ） A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 4、（2015年全國(guó)I卷）圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16 + 20，則r= （A）1（B）2（C）4（D）8 5、（2016年全國(guó)II卷）右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為 （A）20π （B）24π （C）28π （D）32π 6、（佛山市2016屆高三二模）已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖 2 所示,則該幾何體的體積為( 　　) A． B． C． D．2 7、（廣州市2016屆高三二模）如圖, 網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長(zhǎng)為, 粗實(shí)線畫出 的是某幾何體的三視圖, 則該幾何體的體積是 (A) (B) (C) (D) 8、（茂名市2016屆高三二模）若幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為 ( ) A. B. C． D． 9、（汕頭市2016屆高三二模）已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)都為，則它的外接球的體積為 ( ) A. B. C. D. 10、（深圳市2016屆高三二模）．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則它的體積為（ ） A． B． C． D． 11、（汕頭市2016屆高三上期末）已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，給出下列命題： ①若，則； ②若，則； ③若，則； ④若，且， 則，其中真命題的個(gè)數(shù)是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 12、（汕尾市2016屆高三上期末）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為 ( ) 二、解答題 1、（2016年全國(guó)I卷）A B F E D C 如圖，在已A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是． （I）證明平面ABEFEFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值． 2、（2016年全國(guó)II卷）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△的位置. （I）證明：平面ABCD； （II）求二面角的正弦值. 3、（2015年全國(guó)I卷）如圖，，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）證明：平面AEC⊥平面AFC （2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值 [ 4、（2014年全國(guó)I卷）如圖三棱柱中，側(cè)面為菱形，. (Ⅰ) 證明：； （Ⅱ）若，，AB=BC 求二面角的余弦值. 5、（佛山市2016屆高三二模）如圖，在直四棱柱中，． （1）求證：平面平面； （2）若,直線BC與平面A1BD所成的角能否為45？并說(shuō)明理由． 6、（廣州市2016屆高三二模）如圖，在多面體中，△是等邊三角形，△是等腰直角三角形， ，平面平面，平面. (Ⅰ)求證：； (Ⅱ)若，求直線與平面所成角的正弦值. 7、（茂名市2016屆高三二模）如圖1，已知四邊形為菱形，且,,為 的中點(diǎn)?，F(xiàn)將四邊形沿折起至，如圖2。 （I）求證： （II）若二面角的大小為， 求平面ABH與平面ADE所成銳二面角的余弦值。 8、（深圳市2016屆高三二模） 在三棱柱中，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正方體．點(diǎn)分別在線段上，且． （1）證明：平面平面； （2）若，求直線與平面所成角的正弦值． 9、（潮州市2016屆高三上期末）如圖，在四棱錐B－ACDE中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，∠ABC＝3∠BAC＝90，BF⊥AC于F，AC＝4CD＝4，AE＝3。 （I）求證：BE⊥DF； （II）求二面角B－DE－F的平面角的余弦值。 10、（佛山市2016屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）） 如圖，三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让?，? ，，為棱 的中點(diǎn)，在棱上， 面． （1）求證：為的中點(diǎn)； （2）求二面角的余弦值． 11、（惠州市2016屆高三第三次調(diào)研考試） 如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)。 （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）取，若為上的動(dòng)點(diǎn)，與面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。 參考答案 一、選擇、填空題 1、 【答案】A 【解析】 試題分析：由三視圖知：該幾何體是個(gè)球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以它的表面積是，故選A． 2、【答案】A 如圖所示： ∵，∴若設(shè)平面平面，則 又∵平面∥平面，結(jié)合平面平面 ∴，故 同理可得： 故、的所成角的大小與、所成角的大小相等，即的大小． 而（均為面對(duì)交線），因此，即． 故選A． 3、【答案】B 考點(diǎn)：圓錐的體積公式 4、【答案】B 5、【解析】C 幾何體是圓錐與圓柱的組合體， 設(shè)圓柱底面圓半徑為，周長(zhǎng)為，圓錐母線長(zhǎng)為，圓柱高為． 由圖得，，由勾股定理得：， ， 故選C． 6、B 7、B 8、答案A，提示：由幾何體的三視圖知它是底面是正方形且有一側(cè)棱垂于底面的 四棱錐，可把它補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，所以， 它的外接球表面積為 9、A 10.【答案】D 【解析】該幾何體的直觀圖，如圖： ，， ∴． 11、C　　12、A 二、解答題 1、⑴ ∵為正方形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴面 面 ∴平面平面 ⑵ 由⑴知 ∵ 平面 平面 ∴平面 平面 ∵面面 ∴ ∴ ∴四邊形為等腰梯形 以為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè) ，， 設(shè)面法向量為. ，即 設(shè)面法向量為 .即 設(shè)二面角的大小為. 二面角的余弦值為 2、【解析】⑴證明：∵， ∴， ∴． ∵四邊形為菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴面． ⑵建立如圖坐標(biāo)系． ，，，， ，，， 設(shè)面法向量， 由得，取， ∴． 同理可得面的法向量， ∴， ∴． 3、【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ） ∴，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， ∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ……6分 （Ⅱ）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0, )，F(xiàn)（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分 故. 所以直線AE與CF所成的角的余弦值為. ……12分 考點(diǎn)：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計(jì)算；空間想象能力，推理論證能力 4、【解析】：(Ⅰ)連結(jié)，交于O，連結(jié)AO．因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以^，且O為與的中點(diǎn)．又，所以平面，故=又，故 ………6分 （Ⅱ）因?yàn)榍襉為的中點(diǎn)，所以AO=CO=又因?yàn)锳B=BC=，所以 故OA⊥OB^，從而OA，OB，兩兩互相垂直． 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)閤軸正方向，OB為單位長(zhǎng)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-．因?yàn)?，所以為等邊三角形．又AB=BC=，則 ，，， ， 設(shè)是平面的法向量，則 ，即 所以可取 設(shè)是平面的法向量，則，同理可取 則，所以二面角的余弦值為. 5、【解析】（1）證明：∵， ∴為正三角形，∴． ∵,為公共邊， ∴． ∴,∴． ∵四棱柱是直四棱柱， ∴平面，∴． ∵，∴平面． ∵平面，∴平面平面． （2） 設(shè)ACBD= O ,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O- xyz 如圖所示, 不妨設(shè) AB = 2 , AA1 = h ( h > 0 ),則 OA = , OB = OD = OC = 1 , 設(shè)平面 A1 BD 的法向量為 n = ( x, y, z ) ,則 若直線BC 與平面 A1 BD 所成的角為45 ,則 故直線BC 與平面 A1 BD 所成的角不可能為45 .…12 分 6、(Ⅰ)證明：取的中點(diǎn),連接,. ∵ △是等邊三角形， ∴ . …………………………………………1分 ∵ △是等腰直角三角形，， ∴ . …………………………………………2分 ∵ 平面平面，平面平面，平面， ∴ 平面. …………………………………3分 ∵ 平面, ∴ ∥. ∴ ,,,四點(diǎn)共面. …………………………4分 ∵ ,平面,平面, ∴ 平面. ………………………………5分 ∵ 平面, ∴ . ………………………………………………………6分 (Ⅱ)解法1: 作,垂足為,則. ∵ △是等邊三角形，, ∴ ,. 在Rt△中, .………………7分 ∵ △是等腰直角三角形，， ∴ . ∴. …………………………………8分 如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸, 所在直 線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系, 則,,,. ∴ ,,. 設(shè)平面的法向量為, 由,,得 …………………………9分 令,得,. ∴ 是平面的一個(gè)法向量. …………………………10分 設(shè)直線與平面所成角為, 則. …………………………11分 ∴直線與平面所成角的正弦值為. …………………………12分 解法2: 作,垂足為,則. ∵ △是等邊三角形，, ∴ ,. 在Rt△中, . ………………7分 ∵ △是等腰直角三角形，， ∴ . ∴.………………………………………………8分 由(Ⅰ)知∥， ∵ 平面,平面, ∴ ∥平面. ∴ 點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離. 作,垂足為, ∵平面，平面， ∴. ∵平面,平面,, ∴平面,且. …………………………9分 在Rt△中,, 在Rt△中,, ∴ △的面積為. 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為, 由, 得, 得. ……………………………10分 設(shè)直線與平面所成的角為, 則. ………………………………………………11分 ∴直線與平面所成角的正弦值為. ………………………12分 注:求的另法. 由, 得,得. 7、解：(1)證明: 四邊形為菱形，且 …………1分 又 ………………………………3分 又……………4分 ……………5分 (注：三個(gè)條件中，每少一個(gè)扣1分) (2)解法一:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以線段所在直線為軸,再以過(guò)點(diǎn)且垂直于 平面且向上的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示. 平面,為二面角的一個(gè)平面角, ……………………………6分 則,,………7分 則. 設(shè),則 由得 解得………8分 那么.設(shè)平面的法向量為,則,即. 即. ………………………………………………9分 而平面的一個(gè)法向量為. ……………………………………10分 設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為 則. ………………………………………………11分 所以平面ABH與平面ADE所成銳二面角的余弦值為………………………12分 解法二:分別取中點(diǎn),連結(jié).由平面, 可知為二面角的平面角,即有.……………6分 為中點(diǎn),.,平面. 則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線為軸, 建立空間直角坐標(biāo)系,如右圖. 則由條件,易得,,,.……………7分 再設(shè),而,, 則由,有,得. 由,可得. 將帶入,可得, 即,……………………8分 則.而,設(shè)平面法向量為, 則,即. 令,得,即.…………………………9分 而平面的一個(gè)法向量為.………………………………10分 設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為 則.………………………………………11分 所以平面ABH與平面ADE所成銳二面角的余弦值為………………12分 解法三:過(guò)點(diǎn)作且至點(diǎn),延長(zhǎng)至點(diǎn),使. 連結(jié),則為三棱柱. 延長(zhǎng)交于點(diǎn),連結(jié) 由三棱柱性質(zhì),易知,則平面. 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn), 過(guò)作于點(diǎn). 平面,, ,平面,即,. ,平面, 故為平面與平面所成銳二面角的一個(gè)平面角, 即為平面與平面所成銳二面角的一個(gè)平面角. …………………………8分 易得,即為正三角形. ,. ,,則,故. ,.故,……11分 即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.………12分 8、【解析】（1）取線段中點(diǎn)，連接， 在正方體中，， 在和中，， 又，∴， ∴， 從而， ∴，即． 又， ∴平面， ∵平面， ∴ ， 在等腰三角形中，， 又與相交，知平面， ∵平面， ∴平面平面； （2）在等腰三角形中，由 知，且， 記線段中點(diǎn)為，連接，由（1）知，兩兩互相垂直， 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則， 設(shè)平面的法向量為，則， 即， 取，則，從而得到平面的一個(gè)法向量． ，記直線與平面所成角為， 則． 故直線與平面所成角的正弦值為． 9、 方法一： （Ⅰ）證明：∵AE⊥平面ABC，平面ABC． ∴AE⊥BF， ∵BF⊥AC，， ∴BF⊥平面AEC，平面AEC， ∴BF⊥DF，……………………………………………..…2分 ∵，又， ∴．． ∴， 又BF⊥AC．∴， 又CD∥AE，AE⊥平面ABC，∴CD⊥平面ABC． 又平面ABC．∴CD⊥AC，∴． 又，∴， ∴，即DF⊥EF．……………………………..…4分 又，BF、平面BEF． ∴DF⊥平面BEF，平面BEF． ∴DF⊥BE；………………………………………………………6分 （Ⅱ）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接． 由（Ⅰ）知BF⊥平面AEC，又平面AEC， (所以． 又，、平面， 所以平面．又平面，) 所以．(三垂線定理) 故二面角的平面角．…………………8分 在中，． 在中，．………….……9分 在中，． 由得．………10分 在中，． 在中，．……………11分 所以． ∴二面角的平面角的余弦值為. …….………..………12分 方法二： 過(guò)F作，由AE⊥平面ABC可知Fz⊥平面ABC， 又、平面ABC，于是，， 又BF⊥AC，∴BF、AC、Fz兩兩垂直． 以F為原點(diǎn)，F(xiàn)A、FB、Fz依次為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．…7分 由(Ⅰ)可得． 于是，，，， ，， ． 由(Ⅰ)知是平面的一個(gè)法向量． 設(shè)是平面BDE的一個(gè)法向量，則 取，得到．………………………………10分 ∴，…………………11分 又二面角是銳二面角． ∴二面角的平面角的余弦值為. …….……………12分 方法二： (Ⅰ)證明：過(guò)F作，由AE⊥平面ABC可知Fz⊥平面ABC， 又、平面ABC，于是，， 又BF⊥AC，∴BF、AC、Fz兩兩垂直． 以F為原點(diǎn)，F(xiàn)A、FB、Fz依次為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．…1分 ∵，，， ∴，． ∴，，， ．……………………………………………………3分 于是，，， ，， ． 故． 所以DF⊥BE……………………..…………………6分； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，，， ． 于是，所以，又FB⊥AC． 所以是平面的一個(gè)法向量．…………………………………..…8分 設(shè)是平面BDE的一個(gè)法向量，則 取，得到．…………………………………....…10分 ∴． 又二面角是銳二面角． ∴二面角的平面角的余弦值為. …………………………12分 10、【解析】[向量法](Ⅰ)連結(jié),因?yàn)闉檎切?為棱的中點(diǎn), 所以,從而,又面面, 面面,面, 所以面.………………………………1分 以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,………2分 不妨設(shè),則,,, 設(shè),則,,………3分 因?yàn)槠矫?平面,所以, 所以,解得,即,所以為的中點(diǎn).………5分 (Ⅱ),,, 設(shè)平面的法向量為,則,即,解得, 令,得,…………………………………9分 顯然平面的一個(gè)法向量為,……………………10分 所以, 所以二面角的余弦值為.…………………12分 [傳統(tǒng)法](Ⅰ)設(shè),由,所以, 因?yàn)槠矫?平面,所以, 從而,所以,所以, 故,所以為的中點(diǎn).…………………5分 (Ⅱ)連結(jié),由可得為正三角形, 取中點(diǎn),連結(jié),則, 因?yàn)槊婷?面面, 面,所以面.…………………7分 作于,連結(jié),則, 所以是二面角的平面角.………………………………9分 經(jīng)計(jì)算得,,,, 所以二面角的余弦值為.…………………………………12分 11、解：（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以…………………………（1分） 又，因此 ……………………………………（2分） 因?yàn)槠矫妫矫妫? 所以 ………………………………………………………（3分） 而平面，平面，， 所以平面 …………………………………………………（5分） （Ⅱ）（法1：為上任意一點(diǎn)，連接由（1）知平面，則為與平面所成的角 ………………………………………………………（6分） 在中，，所以當(dāng)最短時(shí)，即當(dāng)時(shí)，最大， 此時(shí)，因此…………………（7分） 又，所以，所以……（8分） 因?yàn)槠矫?，平面? 所以平面平面, 過(guò)作于，則平面， 過(guò)作于，連接， 則為二面角的平面角，…（9分） 在中， 又是的中點(diǎn)，在中， 又 …………………………………………（10分） 在中，,…………………………（11分） 即所求二面角的余弦值為。………………………………………（12分） （2）法2：由（1）可知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。設(shè),…………………（6分） 則 （其中） 面的法向量為 與平面所成最大角的正切值為 的最大值為， 即在的最小值為， 函數(shù)對(duì)稱軸， 所以，計(jì)算可得…………………………（8分） 所以 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則 因此，取，則 …………（9分） 為平面的一個(gè)法向量. …………………………（10分） 所以………………………………（11分） 所以，所求二面角的余弦值為 …………………………………（12分）