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4.1.2 平行四邊形的性質(zhì)(二) 一．教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.平行四邊形的性質(zhì). 2.平行線之間的距離. (二)能力訓(xùn)練要求 1.經(jīng)歷探索平行四邊形的性質(zhì)，在此活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的探究意識(shí). 2.探索并掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，掌握平行線之間的距離處處相等的結(jié)論并了解其簡(jiǎn)單的應(yīng)用. (三)情感與價(jià)值觀要求 1.在探索活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的探索意識(shí)和合作交流的習(xí)慣. 2.解決平行四邊形問題的基本思路是化為三角形問題來處理，滲透轉(zhuǎn)化思想. 二．教學(xué)重點(diǎn) 1.平行四邊形的對(duì)角線互相平分. 三．教學(xué)難點(diǎn) 正確理解兩條平行線間的距離的概念. 四．教學(xué)方法 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，啟發(fā)誘導(dǎo)法. 五．教具準(zhǔn)備 投影片七張、小黑板： 第一張：回顧復(fù)習(xí)(記作4.1.2 A)； 第二張：“做一做”(記作4.1.2 B)； 第三張：平行四邊形的性質(zhì)(記作4.1.2 C)； 第四張：例1(記作4.1.2 D)； 第五張：想一想(記作4.1.2 E)； 第六張：例2(記作4.1.2 F)； 第七張：議一議(記作4.1.2 G). 六．教學(xué)過程 Ⅰ.巧設(shè)情景問題，引入課題 ［師］上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平行四邊形的性質(zhì)，現(xiàn)在來回憶一下(出示投影片4.1.2 A) 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，請(qǐng)同學(xué)們說出ABCD的有關(guān)性質(zhì). ［生］AD=BC AB=CD，AD∥BC. AB∥CD，∠A=∠C，∠B=∠D. ［師］對(duì)，平行四邊形的對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等. 在平行四邊形中，除邊和角外，還有對(duì)角線，那平行四邊形的對(duì)角線有什么性質(zhì)呢？下面我們來“做一做”(出示投影片4.1.2 B) 如圖，ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O. (1)圖中有哪些三角形是全等的？有哪些線段是相等的？ (2)能設(shè)法驗(yàn)證你的猜想嗎？ ［師］大家可以用測(cè)量的方法，也可以用復(fù)制紙片并借助旋轉(zhuǎn)、折紙等方法，去想，去探索. ［生1］圖中有四對(duì)三角形全等，它們是：△ABC≌△CDA、△ABD≌△CDB、△AOD≌△COB，△AOB≌△COD. 線段相等的有：AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD. ［生2］我把這個(gè)平行四邊形復(fù)制到一張半透明的紙上，并將復(fù)制后的四邊形繞著對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180，這時(shí)復(fù)制的平行四邊形與原平行四邊形重合.由此可知，圖中有四對(duì)全等三角形，四對(duì)相等的線段.(即同上) ［生3］因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形.所以：AD=BC，AD∥BC，由AD∥BC可得：∠DAO=∠ACB，∠ADB=∠DBC，由全等三角形的判定：“角邊角公理”可得：△AOD≌ △BOC. 其他的全等三角形也可得證. 由全等三角形的性質(zhì)可知：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即：OA=OC，OB=OD. Ⅱ.講授新課 ［師］從上面的討論中，我們可以發(fā)現(xiàn)：平行四邊形的對(duì)角線具有什么性質(zhì)？試用文字語(yǔ)言來描述一下： ［生1］ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，則：AC平分BD，BD也平分AC. ［生2］平行四邊形的對(duì)角線互相平分. ［師］對(duì)，線段AC平分線段BD于點(diǎn)O，線段BD平分線段AC于點(diǎn)O，這樣的線段就是互相平分.由剛才的討論得到了平行四邊形的另一性質(zhì)(出示投影片4.1.2 C) 平行四邊形的對(duì)角線互相平分. 用幾何語(yǔ)言表示如下： ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O OA=OC OB=OD 下面我們來做一例題以熟悉平行四邊形的性質(zhì)(出示投影片4.1.2 D) ［例1］如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DB⊥AD，求BC、CD及OB的長(zhǎng). 分析：要求BC、CD的長(zhǎng)，由已知可知：BC、CD是平行四邊形ABCD的兩邊，而它們的對(duì)邊已知，所以由平行四邊形的性質(zhì)可以求出BC、CD的長(zhǎng). 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，所以由已知可知：OB是對(duì)角線BD的一半，那么BD是多少呢？從圖中可知：BD是Rt△ADB的一邊，而其他兩邊已知.由勾股定理可求出BD的長(zhǎng)，則OB即可求出. 解：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等，所以： BC=AD=8，CD=AB=10 在RtADB中，AD=8，AD=10 BD= 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，所以： OB=BD=3. ［師］下面我們來想一想(出示投影片4.1.2 E) 在筆直的鐵軌上，夾在兩根鐵軌之間的枕木是否一樣長(zhǎng)？(附有“鐵軌”圖片) ［生1］兩條筆直的鐵軌是互相平行的，而夾在鐵軌之間的枕木也是互相平行的.兩根枕木與兩根鐵軌圍成一個(gè)平行四邊形，它的對(duì)邊相等，所以，夾在鐵軌之間的枕木是一樣長(zhǎng)的. ［師］同學(xué)們總結(jié)得很好，能用幾何語(yǔ)言描述這個(gè)道理嗎？ ［生2］在兩條平行線中間的平行線段相等. ［師］很好，應(yīng)該準(zhǔn)確地說：夾在兩條平行線間的平行線段相等.如圖，直線a∥b,AB∥CD,則AB=CD，能說明理由嗎？ 在這里應(yīng)用了定義來判定一個(gè)四邊形是平行四邊形.即：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形. ［師］好，下面我們應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)來解答一題(出示投影片4.1.2 F) ［例2］已知直線a∥b,過直線a上任意兩點(diǎn)A、B分別向直線b作垂線，交直線b于點(diǎn)C、點(diǎn)D.(如圖) (1)線段AC、BD所在的直線有怎樣的位置關(guān)系？ (2)比較線段AC、BD的長(zhǎng)短. ［師生共析］平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有平行和相交.由已知知道：線段AC、BD是過直線a上任意兩點(diǎn)A、B分別向直線b作的垂線段，由“兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行”得知：線段AC與線段BD平行；由已知：直線a∥b，和(1)的結(jié)論：AC∥BD，得出：四邊形ACDB是平行四邊形，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等，所以AC=BD.或者：由“夾在兩平行線間的平行線段相等”得到：AC=BD. 解：(1)由AD、BD同時(shí)垂直于直線b,得AC∥BD ［師］我們?cè)賮砜磮D形(例2的圖)，線段AC是點(diǎn)A向直線b作的垂線段，它的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到直線b的距離.同樣，線段BD的長(zhǎng)是點(diǎn)B到直線b的距離，且AC=BD.因此，若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點(diǎn)到另一條直線的距離相等，這個(gè)距離稱為平行線之間的距離.即：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離. 現(xiàn)在大家“議一議”(出示投影片4.1.2 G) 舉出生活中的幾個(gè)實(shí)例，反映“平行線之間的垂線段處處相等”的幾何事實(shí). ［生1］一排暖氣片是互相平行的，每?jī)膳排瘹馄木嚯x是相等的. ［生2］長(zhǎng)方形的窗戶、門的框架 …… ［師］同學(xué)們表現(xiàn)得很好，下面我們做練習(xí)來熟悉掌握平行四邊形的性質(zhì). Ⅲ.課堂練習(xí) (一)課本P86隨堂練習(xí) 1. ABCD的兩條對(duì)角線相交于O點(diǎn)，OA、OB、AB的長(zhǎng)度分別為3 cm、4 cm、5 cm,求其他各邊以及兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度. 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，AD=BC OA=OC，OB=OD ∵OA=3 cm,OB=4 cm,AB=5 cm, ∴AC=6 cm,BD=8 cm,CD=5 cm. ∵32+42=52, ∴三角形AOB是直角三角形. ∴AC⊥BD. 在Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2 ∴AD=5 cm,∴BC=5 cm. 因此，這個(gè)平行四邊形的其他各邊都是5 cm,兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6 cm、8 cm. (二)課本P86，試一試 1.在ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，連結(jié)OB、OD，求∠DOB的度數(shù). 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB=DC，AB∥DC ∴∠BAC=∠ACD. ∵O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴OA=OC 在△AOB和△COD中， AB=CD，∠BAC=∠ACD，OA=OC ∴△AOB≌△DOC. ∴∠AOB=∠COD ∵∠AOD+∠COD=∠AOC=180 ∴∠AOD+∠AOB=∠AOC=180,即∠BOD=180. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 我們這節(jié)課學(xué)習(xí)了平行四邊形的另一性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.接下來我們系統(tǒng)復(fù)習(xí)總結(jié)一下平行四邊形的定義和性質(zhì).(出示小黑板)(師生共同填寫下表) 名稱 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 平 行 四 邊 形 定義 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形 ∵AB∥CD,BC∥AD ∴四邊形ABCD是平行四邊形 性質(zhì) 平行四邊形的對(duì)角相等、對(duì)邊相等、對(duì)邊平行、對(duì)角線互相平分 ∵四邊形ABCD是 ∴∠A=∠C，∠B=∠D AB=CD，BC=AD AB∥CD，BC∥AD ∴四邊形MNPQ是 ∴OM=OP，ON=OQ Ⅴ.課后作業(yè) (一)看課本P84~P85 (二)課本P86 習(xí)題4.2 1、2 (三)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：P87~P88 2.預(yù)習(xí)提綱： (1)平行四邊形的判定方法有哪些？ (2)如何推證這些方法？ Ⅵ.活動(dòng)與探究 如圖，已知△BCE、△DCF分別是以ABCD的鄰邊BC、CD為邊向外所作的等邊三角形.求證：△AEF是等邊三角形. 過程：學(xué)生分析、探討，通過交流活動(dòng)得證此命題結(jié)論. (通過本題的論證使學(xué)生懂得：平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及判定.另外需注意：DC與CE不在同一條直線上) 七．板書設(shè)計(jì) 4.1.2 平行四邊形的性質(zhì)(二) 一、平行四邊形的性質(zhì)： 平行四邊形的對(duì)角線互相平分 例1(性質(zhì)的應(yīng)用) 例2(性質(zhì)的應(yīng)用) 二、平行線間的距離 三、課堂練習(xí) 四、課時(shí)小結(jié) 五、課后作業(yè)