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【高中高考必備】高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料 高考數(shù)學(xué)解題方法 第一 芝麻開門 點(diǎn)到成功 ●計(jì)名釋義 七品芝麻官，說的是這個(gè)官很小，就是芝麻那么小的一點(diǎn). 《阿里巴巴》用“芝麻開門”，講的是“以小見大”. 就是那點(diǎn)芝麻，竟把那個(gè)龐然大門給“點(diǎn)”開了. 數(shù)學(xué)中，以點(diǎn)成線、以點(diǎn)帶面、兩線交點(diǎn)、三線共點(diǎn)、還有頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、極限點(diǎn)等等，這些足以說明“點(diǎn)”的重要性. 因此，以點(diǎn)破題，點(diǎn)到成功就成了自然之中、情理之中的事了. ●典例示范 ［例題］將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個(gè)如下圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱來萊布尼茨三角形. 從萊布尼茨三角形可以看出 ，其中 . 令， 則 . ［分析］ 一看此題，圖文并舉，篇幅很大，還有省略號省去的有無窮之多，真乃是個(gè)龐然大物. 從何處破門呢？我們?nèi)匀辉凇包c(diǎn)”上打主意. 萊布三角形，它雖然沒有底邊，但有個(gè)頂點(diǎn)，我們就打這個(gè)頂點(diǎn)的主意. ［解Ⅰ］ 將等式與右邊的頂點(diǎn)三角形對應(yīng)（圖右），自然有 對此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1 對一般情況講，就是x = r+1 這就是本題第1空的答案. ［插語］ 本題是填空題，只要結(jié)果，不講道理. 因此沒有必要就一般情況進(jìn)行解析，而是以點(diǎn)帶面，點(diǎn)到成功. 要點(diǎn)明的是，這個(gè)頂點(diǎn)也可以不選大三角形的頂點(diǎn). 因?yàn)槿切沃腥我粋€(gè)數(shù)，都等于對應(yīng)的“腳下”兩數(shù)之和，所以選擇任何一個(gè)“一頭兩腳”式的小三角形，都能解出x = r+1. 第2道填空，仍考慮以點(diǎn)帶面，先抓無窮數(shù)列的首項(xiàng). ［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了數(shù)列首項(xiàng)，并將和數(shù)列 中的各項(xiàng)依次“以點(diǎn)連線”（圖右實(shí)線），實(shí)線所串各數(shù)之和就是an . 這個(gè)an，就等于首項(xiàng)左上角的那個(gè). 因?yàn)樵谙蛳乱环譃槎M(jìn)行依次列項(xiàng)時(shí)，我們總是“取右舍左”，而舍去的各項(xiàng)（虛線所串）所成數(shù)列的極限是0. 因此得到 這就是本題第2空的答案. ［點(diǎn)評］ 解題的關(guān)鍵是“以點(diǎn)破門”，這里的點(diǎn)是一個(gè)具體的數(shù)，采用的方法是以點(diǎn)串線——三角形中的實(shí)線，實(shí)線上端折線所對的那個(gè)數(shù)就是問題的答案. 事實(shí)上，三角形中的任何一個(gè)數(shù)（點(diǎn)）都有這個(gè)性質(zhì). 例如從這個(gè)數(shù)開始，向左下連線（無窮射線），所連各數(shù)之和（的極限）就是這個(gè)數(shù)的左上角的那個(gè)數(shù). 用等式表示就是 ［鏈接］ 本題型為填空題，若改編成解答題，那就不是只有4分的小題，而是一個(gè)10分以上的大題. 有關(guān)解答附錄如下. ［法1］ 由知，可用合項(xiàng)的辦法，將的和式逐步合項(xiàng). ［法2］ 第二問實(shí)質(zhì)上是求萊布尼茨三角形中從第三行起每一行的倒數(shù)的和，即 根據(jù)第一問所推出的結(jié)論只需在原式基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)，則由每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)的和，結(jié)合給出的數(shù)表可逐次向上求和為，故，從而 ［法3］ （2）將代入條件式，并變形得 取令得 ， … … … 以上諸式兩邊分別相加，得 ［說明］ 以上三法，都是對解答題而言. 如果用在以上填空題中，則是殺雞動用了牛刀. 為此我們認(rèn)識到“芝麻開門，點(diǎn)到成功”在使用對象上的真正意義. ●對應(yīng)訓(xùn)練 1．如圖把橢圓的長軸AB分成8份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，…，P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______. 2．如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分別是側(cè)棱AA1，CC1上的點(diǎn)，且A1P=CQ，則四棱錐B1—A1PQC1的體積與多面體ABC—PB1Q的體積比值為 . ●參考解答 1．找“點(diǎn)”——橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2. 連接P1F2 、P2F2 、…、P7F2，由橢圓的定義FP5+P5 F2 = 2a =10 如此類推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = … =FP7 + P7F2 = 710 = 70 由橢圓的對稱性可知，本題的答案是70的一半即35. 2．找“點(diǎn)”——動點(diǎn)P、Q的極限點(diǎn). 如圖所示，令A(yù)1P = CQ = 0. 即動點(diǎn)P與A1重合，動點(diǎn)Q與C重合. 則多面體蛻變?yōu)樗睦忮FC—AA1B1B，四棱錐蛻化為三棱錐C—A1B1C1 . 顯然V棱柱. ∴∶= 于是奇兵天降——答案為. ［點(diǎn)評］ “點(diǎn)到成功”的點(diǎn)，都是非一般的特殊點(diǎn)，它能以點(diǎn)帶面，揭示整體，制約全局. 這些特殊點(diǎn)，在沒被認(rèn)識之前，往往是人們的盲點(diǎn)，只是在經(jīng)過點(diǎn)示之后成為亮點(diǎn)的. 這個(gè)“點(diǎn)”字，既是名詞，又是動詞，是“點(diǎn)亮”和“亮點(diǎn)”的合一. 第二 西瓜開門 滾到成功 ●計(jì)名釋義 比起“芝麻”來，“西瓜”則不是一個(gè)“點(diǎn)”，而一個(gè)球. 因?yàn)樗軌颉皾L”，所以靠“滾到成功”. 球能不斷地變換碰撞面，在滾動中能選出有效的“觸面”. 數(shù)學(xué)命題是二維的. 一是知識內(nèi)容，二是思想方法. 基本的數(shù)學(xué)思想并不多，只有五種：①函數(shù)方程思想，②數(shù)形結(jié)合思想，③劃分討論思想，④等價(jià)交換思想，⑤特殊一般思想. 數(shù)學(xué)破題，不妨將這五種思想“滾動”一遍，總有一種思想方法能與題目對上號. ●典例示范 ［題1］ 對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x－1）f （x）0，則必有 A. f（0）＋f（2）< 2f（1） B. f（0）＋f（2）≤2 f（1） C. f（0）＋f（2）≥ 2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1） ［分析］　用五種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行“滾動”，最容易找到感覺應(yīng)是③：分類討論思想.　這點(diǎn)在已條件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得極為顯目. 其一，對f＇(x)有大于、等于和小于0三種情況； 其二，對x-1，也有大于、等于、小于0三種情況. 因此，本題破門，首先想到的是劃分討論. ［解一］ （i）若f＇(x) ≡ 0時(shí)，則f(x)為常數(shù)：此時(shí)選項(xiàng)B、C符合條件. （ii）若f＇(x)不恒為0時(shí). 則f＇(x)≥0時(shí)有x≥1，f（x）在上為增函數(shù)；f＇(x)≤0時(shí)x ≤1. 即f（x）在上為減函數(shù). 此時(shí)，選項(xiàng)C、D符合條件. 綜合（i），（ii），本題的正確答案為C. ［插語］ 考場上多見的錯誤是選D. 忽略了f＇(x) ≡ 0的可能. 以為（x-1）f＇(x) ≥0中等號成立的條件只是x-1=0，其實(shí)x-1=0與f＇(x)=0的意義是不同的：前者只涉x的一個(gè)值，即x=1，而后是對x的所有可取值，有f＇(x) ≡ 0. ［再析］ 本題f（x）是種抽象函數(shù)，或者說是滿足本題條件的一類函數(shù)的集合. 而選擇支中，又是一些具體的函數(shù)值f（0），f（1），f（2）.　因此容易使人聯(lián)想到數(shù)學(xué)⑤：一般特殊思想. ［解二］ （i）若f＇(x)=0，可設(shè)f（x）=１.　選項(xiàng)Ｂ、Ｃ符合條件. （ii）f＇(x)≠0. 可設(shè)f(x) =（x-1）2 又　f＇(x)=2（x-1）. 滿足　(x-1) f＇(x) =2 (x-1)2≥0，而對 f (x)= (x-1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0 選項(xiàng)C，D符合條件. 綜合（i），（ii）答案為C. ［插語］ 在這類f (x)的函數(shù)中，我們找到了簡單的特殊函數(shù)(x-1)2. 如果在同類中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻煩些. 由此看到，特殊化就是簡單化. ［再析］ 本題以函數(shù)（及導(dǎo)數(shù)）為載體. 數(shù)學(xué)思想①——“函數(shù)方程（不等式）思想”. 貫穿始終，如由f （x）= 0找最值點(diǎn)x =0，由f （x）>0（<0）找單調(diào)區(qū)間，最后的問題是函數(shù)比大小的問題. 由于函數(shù)與圖象相聯(lián)，因此數(shù)形結(jié)合思想也容易想到. ［解三］ （i）若f (0)= f (1)= f (2)，即選B，C，則常數(shù)f (x) = 1符合條件. （右圖水平直線） （ii）若f (0)= f (2)< f (1)對應(yīng)選項(xiàng)A.（右圖上拱曲線），但不滿足條件(x-1) f （x）≥0 若f (0)= f (2)> f (1)對應(yīng)選項(xiàng)C，D（右圖下拱曲線）. 則滿足條件(x-1) f （x）≥0. ［探索］ 本題涉及的抽象函數(shù)f (x)，沒有給出解析式，只給出了它的一個(gè)性質(zhì)：(x-1) f （x）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有這種性質(zhì)的具體函 數(shù)是很多的，我們希望再找到一些這樣的函數(shù). ［變題］ 以下函數(shù)f (x)，具有性質(zhì)(x-1) f （x）≥0從而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函數(shù)是 A. f（x）= (x-1)3 B. f（x）= (x-1) C. f（x）= (x-1) D. f（x）= (x-1) ［解析］ 對A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；對B，f (0)無意義； 對C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求； 答案只能是D. 對D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1. 且f （x）=(x-1) 使得 (x-1) f＇(x) =(x-1)(x-1) ≥0. ［說明］ 以x=1為對稱軸、開口向上的函數(shù)都屬這類抽象函數(shù). 如f（x）=(x-1) ，其中m，n都是正整數(shù)，且n≥m. ［點(diǎn)評］ 解決抽象函數(shù)的辦法，切忌“一般解決”，只須按給定的具體性質(zhì)“就事論事”，抽象函數(shù)具體化，這是“一般特殊思想”在解題中具體應(yīng)用. ［題2］ 已知實(shí)數(shù)x，y滿足等式 ，試求分式的最值。 ［分析］ “最值”涉及函數(shù)，“等式”連接方程，函數(shù)方程思想最易想到. ［解一］ （函數(shù)方程思想運(yùn)用） 令 y = k (x-5) 與方程聯(lián)立 消y，得： 根據(jù)x的范圍應(yīng)用根的分布得不等式組： 解得 即 ≤≤ 即所求的最小值為，最大值為. ［插語］ 解出≤≤，談何易！十人九錯，早就應(yīng)該“滾開”，用別的思想方法試試. ［解二］ （數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用） 由得橢圓方程 ， 0 看成是過橢圓上的點(diǎn)（x，y），(5，0)的直 線斜率（圖右）. 聯(lián)立 得 令得，故 的最小值為，最大值為. ［插語］ 這就是“滾動”的好處，解二比解一容易多了. 因此，滾動開門，不僅要善于“滾到”，還要善于“滾開”. ［點(diǎn)評］ “西瓜開門”把運(yùn)動學(xué)帶進(jìn)了考場解題. 滾動能克服解題的思維定勢. 解題時(shí)，要打破思維固化，在思想方法上要“滾動”，在知識鏈接上要“滾動”，在基本技能技巧上也要“滾動”. 總之，面對考題，在看法、想法和辦法上要注意“滾動”. ●對應(yīng)訓(xùn)練 1.若動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差數(shù)列，則動點(diǎn)P的軌跡應(yīng)為圖中的 ( ) 2.函數(shù)y=1- (-1≤x<0)的反函數(shù)是 ( ) A.y=-(00,a+2b+c<0,則下列結(jié)論中正確的是 ( ) A.b2≤ac B.b2>ac C.b2>ac且a>0 D.b2>ac且a<0  ●參考答案 1.【思考】 利用題設(shè)的隱含條件.由條件知x≠0,y>0且y>x.選項(xiàng)B中無x<0的圖像，選項(xiàng)D中無x>0的圖像，均應(yīng)否定；當(dāng)x=y∈R+時(shí)，lg無意義，否定A,選C． 【點(diǎn)評】 上面的解法中條件與選項(xiàng)一并使用，滾滾碰碰中終于找到了正確的選項(xiàng).本題的常規(guī)解法是：當(dāng)x≠0且y>x時(shí)，由lgy+lg=2lg|x|，化簡可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x或y=2x(x≠0,y>0). 2.【思考】 分析各選項(xiàng)，僅解析式符號有區(qū)別.定義域中等號的位置有區(qū)別，所以擬從這兩方面滾動著手排除錯誤的選項(xiàng). 原函數(shù)定義域?yàn)?1≤x<0，∴其反函數(shù)值域?yàn)?1≤y<0，排除B、D. ∵原函數(shù)中f(-1)=1,∴反函數(shù)中f-1(1)=-1,即x=1時(shí)f-1(x)有定義,排除C,∴選A． 3.解析一 分析四個(gè)選擇支之間的邏輯關(guān)系知,若C真,則B也真;若D真,則B也真,故C、D皆假. 取符合條件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的實(shí)數(shù)a=0,b=-1,c=0檢驗(yàn)知選B. 解析二 由選擇支,聯(lián)想到二次函數(shù)的判別式. 令f(x)=ax2+2bx+c,則f(-2)=4a-4b+c>0, f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac,故選B. 【點(diǎn)評】 在解題時(shí)易受題設(shè)條件的干擾,企圖從已知不等式出發(fā): 4b<4a+c, ① 2b<-a-c, ② ①②不等號的方向無法確定,思維受阻. 用邏輯分析法和特殊值檢驗(yàn)的方法兩種方法滾動使用，簡便明快,如解析一.用判別式法邏輯性強(qiáng)但思路難尋,如解析二.一般在做題時(shí),為了使選擇題解題速度變快,推薦學(xué)生使用解析一. 第三 諸葛開門 扇到成功 ●計(jì)名釋義 諸葛亮既不會舞刀，也不會射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借東風(fēng)也是用扇子. 有人把“借東風(fēng)”的意思弄膚淺了，以為東風(fēng)就是東邊來的風(fēng)，其實(shí)，這里真正所指是“東吳”的風(fēng). 在赤壁大戰(zhàn)中，劉備哪是曹操的對手，后來能把曹兵打敗，借的就是東吳的力量. 數(shù)學(xué)解題的高手們，都會“借力打力”，這就是數(shù)學(xué)“化歸轉(zhuǎn)換思想”的典型應(yīng)用. ●典例示范 ［題1］ 已知f (x)= 試求 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )的值. ［分析］　若分別求f (x)在x= -5，-4，…，0，…，6時(shí)的12個(gè)值然后相加. 這不是不行，只是工作量太大，有沒有簡單的辦法？我們想“借用”等差數(shù)列求和時(shí)“倒序相加”的辦法. 于是，我們關(guān)心f (x)+f (1-x)的結(jié)果. ［解析］ 因?yàn)?f (x)+ f (1-x) = = = 所以 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 ) =［（f (-5 )+ f (6 )）+（f (-4)+ f (5 )）+…+（f (6 )+ f (-5 )）］ =［f (1-x )+ f (x )］6 = ［點(diǎn)評］ 這里，“借來”的不是等差數(shù)列本身的性質(zhì)，而是等差數(shù)列求和時(shí)曾用過的辦法——倒序相加法. ●對應(yīng)訓(xùn)練 1.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均為銳角)，那么cosαcosβcosγ的最大值等于 . 2.求已知離心率e=,過點(diǎn)(1,0)且與直線l:2x-y+3=0相切于點(diǎn)P(-),長軸平行于y軸的橢圓方程. 3.若橢圓 (a>0)與連結(jié)A(1,2),B(3,4)兩點(diǎn)的線段沒有公共點(diǎn),求a的取值范圍. ●參考答案 1. 命sin2α=sin2β=sin2γ=,則cos2α=cos2β=cos2γ=.α、β、γ為銳角時(shí)，cosα=cosβ=cosγ=. ∴cosαcosβcosγ=. (注：根據(jù)解題常識，最大值應(yīng)在cosα=cosβ=cosγ時(shí)取得). 2.解析 按常規(guī),設(shè)橢圓中心為(x0,y0),并列出過已知點(diǎn)P的切線方程,聯(lián)立消參可求得橢圓方程. 若借極限思想,將點(diǎn)橢圓視為橢圓的極限情況,則可簡化運(yùn)算過程. 已知e=,則a2=5b2.設(shè)長軸平行于y軸且離心率e=的橢圓系為 (x+，把點(diǎn)P(-看做當(dāng)k→0時(shí)的極限情形(點(diǎn)橢圓),則與直線l:2x-y+3=0相切于該點(diǎn)的橢圓系即為過直線l與“點(diǎn)橢圓”的公共點(diǎn)的橢圓系方程: (x+ 又所求的橢圓過（1，0）點(diǎn),代入求得λ=-. 因此所求橢圓方程為x2+=1. 點(diǎn)評 將點(diǎn)橢圓視為橢圓的極限情況處理問題,減少了運(yùn)算量,簡化了運(yùn)算過程. 3.解析 若按常規(guī),需分兩種情況考慮: ①A,B兩點(diǎn)都在橢圓外; ②A,B兩點(diǎn)都在橢圓內(nèi). 若借用補(bǔ)集思想則避免了分情況討論,使計(jì)算簡潔. 設(shè)a的允許值的集合為全集I={a|a∈R,a>0},先求橢圓和線段AB有公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍. 易得線段AB的方程為y=x+1,x∈［1,3］, 由方程組,x∈［1,3］, a2的值在［1,3］內(nèi)遞增,且x=1和x=3時(shí)分別得a2=或a2=,故≤a2≤. ∵a>0,∴≤a≤. 故當(dāng)橢圓與線段AB無公共點(diǎn)時(shí),a的取值范圍為0. 第四 關(guān)羽開門 刀舉成功 ●計(jì)名釋義 關(guān)羽不同于諸葛. 諸葛是智星，靠著扇子；關(guān)羽是武士，用的大刀. “過關(guān)斬將”用這大刀，“水淹七軍”用這大刀. 數(shù)學(xué)上的“分析”、“分解”、“分割”等，講的都是刀工. 關(guān)羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再難的數(shù)學(xué)題，經(jīng)過這七刀、八刀，最后不就粉碎了嗎！ ●典例示范 ［例1］ 如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點(diǎn)，M、N分別是AE、CD1的中點(diǎn)，AD=AA1=a，AB=2a. （Ⅰ）求證：MN∥面ADD1A1； （Ⅱ）求二面角P—AE—D的大??； （Ⅲ）求三棱錐P—DEN的體積. ［分析］ 這是個(gè)長方體，而“長”正好是“寬”和“高”的2倍，這正是“關(guān)羽開門”的對象：用刀從中一劈，則分成2個(gè)相等的正方體. 對于正方體，我們該多么熟悉啊！有關(guān)線段的長度，各線段間的位置關(guān)系，我們都了如指掌. ［解Ⅰ］ 取D1C1的中點(diǎn)Q ，過Q和MN作平面QRST. 顯然，M、N都在這平面里. 易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（證畢）. ［插語］ 其所以這么簡單，是因?yàn)槲覀儗φ襟w熟悉. 正方體從何而來，感謝關(guān)羽的大刀之功. 以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可轉(zhuǎn)化到正方體里進(jìn)行（從略）. 【例2】 設(shè)p>0是一常數(shù)，過點(diǎn)Q（2p，0）的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心）. （Ⅰ）試證：拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上； （Ⅱ）并求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程. 【分析】 （Ⅰ）AB是圓H的直徑，欲證拋物線的頂點(diǎn)在圓上，有如下各種對策：（1）證|OH|=|AB|. (2)證|OA|2+|OB|2=|AB|2 （3）證∠AOB=90,即OA⊥OB，等. 顯然，利用向量知識證=0,當(dāng)為明智之舉. 【解答】 （Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，直線AB的方程為x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p.顯然，滿足|OQ|=|AB|,此時(shí)Q、H重合,∴點(diǎn)Q在⊙H上. 如直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB：y=tanα(x-2p), x=,代入：y=tanα-2ptanα.即tanαy2-2py-4p2tanα=0. 此方程有不同二實(shí)根y1y2, ∴y1+y2=,y1y2=-4p2. ∵ =x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0. ∴,故點(diǎn)O仍在以AB為直徑的圓上. 【分析】 (Ⅱ)為使圓面積最小只須圓半徑取到最小值，為此不可避免的要給出直徑AB之長的函數(shù)表達(dá)式，直觀上我們已可推測到當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，弦AB之長最短(這就是論證方向)，為此又有多種途徑: (1)用直線的點(diǎn)斜式與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于x（或y）的一元二次方程，利用韋達(dá)定理寫出|AB|2的函數(shù)式，再用二次函數(shù)或均值不等式的知識求其最值. (2)用直線的參數(shù)方程與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，利用韋達(dá)定理寫出|AB|2=（t1-t2）2的函數(shù)表達(dá)式，再依正、余弦函數(shù)的有界性求其最值. 這兩種方法各有優(yōu)長，但都須牽涉到兩個(gè)變量x,y,以下我們推薦，利用投影公式得出的|AB|函數(shù)式，只牽涉一個(gè)變量. 【解答】（Ⅱ）直線AB的傾角為α,當(dāng)α=90時(shí)，⊙H的半徑為2p,S⊙H=4πp2. 當(dāng)α≠90時(shí)，不妨設(shè)α∈［0,)，則 綜上，|AB|min=4p,當(dāng)且僅當(dāng)α=90時(shí)，（S⊙H）min=4πp2,相應(yīng)的直線AB的方程為：x=2p. 別解：由（1）知恒有∠AOB=90. ∴||2=| = ≥2x1x2+2p(x1+x2) ≥2x1x2+4p. ∵y1y2=-4p2,∴x1x2= 于是||2≥16p2,| |min=4p.當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=2p時(shí)，S⊙H=4πp2. 【點(diǎn)評】 斧子開門，只要你說要進(jìn)去，直接在墻上打洞最直接了. ●對應(yīng)訓(xùn)練 1.已知函數(shù)f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…，an構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an},滿足f(1)=n2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并求之值. (2)證明0> ［旁白］ 才子一看，發(fā)現(xiàn)是個(gè)錯解，于是有以下的評語. ［評語］ 學(xué)了導(dǎo)數(shù)可糟糕，殺雞到處用牛刀，單調(diào)區(qū)間不清楚，亂用函數(shù)比大小. ［解二］　作差比較法 -=<0 -=>0 ［旁白］ 才子一看，答案雖是對的，但解題人有點(diǎn)過于得意，因此得到以下評語. ［評語］解題成本你不管，別人求近你走遠(yuǎn)，作差通分太費(fèi)力，面對結(jié)果向回轉(zhuǎn). ［旁白］ 大家聽才子這么說，紛紛要求才子本人拿出自己的解法來，于是有了以下的奇解. ［奇解］ =<1 =>1 >> ［旁白］ 大家一看，十分驚喜，但對解法的來歷有點(diǎn)奇怪. 于是才子有了如下的自評. ［自評］ 標(biāo)新本來在立意，別人作商我作積，結(jié)果可由心算出，不用花費(fèi)紙和筆. ［旁白］ 這時(shí)，上面那位提供解法一的人有點(diǎn)不服氣：難道“求導(dǎo)法”就不能解出此題嗎？ 才子回答：當(dāng)然能！不過需要“統(tǒng)一單調(diào)區(qū)間”，請看下解 ［正解］ f (x) = f＇(x)=ln<0 (x≥3) >> >> ［旁白］ 大家一看，齊聲說妙，要求才子再評說一下. 于是又有了下面的奇文. ［評語］ 因?yàn)閿?shù)3比e大，單調(diào)區(qū)間從3劃，數(shù)4也在本區(qū)間，故把數(shù)2搬個(gè)家. 【例1】 已知向量a=(，1)，b是不平行于x軸的單位向量，且ab=，則b= ( ) A．(，) B．(,) C.() D．（1，0） 【特解】 由|b|=1，排除C；又b與x軸不平行，排除D；易知b與a不平行，排除A.答案只能為B. 【評說】 本解看似簡單，但想時(shí)不易，要看出向量b與A()是平行向量，一般考生不能做到. 【別解】 因?yàn)閎是不平行于x軸的單位向量，可排除C、D兩項(xiàng). 又ab=,將A代入不滿足題意,所以答案只能為B. 【評說】 本題通過三次篩選才得出正確答案,思維量很大,到A、B選項(xiàng)時(shí)還需動手計(jì)算，真是淘盡黃沙始是金?。—? 【另解】 設(shè)b=(cosα,sinα),則ab=(,1)(cosα,sinα)= cosα+sinα= sin(60+α)=在區(qū)間（0，π）上解α得：α=60. 故b=(). 【評說】 本題涉及解三角方程，并確定解答區(qū)間，這不是一個(gè)小題的份量. 【錯解】 選A者,誤在(a， 選C者,誤在|（）a|=1. 選D者，沒有考慮到（1，0）與x軸平行. 【評說】 本題三個(gè)假支的設(shè)計(jì)，其質(zhì)量很高，各有各的錯因，相信各有各的“選擇人”. ●對應(yīng)訓(xùn)練 1.若奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),又f(-3)=0,則{x|xf(x)<0}等于 （ ） A.{x|x>3或-33或x<-3} D.{x|00)的草圖(如圖（2）),∵x、f(x)均為R上的奇函數(shù),∴xf(x)為偶函數(shù),∴不等式xf(x)<0的解集關(guān)于原點(diǎn)對稱,故先解借助圖象得00，且g(-3)=0, 則不等式f (x)g(x)<0的解集是 ( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 【解答】 設(shè)F(x)= f (x)g(x), 當(dāng)x<0時(shí)，∵F′(x)= f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0. ∴F(x)在R上為增函數(shù). ∵F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)g (x).=-F(x). 故F(x)為(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù). ∴F(x)在R上亦為增函數(shù). 已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0. 構(gòu)造如圖的F（x）的圖象，可知 例3題解圖 F(x)<0的解集為x∈(-∞,-3)∪(0,3). 【點(diǎn)評】 本例選自04湖南卷12題, 是小題中的壓軸題，顯然，不懂得 導(dǎo)數(shù)基本知識對待本例是無能為力的，高中 代數(shù)在導(dǎo)數(shù)中得到升華，導(dǎo)數(shù)也是初數(shù)的“極地”.本題還構(gòu)造了圖形，使問題更有說服力. ●對應(yīng)訓(xùn)練 1.下列命題正確的是 ( ) A.若{an}和{bn}的極限都不存在，則{an+bn}的極值一定不存在 B.若{an}和{bn}的極限都存在，則{an+bn}的極限一定存在 C.若{an+bn}的極限不存在，則{an}和{bn}的極限都一定不存在 D.若{an+bn}的極限存在，則{an}和{bn}的極限要么都存在，要么都不存在 2.過定點(diǎn)M (-1,0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2-5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則k的取值范圍是 （ ） A.0kMA=0; kMN(1-a) B.log(1-a)(1+a)>0 C.(1-a)3>(1+a)2 D.(1-a)1+a>1 【思考】 本題關(guān)鍵點(diǎn)在a,我們一個(gè)特殊數(shù)值，作為本題的模特. 令a=,各選項(xiàng)依次化為： （ ） A． B. C． D. 顯然，有且僅有A是正確的，選A. 【點(diǎn)評】 本題是一個(gè)選擇題，因此可以選一個(gè)模特?cái)?shù)代表一類數(shù)，一點(diǎn)動眾. 你還需要講“道理”嗎？為減函數(shù)，log0,B不對；也是減函數(shù)，,D不對；直接計(jì)算，C也不對；只有A是對的. 【例2】 已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y=f (x)恒不為零，同時(shí)滿足:f (x+y)=f (x)f (y),且當(dāng)x>0時(shí)，f (x)>1,那么當(dāng)x<0時(shí)，一定有 （ ） A．f (x)<-1 B.-11 D.00時(shí)，f (x)>1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x<0時(shí)，0<2x<1.即0< f (x)<1. 選D. 【點(diǎn)評】 題干中的函數(shù)抽象，先選定特殊的指數(shù)函數(shù)使之具體，而指數(shù)函數(shù)無窮無盡地多，索性再特殊到底，選定最簡單且又符合題意的函數(shù)y=2x, 這就是我們這題的模特,結(jié)果是輕而易舉地找出了正確答案.在考場上分分秒秒值千金，你還愿意糾纏在“為什么”上無謂地犧牲自己寶貴的時(shí)間嗎？ 【思考2】 取特值. 令x=0, y=0, 有f (0) = ［f (0)2 ( f (x)≠0), 則f (0)=1, f (0)= f (x-x)= f (x) f (-x), 即, 當(dāng)x<0時(shí)，-x>0. 由條件：f (-x)>1, 故x<0時(shí), 0< f (x)<1. 【例3】 若A, B, C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且A0,由圖（2）知g(x)<0,故當(dāng)x∈(-2, -1)時(shí)，應(yīng)有y= f (x)g(x)<0. 選B. 點(diǎn)評 無須弄清圖（1）、圖（2）到底表示什么函數(shù)，不必要也不可能僅憑已有的圖像信息去“精確描繪”y=f (x)g(x)的圖像.只須鑒別四類圖像哪一個(gè)符合題意，選定特殊區(qū)間（-2，-1）一次檢驗(yàn)即解決問題. 第8計(jì) 小姐開門 何等輕松 ●計(jì)名釋義 有一大漢，想進(jìn)某屋. 門上并未加鎖，但他久推不開，弄得滿頭大汗. 后面?zhèn)鱽硪晃恍〗爿p輕的聲音：“先生別推，請向后拉！” 大漢真的向后一拉，果然門就輕輕地開了. 大漢奇怪地問：“這門上并沒有寫拉字，你怎么知道是拉門的呢？” 小姐答：“因?yàn)槲铱吹侥阃屏税胩欤T還不動，那就只有拉了！” 數(shù)學(xué)上的“正難則反”就是這位小姐說的意思. 既然正面遇上困難，那就回頭是岸，向反方向走去. ●典例示范 【例1】 求證：拋物線沒有漸近線. 【分析】 二次曲線中僅有雙曲線有漸近線，什么是漸近線？人們的解釋是與曲線可以無限接近卻又沒有公共點(diǎn)的直線. 拋物線是否有這樣的直線？我們無法直接給予證明.怎么辦？“正難反收”，假定拋物線有漸近線，是否會導(dǎo)出不合理的結(jié)果？ 【證明】 不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px. 假定此拋物線有漸近線y=kx+b, ∵x=, 代入直線方程，化簡得：ky2-2py+2pb=0. ① 可以認(rèn)為：曲線與其漸近線相切于無窮遠(yuǎn)處，即如方程①有實(shí)根y0, 那么，y0→∞,或, 方程①化為：2pby′2-2py′+k=0. ② 方程②應(yīng)有唯一的零根, y′=0代入②得：k=0. 于是拋物線的漸近線應(yīng)為y=b. 這是不可能的，因?yàn)槿我庖粭l與x軸平行的直線y=b, 都和拋物線有唯一公共點(diǎn)(), 因而y=b不是拋物線的漸近線，這就證明了：拋物線不可能有漸近線. 【例2】 設(shè)A、B、C是平面上的任意三個(gè)整點(diǎn)（即坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)），求證：△ABC不是正三角形. 【分析】 平面上的整數(shù)點(diǎn)無窮無盡的多，可以組成無窮無盡個(gè)各不相同的三角形，要想逐一證明這些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么辦？正難反做！ 【解答】 假定△ABC為正三角形，且A(x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3)均為整點(diǎn)，不妨設(shè)x2≠x1, ∵kAB=, ∴直線AB的方程為： 即x(y2-y1)-y(x2-x1)+x2y1-x1y2=0. 點(diǎn)C (x3, y3)到AB的距離. 但是|AB|= ∴S△ABC == (x3y2-x2y3)+(x2y1-x1y2)+(x1y3-x3y1). 即S△ABC為有理數(shù).另一方面， S△ABC = ① ∵|AB|≠0, ∴S△ABC為無理數(shù). ② ①與②矛盾，故不存在三個(gè)頂點(diǎn)都是整數(shù)點(diǎn)的正三角形. 【例3】 設(shè)f (x)=x2+a1x+a2為實(shí)系數(shù)二次函數(shù),證明：| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一個(gè)不小于 【分析】 三數(shù)中至少有一個(gè)不小于的情況有七種，而三數(shù)中“都小于”的情況只有一種，可見“正面”繁雜，“反面”簡明，也應(yīng)走“正難反收”的道路. 【解答】 假定同時(shí)有：| f (1)|<、| f (2)|<、| f (3)|<, 那么： ①+③: -11<4a1+2a2<-9 ④ ②2: -9<4a1+2a2<-7 ⑤ ④與⑤矛盾，從而結(jié)論成立. 【小結(jié)】 “正難反收”中的“難”有兩種含義，一是頭緒繁多，所以難于處理.因?yàn)椤胺薄保浴半y”，處理不當(dāng)即陷入“剪不斷，理還亂”的困境；二是試題的正面設(shè)置，使人感到無法可求，無章可循，從而找不到破解的頭緒，從而無從下手. 遇到以上這兩種情況，考生即應(yīng)懂得“迷途知返”，走“正難反收”的道路. 一般地說，與排列組合、概率有關(guān)的試題，往往應(yīng)走“正繁則反”的道路，而一切否定式的命題，則應(yīng)首選反證法.因?yàn)樵}與其逆否命題一定等價(jià)，只要推倒了命題結(jié)論的反面，正面自然順理成章地成立. ●對應(yīng)訓(xùn)練 1.k為何值時(shí)，直線y-1=k (x-1)不能垂直平分拋物線y