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2016年考研數(shù)學(xué)模擬試題（數(shù)學(xué)二） 參考答案 一、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)） 1.設(shè)是多項(xiàng)式的最小實(shí)根，則（）. （A）（B）（C）（D） 解 選擇A. 由于，又是多項(xiàng)式的最小實(shí)根，故. 2.設(shè) 則函數(shù)在點(diǎn)（）. （A）取極大值（B）取極小值（C）可導(dǎo)（D）不可導(dǎo) 解 選擇D. 由極限的保號(hào)性知，存在，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在點(diǎn)不取極值. ，所以在點(diǎn)不可導(dǎo). 3.設(shè)連續(xù)，且滿足，則（）. （A） （B） （C） （D） 解 選擇B. 由題設(shè)知 . 4.微分方程的特解形式為（）. (A) (B) (C) (D) 解 選擇D. 特征方程，特征根，是特征根，特解形式為 . 5. 設(shè)函數(shù)連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是（）. （A） （B） （C） （D） 解 選擇C. 由于為奇函數(shù)，故為偶函數(shù). 6. 設(shè)在全平面上有，，則保證不等式成立的條件是（ ） （A），. （B），. （C），. （D），. 解 選擇A. 關(guān)于單調(diào)減少， 關(guān)于單調(diào)增加， 當(dāng)，時(shí)，. 7.設(shè)和為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且與相似，則下列結(jié)論中不正確的是（）. (A)與相似 (B) 與合同 (C) (D) 解 選擇D. 與相似可以推出它們的多項(xiàng)式相似，它們的特征多項(xiàng)式相等，故A，C正確，又和為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且與相似，可以推出與合同，故B正確. 8. ，，為維列向量，則有（）. (A)當(dāng)時(shí)，方程組有解 (B)當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解 (C)當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解 (D)當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解 解 選擇A. 當(dāng)時(shí)，，方程組有解. 二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分，把答案填在題中橫線上） 9. . 解 答案為. 10設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，則 . 解 答案為. 11.設(shè)微分方程的通解為，則 . 解 答案為. 將代入微分方程，得，故. 12.數(shù)列中最大的項(xiàng)為 . 解 答案為. 【將數(shù)列的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問(wèn)題，以便利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題】 設(shè)，， 時(shí)，，單調(diào)增加，故時(shí)，遞增，最大， 時(shí)，，單調(diào)減少，故時(shí)，遞減，最大， 又，數(shù)列的最大項(xiàng)為. 13.方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根個(gè)數(shù)為 . 解 答案為. 令，， 由零點(diǎn)定理知，此方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，又，單調(diào)增加，故此方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根. 14.設(shè)階矩陣的秩為，是非齊次線性方程組的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則的通解為 . 解 答案為，為任意常數(shù). 是非齊次線性方程組的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則是的兩個(gè)解，且它們線性無(wú)關(guān)，又，故是的基礎(chǔ)解系，所以的通解為. 三、解答題（本題共9小題，滿分94分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 15. （本題滿分9分）求極限 解 16. （本題滿分9分）設(shè)單調(diào)且具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，求可導(dǎo)函數(shù). 解 ，，代入方程，得， 即，解得，其中為任意常數(shù). 17. （本題滿分9分） 計(jì)算積分 解 畫(huà)出二重積分區(qū)域，是的第一象限部分，由對(duì)稱(chēng)性，得 18. （本題滿分11分） 求微分方程滿足初始條件，的特解. 解 令，代入原方程，得 ，，，， 由，得， ，，即， 故， 由得，所以. 19. （本題滿分11分） 設(shè)和在區(qū)間可導(dǎo)，并設(shè)在內(nèi)，證明在內(nèi)至多存在一點(diǎn)，使得. 證 設(shè)，則. 若在內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得， 則由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)介于之間，使， 即，于是有，與題設(shè)矛盾， 故在內(nèi)至多存在一點(diǎn)，使得. 20. （本題滿分11分） 設(shè)有拋物線：，試確定常數(shù)的值，使得 ⑴與直線相切； ⑵與軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大. 解 設(shè)切點(diǎn)為，， 切線斜率， 代入切線方程，得.⑴ 又旋轉(zhuǎn)體體積， ，解得或者，， ，故時(shí)，體積最大， 將代入⑴得，所以，. 21.（本題滿分11分） 一質(zhì)量為的物體以速度從原點(diǎn)沿軸正方向上升，假設(shè)空氣阻力與物體的運(yùn)動(dòng)速度平方成正比（比例系數(shù)），試求物體上升的高度所滿足的微分方程及初始條件，并求物體上升的最大高度. 解 根據(jù)牛頓第二定律，物體上升的高度所滿足的微分方程為 ， 初始條件為. 代入方程，得，， 記，，， 積分得，時(shí)，，故， ， 令，得上升到最高點(diǎn)的時(shí)間為 ， 上升的最大高度為. 22. （本題滿分11分） 設(shè). ⑴當(dāng)滿足什么條件時(shí)，可由線性表示，且表示式唯一？ ⑵當(dāng)滿足什么條件時(shí)，可由線性表示，且表示式不唯一？并求出的表示式. 解 設(shè) ⑴，其增廣矩陣 ⑴當(dāng)時(shí)，，方程組⑴有唯一解，即可由線性表示，且表示式唯一. ⑵當(dāng)時(shí)，， 故當(dāng)時(shí)，，方程組⑴有無(wú)窮多解，即可由線性表示，且表示式不唯一， ，同解方程組為， 通解為， 故的表示式為，其中為任意常數(shù). 23. （本題滿分11分） 設(shè)為階矩陣，可逆，且，證明： ⑴若是的特征向量，則也是的特征向量； ⑵若有個(gè)不同的特征值，是的特征向量，則也是的特征向量. 證 ⑴證 設(shè)，則，故也是的特征向量 ⑵由有個(gè)不同的特征值知，的每個(gè)特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，又是對(duì)應(yīng)同一個(gè)特征值的特征向量，故它們線性相關(guān)，故存在常數(shù)，使得，故也是的特征向量.