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“14.3 用函數(shù)觀點(diǎn)看方程（組）與不等式 —— 一次函數(shù)與二元一次方程（組）”教學(xué)設(shè)計(jì) 人教版 數(shù)學(xué) 八年級(jí)上冊(cè)第十四章第三節(jié)第三課時(shí) 河北省滄州市第十四中學(xué) 王建華 一、教學(xué)內(nèi)容解析 1.教材的地位和作用 函數(shù)、方程和不等式都是人們刻畫現(xiàn)實(shí)世界的重要數(shù)學(xué)模型。用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程（組）與不等式，使學(xué)生不僅能加深對(duì)方程（組）、不等式的理解，提高認(rèn)識(shí)問題的水平，而且能從函數(shù)的角度將三者統(tǒng)一起來，感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。本節(jié)是學(xué)生認(rèn)識(shí)了一次函數(shù)、一元一次方程、二元一次方程組及一元一次不等式的基礎(chǔ)上，從變化和對(duì)應(yīng)的角度去認(rèn)識(shí)一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系，是站在更高的起點(diǎn)上的動(dòng)態(tài)分析。本節(jié)課是“用函數(shù)觀點(diǎn)看方程（組）與不等式”的第三節(jié)課，是對(duì)一元一次方程、一元一次不等式從函數(shù)的角度重新進(jìn)行分析后，對(duì)一次函數(shù)和二元一次方程（組）關(guān)系的探究，學(xué)生在探索過程中不斷體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想，這不僅是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的升華，也是為下面學(xué)習(xí)一次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 2.教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：一次函數(shù)與二元一次方程（組）關(guān)系的探索。 難點(diǎn)：綜合運(yùn)用方程（組）、不等式和函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題。 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置 知識(shí)技能：理解一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系，會(huì)用圖象法解二元一次方程組。 數(shù)學(xué)思考：經(jīng)歷一次函數(shù)與二元一次方程（組）關(guān)系的探索及相關(guān)實(shí)際問題的解決過程，學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)問題。 解決問題：能綜合應(yīng)用一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（組）解決相關(guān)實(shí)際問題。培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題的能力。 情感態(tài)度：在探究活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探索的科學(xué)精神，在師生、生生的交流活動(dòng)中，學(xué)會(huì)與人合作，學(xué)會(huì)傾聽、欣賞和感悟，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值，建立自信心。 三、學(xué)生學(xué)情分析 從心理特征來說，八年級(jí)學(xué)生的邏輯思維已逐步從經(jīng)驗(yàn)型向理論型發(fā)展，觀察能力、記憶能力和想象能力也隨之迅速發(fā)展，但同時(shí)這一階段的學(xué)生普遍具有求知欲高、模仿能力強(qiáng)，思維多依賴于具體直觀形象的特點(diǎn)，所以在教學(xué)中要抓住這些特點(diǎn)，一方面要較好的激發(fā)學(xué)生求知和探索的興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要?jiǎng)?chuàng)造條件和機(jī)會(huì),讓學(xué)生發(fā)表見解,發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，讓學(xué)生在實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中體會(huì)方程和函數(shù)的密切聯(lián)系。 從認(rèn)知狀況來說，學(xué)生在此前已經(jīng)具有了變量與函數(shù)的知識(shí)積累，掌握了二元一次方程（組）和一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，并且已經(jīng)對(duì)一元一次方程、一元一次不等式從函數(shù)的角度重新進(jìn)行了分析，初步建立了數(shù)（代數(shù)表達(dá)式）形（圖象）結(jié)合的意識(shí)，這為順利完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)做好了鋪墊，但對(duì)函數(shù)圖象的理解，由于其抽象程度較高，學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生一定的困難，所以教學(xué)中應(yīng)注意發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。 四、教學(xué)策略分析 本學(xué)段的學(xué)生思考和探索的意愿、能力有所提高，并在探索的過程中能分析、歸納，形成自己的觀點(diǎn)，所以教法和學(xué)法的安排遵循了有利于學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流。 教法的選擇：通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生求知和探究的欲望。把知識(shí)的獲得置于探究活動(dòng)之中，通過探索研究使學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，通過動(dòng)手畫圖使學(xué)生體驗(yàn)利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。根據(jù)“問題——探究——交流——應(yīng)用——提高”的流程，對(duì)難點(diǎn)進(jìn)行層層鋪設(shè)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用的過程，更好的理解一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系，從而感受自我奮斗后成功的喜悅。 學(xué)法的指導(dǎo)：鼓勵(lì)學(xué)生自主探索和合作交流，引導(dǎo)學(xué)生自主地從事畫圖、觀察、歸納與交流等教學(xué)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)角度獲得解題方法，促進(jìn)學(xué)生對(duì)問題的多方面理解，形成多樣化的解決問題的意識(shí)，從而使學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)策略。同時(shí)注意精選題目，做多種形式的練習(xí)，力爭(zhēng)把學(xué)生思維展開。 五、教學(xué)過程 （一）感知身邊數(shù)學(xué) 結(jié)合前面對(duì)一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間關(guān)系的探究，我開門見山提出問題：“我們學(xué)過的二元一次方程（組）也是一次的，它們和一次函數(shù)之間是否也有聯(lián)系呢？”，從而直接引出課題。 導(dǎo)入“上網(wǎng)業(yè)務(wù)辦理”的問題情景：我在中國電信公司營業(yè)大廳辦理上網(wǎng)業(yè)務(wù)，發(fā)現(xiàn)有兩種上網(wǎng)收費(fèi)方式：方式A以每分0.1元的價(jià)格按上網(wǎng)時(shí)間計(jì)費(fèi)；方式B除收月基費(fèi)外再以每分0.05元的價(jià)格按上網(wǎng)時(shí)間計(jì)費(fèi)。這時(shí)，身邊一顧客說他每月上網(wǎng)的費(fèi)用按方式A計(jì)算比按方式B計(jì)算少花3元。問這位顧客每月上網(wǎng)多長(zhǎng)時(shí)間？方式B中的月基費(fèi)是多少元？ 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過列方程（組）解應(yīng)用題，因此學(xué)生很快列出二元一次方程，為下面的探究做好鋪墊。 [設(shè)計(jì)意圖] 建構(gòu)主義認(rèn)為，在實(shí)際情境中學(xué)習(xí)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此，用“上網(wǎng)收費(fèi)”這一生活實(shí)際創(chuàng)設(shè)情境，并用以引出問題為下面“啟發(fā)學(xué)生去思、激勵(lì)學(xué)生去探、鼓勵(lì)學(xué)生去說”做好鋪墊，努力給學(xué)生造成“心求通而未能得，口欲言而不能說”的情勢(shì)，從而喚起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，使他們以躍躍欲試的姿態(tài)投入到下面的探索活動(dòng)中來。另外，此問題的設(shè)置也為后面例題的講解做好鋪墊，有利于教學(xué)難點(diǎn)的突破。 （二）體驗(yàn)探索樂趣 活動(dòng)一：探究一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系 問題： 1.方程是什么方程？它有多少個(gè)解？你能舉出幾個(gè)這個(gè)方程的解嗎？ 2.二元一次方程可以轉(zhuǎn)化為________. 思考：是否任意的二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為這種一次函數(shù)的形式？ 3.點(diǎn)（10,3.5），（20,4），（30,4.5）都在直線上嗎？為什么？ 4.直線上的任意一點(diǎn)（,）一定是二元一次方程的一個(gè)解嗎？ 5.任意的二元一次方程是否都能轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)的形式嗎？怎么轉(zhuǎn)化？ 6.一次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是它所對(duì)應(yīng)的二元一次方程的一個(gè)解嗎？ 試一試：在平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)的圖象.思考：直線上任意一點(diǎn)（,），則，一定是方程的一個(gè)解嗎？ [設(shè)計(jì)意圖] 用一連串的問題由易到難，由特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與二元一次方程在數(shù)與形兩個(gè)方面的關(guān)系，并用一道題目（試一試）讓學(xué)生鞏固對(duì)數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)數(shù)與形之間的本質(zhì)聯(lián)系的理解，為探索二元一次方程組的解與直線交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系作好鋪墊。 活動(dòng)二：探究一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系 問題1. 在同一坐標(biāo)系中畫出二元一次方程所對(duì)應(yīng)的直線，觀察兩直線有交點(diǎn)嗎？你能確定這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？ 請(qǐng)同學(xué)們快速得到方程組的解是 . 觀察并思考：這個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的解有什么關(guān)系？ 探索：是否任意兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)都是它們所對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解？ 此時(shí)教師留給學(xué)生充分探索交流的時(shí)間與空間，對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的疑問給予幫助。之后，簡(jiǎn)單的概括用圖象法解二元一次方程組的步驟。 師生共同歸納出：從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)。 問題2.當(dāng)自變量取何值時(shí)，一次函數(shù)與的值相等？這個(gè)函數(shù)值是什么？這個(gè)問題與解方程組是同一個(gè)問題嗎？ 進(jìn)一步歸納出：從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這個(gè)函數(shù)值是何值。 [設(shè)計(jì)意圖] 學(xué)生經(jīng)過自主探索、合作交流，從數(shù)和形兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，真正掌握本節(jié)課的重點(diǎn)知識(shí)，從而在頭腦中再現(xiàn)知識(shí)的形成過程，避免單純地記憶，使學(xué)習(xí)過程成為一種再創(chuàng)造的過程。此時(shí)教師及時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行鼓勵(lì)，充分肯定學(xué)生的探究成果，關(guān)注學(xué)生的情感體驗(yàn)。 （三）乘坐智慧快車 再現(xiàn)本節(jié)課剛開始時(shí)的引例，并把引例中的條件和結(jié)論稍加變化，得到例題：我在中國電信公司營業(yè)大廳辦理上網(wǎng)業(yè)務(wù)，發(fā)現(xiàn)有兩種上網(wǎng)收費(fèi)方式：方式A以每分0.1元的價(jià)格按上網(wǎng)時(shí)間計(jì)費(fèi)；方式B除收月基費(fèi)外再以每分0.05元的價(jià)格按上網(wǎng)時(shí)間計(jì)費(fèi)。經(jīng)過咨詢，方式B的月基費(fèi)是20元，那么我該如何選擇收費(fèi)方式更合算？請(qǐng)同學(xué)們幫我出出主意。 解法1：設(shè)上網(wǎng)時(shí)間為分鐘，若按方式A則收元；若按方式B則收元。然后在同一坐標(biāo)系中分別畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，計(jì)算出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象，利用直線上點(diǎn)位置的高低直觀地比較函數(shù)值的大小，得到當(dāng)一個(gè)月內(nèi)上網(wǎng)時(shí)間少于400分鐘時(shí)，選擇方式A更合算；當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間等于400分鐘時(shí)，選擇方式A、B的費(fèi)用一樣多；當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間多于400分鐘時(shí)，選擇方式B更合算。 解法2：設(shè)上網(wǎng)時(shí)間為分鐘，方式B與方式A兩種計(jì)費(fèi)的差額為元，得到一次函數(shù)：，即，然后畫出函數(shù)的圖象，計(jì)算出直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，類似地用點(diǎn)位置的高低直觀地找到答案。 注意：所畫的函數(shù)圖象都是射線。 [設(shè)計(jì)意圖] 為培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和規(guī)范解題的習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生將上網(wǎng)問題延伸為例題，鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)角度獲得解決問題的方法，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)問題的多方面理解，形成多樣化解決問題的意識(shí)，從而激起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望和主人翁的學(xué)習(xí)姿態(tài)。通過此問題的探究，使學(xué)生有效地理解本節(jié)課的難點(diǎn)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合這一思想方法的應(yīng)用。 （四）體驗(yàn)成功喜悅 1.勇敢者的游戲： ⑴.以二元一次方程方程的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)都在一次函數(shù)_____的圖象上. ⑵.求直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，即求二元一次方程組 的解，解得_______，由此可知直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)是_____. 先請(qǐng)同學(xué)勇敢的舉手爭(zhēng)取答題的機(jī)會(huì)，再出示題目。在沒有看到題目是什么的情況下，這樣做的確需要很大的勇氣，是名副其實(shí)的“勇敢者的游戲” 2.鞏固例題教學(xué)效果： 先展示一組照片——“滄州的名片”，展示家鄉(xiāng)滄州的代表和特色，激發(fā)學(xué)生對(duì)家鄉(xiāng)的熱愛，調(diào)動(dòng)學(xué)生解決問題的激情。之后，給出一道練習(xí)題： 據(jù)悉，滄州鐵獅子展館門票標(biāo)價(jià)是20元/張，近期正在對(duì)團(tuán)體購票進(jìn)行優(yōu)惠活動(dòng)，有兩種活動(dòng)方案：方案一是團(tuán)隊(duì)中每位游客按標(biāo)價(jià)8折購買；方案二是團(tuán)隊(duì)中除5張按標(biāo)價(jià)購買外，其余按標(biāo)價(jià)7折購買。如果你是團(tuán)隊(duì)的負(fù)責(zé)人，你會(huì)如何選擇購買方案使整個(gè)團(tuán)隊(duì)更合算？ 學(xué)生獨(dú)立思考，并選擇自己喜歡的方法解決問題。 [設(shè)計(jì)意圖] 八年級(jí)學(xué)生對(duì)競(jìng)爭(zhēng)充滿了興趣，我抓住學(xué)生的這一心理特征，給出兩個(gè)搶答題——勇敢者的游戲，使學(xué)生的眼、耳、口、腦得到充分的調(diào)動(dòng)，并在搶答中品味成功的快樂，提高思維的速度。同時(shí)，冠之以生動(dòng)的題目和形式的練習(xí)，將學(xué)生的思維活動(dòng)引入了頂峰，也將本節(jié)課的氣氛帶到極點(diǎn)，在這樣的氣氛中，學(xué)生鞏固對(duì)新知識(shí)的理解，提高了靈活應(yīng)用新知識(shí)的能力。趁著學(xué)生情緒高漲，迅速拋出一道就在學(xué)生身邊的問題，激發(fā)學(xué)生對(duì)家鄉(xiāng)的熱愛，調(diào)動(dòng)學(xué)生解決問題的激情，讓學(xué)生激情澎湃的進(jìn)入問題的解決過程中，本題及時(shí)的鞏固教學(xué)效果，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，更好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)本節(jié)課難點(diǎn)的理解和應(yīng)用，幫助學(xué)生不斷完善新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 （五）分享你我收獲 在課堂臨近尾聲時(shí)，向?qū)W生提出：通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？你印象最深的是什么？ [設(shè)計(jì)意圖] 學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)、技能和思想、方法。通過提問的方式，鼓勵(lì)學(xué)生暢所欲言總結(jié)對(duì)本節(jié)課的收獲和體會(huì)。培養(yǎng)學(xué)生歸納和語言表達(dá)能力，鼓勵(lì)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)情感等方面進(jìn)行自我評(píng)價(jià)。 （六）開拓嶄新天地 布置作業(yè)： 一、課堂學(xué)習(xí)反思 姓 名 日 期 今天數(shù)學(xué)課的課題 所學(xué)的重要數(shù)學(xué)知識(shí) 理解得最好的地方 疑惑（或還需進(jìn)一步理解的地方） 對(duì)課堂表現(xiàn)的評(píng)價(jià)（包括對(duì)自己、同學(xué)、老師） 所學(xué)內(nèi)容在日常生活中的應(yīng)用舉例 二、必做題：教材P128的練習(xí)和習(xí)題14.3 第5、6、11題； 選做題：同桌的兩個(gè)同學(xué)為一個(gè)小組，設(shè)計(jì)一道能用函數(shù)知識(shí)解決的實(shí)際問題。 [設(shè)計(jì)意圖] 新課程強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)交流的能力，用課堂學(xué)習(xí)反思給學(xué)生提供一種表達(dá)數(shù)學(xué)思想方法和情感的方式，以體現(xiàn)評(píng)價(jià)體系的多元化，并使學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)的眼睛觀察事物，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值。作業(yè)由必做題和選做題組成，體現(xiàn)分層教學(xué)，讓“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，同時(shí)讓課堂中的知識(shí)在課下得到延伸，讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)來源于生活有服務(wù)于生活”。 六、教學(xué)設(shè)計(jì)反思 整節(jié)課貫穿以學(xué)生為主體的原則；突出數(shù)形結(jié)合的思想；體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的價(jià)值；滲透應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。關(guān)注學(xué)生個(gè)性的發(fā)展，讓每一個(gè)學(xué)生在課堂上都有所感悟，都有著各自的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，不同的人在數(shù)學(xué)上都得到不同的發(fā)展。