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第13章 全等三角形 　 一、選擇題 1．如圖，是我們學過的用直尺和三角尺畫平行線的方法示意圖，畫圖的原理是（　?。? A．同位角相等，兩直線平行 B．內錯角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，內錯角相等 2．如圖，小敏做了一個角平分儀ABCD，其中AB=AD，BC=DC．將儀器上的點A與∠PRQ的頂點R重合，調整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點A，C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原理是：根據儀器結構，可得△ABC≌△ADC，這樣就有∠QAE=∠PAE．則說明這兩個三角形全等的依據是（　?。? A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3．數學活動課上，四位同學圍繞作圖問題：“如圖，已知直線l和l外一點P，用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥l于點Q．”分別作出了下列四個圖形．其中作法錯誤的是（　?。? A． B． C． D． 4．如圖，在△ABC中，∠ACB=90，分別以點A和B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN交AB于點D，交BC于點E，連接CD，下列結論錯誤的是（　?。? A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 5．如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點P，若點P的坐標為（6a，2b﹣1），則a和b的數量關系為（　?。? A．6a﹣2b=1 B．6a+2b=1 C．6a﹣b=1 D．6a+b=1 6．如圖，用尺規(guī)作圖：“過點C作CN∥OA”，其作圖依據是（　?。? A．同位角相等，兩直線平行 B．內錯角相等，兩直線平行 C．同旁內角相等，兩直線平行 D．同旁內角互補，兩直線平行 7．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90，點D是BC邊的中點，分別以B、C為圓心，大于線段BC長度一半的長為半徑畫弧，兩弧在直線BC上方的交點為P，直線PD交AC于點E，連接BE，則下列結論：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正確的是（　?。? A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．如圖，分別以線段AC的兩個端點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于B，D兩點，連接BD，AB，BC，CD，DA，以下結論： ①BD垂直平分AC； ②AC平分∠BAD； ③AC=BD； ④四邊形ABCD是中心對稱圖形． 其中正確的有（　?。? A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 9．觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列結論錯誤的是（　?。? A．PQ為∠APB的平分線 B．PA=PB C．點A、B到PQ的距離不相等 D．∠APQ=∠BPQ 10．如圖，下面是利用尺規(guī)作∠AOB的角平分線OC的作法，在用尺規(guī)作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是（　?。? 作法： ①以O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點D，E； ②分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內交于一點C； ③畫射線OC，射線OC就是∠AOB的角平分線． A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 　 二、填空題（共4小題） 11．閱讀下面材料： 在數學課上，老師提出如下問題： 小蕓的作法如下： 老師說：“小蕓的作法正確．” 請回答：小蕓的作圖依據是　?。? 12．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖： ①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點； ②作直線MN交AB于點D，連接CD，若CD=AC，∠B=25，則∠ACB的度數為　?。? 13．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠B=70，分別以點A、C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN，分別交AC、BC于點D、E，連結AE，則∠AED的度數是　?。? 14．如圖，△ABC和△FPQ均是等邊三角形，點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，點P在AB邊上，連接EF、QE．若AB=6，PB=1，則QE=　?。? 　 三、解答題（共16小題） 15．課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖． （1）求證：△ADC≌△CEB； （2）從三角板的刻度可知AC=25cm，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大?。繅K磚的厚度相等）． 16．根據圖中尺規(guī)作圖的痕跡，先判斷得出結論：　　，然后證明你的結論（不要求寫已知、求證） 17．如圖，一塊余料ABCD，AD∥BC，現(xiàn)進行如下操作：以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點G，H；再分別以點G，H為圓心，大于GH的長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內部相交于點O，畫射線BO，交AD于點E． （1）求證：AB=AE； （2）若∠A=100，求∠EBC的度數． 18．如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點． （1）作圖： ①過B作AC的平行線BH； ②過D作BH的垂線，分別交AC，BH，AB的延長線于E，F(xiàn)，G． （2）在圖中找出一對全等的三角形，并證明你的結論． 19．某段河流的兩岸是平行的，數學興趣小組在老師帶領下不用涉水過河就測得河的寬度，他們是這樣做的： ①在河流的一條岸邊B點，選對岸正對的一棵樹A； ②沿河岸直走20步有一樹C，繼續(xù)前行20步到達D處； ③從D處沿河岸垂直的方向行走，當到達A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走； ④測得DE的長就是河寬AB． 請你證明他們做法的正確性． 20．如圖，在△ABC中，∠C=60，∠A=40． （1）用尺規(guī)作圖作AB的垂直平分線，交AC于點D，交AB于點E（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）； （2）求證：BD平分∠CBA． 21．如圖，BD是矩形ABCD的一條對角線． （1）作BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，垂足為點O．（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）； （2）求證：DE=BF． 22．如圖，點D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A． （1）作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）； （2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關系（不要求證明）． 23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90． （1）用尺規(guī)在邊BC上求作一點P，使PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡） （2）連接AP，當∠B為　　度時，AP平分∠CAB． 24．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF． （1）求證：AF=DC； （2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論． 25．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E． 證明：DE=BD+CE． （2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由． （3）拓展與應用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀． 26．一節(jié)數學課后，老師布置了一道課后練習題： 如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90，BO⊥AC于點O，點P、D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點E，求證：△BPO≌△PDE． （1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示： 根據上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程． （2）特殊位置，證明結論 若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD． （3）知識遷移，探索新知 若點P是一個動點，點P運動到OC的中點P′時，滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D′，請直接寫出CD′與AP′的數量關系．（不必寫解答過程） 27．如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90，∠B=∠E=30． （1）操作發(fā)現(xiàn) 如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空： ①線段DE與AC的位置關系是　??； ②設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數量關系是　?。? （2）猜想論證 當△DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60，點D是角平分線上一點，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點E（如圖4）．若在射線BA上存在點F，使S△DCF=S△BDE，請直接寫出相應的BF的長． 28．已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點． （1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是　　，QE與QF的數量關系式　??； （2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關系，并給予證明； （3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明． 29．如圖，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，∠BAD=45，AD與BE交于點F，連接CF． （1）求證：BF=2AE； （2）若CD=，求AD的長． 30．已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使∠DAF=60，連接CF． （1）如圖1，當點D在邊BC上時，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD； （2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系，并說明理由； （3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系． 　 第13章 全等三角形 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．如圖，是我們學過的用直尺和三角尺畫平行線的方法示意圖，畫圖的原理是（　?。? A．同位角相等，兩直線平行 B．內錯角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，內錯角相等 【考點】作圖—基本作圖；平行線的判定． 【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，從而得出同位角相等，兩直線平行． 【解答】解：∵∠DPF=∠BAF， ∴AB∥PD（同位角相等，兩直線平行）． 故選：A． 【點評】此題主要考查了基本作圖與平行線的判定，正確理解題目的含義是解決本題的關鍵． 　 2．如圖，小敏做了一個角平分儀ABCD，其中AB=AD，BC=DC．將儀器上的點A與∠PRQ的頂點R重合，調整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點A，C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原理是：根據儀器結構，可得△ABC≌△ADC，這樣就有∠QAE=∠PAE．則說明這兩個三角形全等的依據是（　?。? A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【考點】全等三角形的應用． 【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC為公共邊，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，進而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE． 【解答】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC， 即∠QAE=∠PAE． 故選：D． 【點評】本題考查了全等三角形的應用；這種設計，用SSS判斷全等，再運用性質，是全等三角形判定及性質的綜合運用，做題時要認真讀題，充分理解題意． 　 3．數學活動課上，四位同學圍繞作圖問題：“如圖，已知直線l和l外一點P，用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥l于點Q．”分別作出了下列四個圖形．其中作法錯誤的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】作圖—基本作圖． 【分析】A、根據作法無法判定PQ⊥l； B、以P為圓心大于P到直線l的距離為半徑畫弧，交直線l，于兩點，再以兩點為圓心，大于它們的長為半徑畫弧，得出其交點，進而作出判斷； C、根據直徑所對的圓周角等于90作出判斷； D、根據全等三角形的判定和性質即可作出判斷． 【解答】解：根據分析可知， 選項B、C、D都能夠得到PQ⊥l于點Q；選項A不能夠得到PQ⊥l于點Q． 故選：A． 【點評】此題主要考查了過直線外以及過直線上一點作已知直線的垂線，熟練掌握基本作圖方法是解題關鍵． 　 4．如圖，在△ABC中，∠ACB=90，分別以點A和B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN交AB于點D，交BC于點E，連接CD，下列結論錯誤的是（　?。? A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質；直角三角形斜邊上的中線． 【分析】由題意可知：MN為AB的垂直平分線，可以得出AD=BD；CD為直角三角形ABC斜邊上的中線，得出CD=BD；利用三角形的內角和得出∠A=∠BED；因為∠A≠60，得不出AC=AD，無法得出EC=ED，則∠ECD=∠EDC不成立；由此選擇答案即可． 【解答】解：∵MN為AB的垂直平分線， ∴AD=BD，∠BDE=90； ∵∠ACB=90， ∴CD=BD； ∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90， ∴∠A=∠BED； ∵∠A≠60，AC≠AD， ∴EC≠ED， ∴∠ECD≠∠EDC． 故選：D． 【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質以及直角三角形的性質．注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等． 　 5．如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點P，若點P的坐標為（6a，2b﹣1），則a和b的數量關系為（　?。? A．6a﹣2b=1 B．6a+2b=1 C．6a﹣b=1 D．6a+b=1 【考點】作圖—基本作圖；坐標與圖形性質． 【分析】根據作圖方法可得點P在第二象限的角平分線上，根據角平分線的性質和第二象限內點的坐標符號可得6a+2b﹣1=0，然后再整理可得答案． 【解答】解：根據作圖方法可得點P在第二象限角平分線上；點P到x軸、y軸的距離相等；點P的橫縱坐標互為相反數， 則P點橫縱坐標的和為0， 故6a+2b﹣1=0（或﹣6a=2b﹣1）， 整理得：6a+2b=1， 故選B． 【點評】此題主要考查了基本作圖﹣角平分線的做法以及坐標與圖形的性質：點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標有關，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數，而坐標可以是負數，在由距離求坐標時，需要加上恰當的符號． 　 6．如圖，用尺規(guī)作圖：“過點C作CN∥OA”，其作圖依據是（　?。? A．同位角相等，兩直線平行 B．內錯角相等，兩直線平行 C．同旁內角相等，兩直線平行 D．同旁內角互補，兩直線平行 【考點】作圖—基本作圖；平行線的判定． 【分析】根據兩直線平行的判定方法得出其作圖依據即可． 【解答】解：如圖所示：“過點C作CN∥OA”，其作圖依據是：作出∠NCO=∠O，則CN∥AO， 故作圖依據是：內錯角相等，兩直線平行． 故選：B． 【點評】此題主要考查了基本作圖以及平行線判定，正確掌握作圖基本原理是解題關鍵． 　 7．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90，點D是BC邊的中點，分別以B、C為圓心，大于線段BC長度一半的長為半徑畫弧，兩弧在直線BC上方的交點為P，直線PD交AC于點E，連接BE，則下列結論：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正確的是（　?。? A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據作圖過程得到PB=PC，然后利用D為BC的中點，得到PD垂直平分BC，從而利用垂直平分線的性質對各選項進行判斷即可． 【解答】解：根據作圖過程可知：PB=CP， ∵D為BC的中點， ∴PD垂直平分BC， ∴①ED⊥BC正確； ∵∠ABC=90， ∴PD∥AB， ∴E為AC的中點， ∴EC=EA， ∵EB=EC， ∴②∠A=∠EBA正確；③EB平分∠AED錯誤；④ED=AB正確， 故正確的有①②④， 故選：B． 【點評】本題考查了基本作圖的知識，解題的關鍵是了解如何作已知線段的垂直平分線，難度中等． 　 8．如圖，分別以線段AC的兩個端點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于B，D兩點，連接BD，AB，BC，CD，DA，以下結論： ①BD垂直平分AC； ②AC平分∠BAD； ③AC=BD； ④四邊形ABCD是中心對稱圖形． 其中正確的有（　?。? A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質；中心對稱圖形． 【分析】根據線段垂直平分線的作法及中心對稱圖形的性質進行逐一分析即可． 【解答】解：①∵分別以線段AC的兩個端點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧， ∴AB=BC， ∴BD垂直平分AC，故此小題正確； ②在△ABC與△ADC中， ∵， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴AC平分∠BAD，故此小題正確； ③只有當∠BAD=90時，AC=BD，故本小題錯誤； ④∵AB=BC=CD=AD， ∴四邊形ABCD是菱形， ∴四邊形ABCD是中心對稱圖形，故此小題正確． 故選C． 【點評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關鍵． 　 9．觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列結論錯誤的是（　?。? A．PQ為∠APB的平分線 B．PA=PB C．點A、B到PQ的距離不相等 D．∠APQ=∠BPQ 【考點】作圖—基本作圖． 【分析】根據角平分線的作法進行解答即可． 【解答】解：∵由圖可知，PQ是∠APB的平分線， ∴A，B，D正確； ∵PQ是∠APB的平分線，PA=PB， ∴點A、B到PQ的距離相等，故C錯誤． 故選C． 【點評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知角平分線的作法及性質是解答此題的關鍵． 　 10．如圖，下面是利用尺規(guī)作∠AOB的角平分線OC的作法，在用尺規(guī)作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是（　?。? 作法： ①以O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點D，E； ②分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內交于一點C； ③畫射線OC，射線OC就是∠AOB的角平分線． A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 【考點】作圖—基本作圖；全等三角形的判定． 【分析】根據作圖的過程知道：OE=OD，OC=OC，CE=CD，所以由全等三角形的判定定理SSS可以證得△EOC≌△DOC． 【解答】解：如圖，連接EC、DC． 根據作圖的過程知， 在△EOC與△DOC中， ， △EOC≌△DOC（SSS）． 故選：C． 【點評】本題考查了全等三角形的判定定理的應用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL． 　 二、填空題 11．閱讀下面材料： 在數學課上，老師提出如下問題： 小蕓的作法如下： 老師說：“小蕓的作法正確．” 請回答：小蕓的作圖依據是　到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，兩點確定一條直線．?。? 【考點】作圖—基本作圖． 【專題】作圖題；壓軸題． 【分析】通過作圖得到CA=CB，DA=DB，則可根據線段垂直平分線定理的逆定理判斷CD為線段AB的垂直平分線． 【解答】解：∵CA=CB，DA=DB， ∴CD垂直平分AB（到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，兩點確定一條直線．） 故答案為：到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，兩點確定一條直線．． 【點評】本題考查了基本作圖：基本作圖有：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線． 　 12．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖： ①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點； ②作直線MN交AB于點D，連接CD，若CD=AC，∠B=25，則∠ACB的度數為　105?。? 【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質． 【分析】首先根據題目中的作圖方法確定MN是線段BC的垂直平分線，然后利用垂直平分線的性質解題即可． 【解答】解：由題中作圖方法知道MN為線段BC的垂直平分線， ∴CD=BD， ∵∠B=25， ∴∠DCB=∠B=25， ∴∠ADC=50， ∵CD=AC， ∴∠A=∠ADC=50， ∴∠ACD=80， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80+25=105， 故答案為：105． 【點評】本題考查了基本作圖中的垂直平分線的作法及線段的垂直平分線的性質，解題的關鍵是了解垂直平分線的做法． 　 13．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠B=70，分別以點A、C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN，分別交AC、BC于點D、E，連結AE，則∠AED的度數是　50　． 【考點】作圖—基本作圖；等腰三角形的性質． 【分析】由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，故可得出結論． 【解答】解：∵由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線， ∴CE=AE， ∴∠C=∠CAE， ∵AC=BC，∠B=70， ∴∠C=40， ∴∠AED=50， 故答案為：50． 【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質以及勾股定理的應用，熟知線段垂直平分線的性質是解答此題的關鍵． 　 14．如圖，△ABC和△FPQ均是等邊三角形，點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，點P在AB邊上，連接EF、QE．若AB=6，PB=1，則QE=　2?。? 【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】連結FD，根據等邊三角形的性質，由△ABC為等邊三角形得到AC=AB=6，∠A=60，再根據點D、E、F分別是等邊△ABC三邊的中點，則AD=BD=AF=3，DP=2，EF為△ABC的中位線，于是可判斷△ADF為等邊三角形，得到∠FDA=60，利用三角形中位線的性質得EF∥AB，EF=AB=3，根據平行線性質得∠1+∠3=60；又由于△PQF為等邊三角形，則∠2+∠3=60，F(xiàn)P=FQ，所以∠1=∠2，然后根據“SAS”判斷△FDP≌△FEQ，所以DP=QE=2． 【解答】解：連結FD，如， ∵△ABC為等邊三角形， ∴AC=AB=6，∠A=60， ∵點D、E、F分別是等邊△ABC三邊的中點，AB=6，PB=1， ∴AD=BD=AF=3，DP=DB﹣PB=3﹣1=2，EF為△ABC的中位線， ∴EF∥AB，EF=AB=3，△ADF為等邊三角形， ∴∠FDA=60， ∴∠1+∠3=60， ∵△PQF為等邊三角形， ∴∠2+∠3=60，F(xiàn)P=FQ， ∴∠1=∠2， ∵在△FDP和△FEQ中 ， ∴△FDP≌△FEQ（SAS）， ∴DP=QE， ∵DP=2， ∴QE=2． 故答案為：2． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質． 　 三、解答題 15．課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖． （1）求證：△ADC≌△CEB； （2）從三角板的刻度可知AC=25cm，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大?。繅K磚的厚度相等）． 【考點】全等三角形的應用；勾股定理的應用． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】（1）根據題意可得AC=BC，∠ACB=90，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC=∠CEB=90，再根據等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可． （2）由題意得：AD=4a，BE=3a，根據全等可得DC=BE=3a，根據勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可． 【解答】（1）證明：由題意得：AC=BC，∠ACB=90，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90 ∴∠ACD+∠BCE=90，∠ACD+∠DAC=90， ∴∠BCE=∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：由題意得： ∵一塊墻磚的厚度為a， ∴AD=4a，BE=3a， 由（1）得：△ADC≌△CEB， ∴DC=BE=3a， 在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2， ∴（4a）2+（3a）2=252， ∵a＞0， 解得a=5， 答：砌墻磚塊的厚度a為5cm． 【點評】此題主要考查了全等三角形的應用，以及勾股定理的應用，關鍵是正確找出證明三角形全等的條件． 　 16．根據圖中尺規(guī)作圖的痕跡，先判斷得出結論：　OM平分∠BOA　，然后證明你的結論（不要求寫已知、求證） 【考點】作圖—基本作圖；全等三角形的判定與性質． 【專題】作圖題． 【分析】根據圖中尺規(guī)作圖的痕跡可知，OC=OD，CM=DM，根據全等三角形的判定和性質得到答案． 【解答】解：結論：OM平分∠BOA， 證明：由作圖的痕跡可知，OC=OD，CM=DM， 在△COM和△DOM中， ， ∴△COM≌△DOM， ∴∠COM=∠DOM， ∴OM平分∠BOA． 【點評】本題考查的是角平分線的作法和全等三角形的判定和性質，掌握基本尺規(guī)作圖的步驟和全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵． 　 17．如圖，一塊余料ABCD，AD∥BC，現(xiàn)進行如下操作：以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點G，H；再分別以點G，H為圓心，大于GH的長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內部相交于點O，畫射線BO，交AD于點E． （1）求證：AB=AE； （2）若∠A=100，求∠EBC的度數． 【考點】作圖—基本作圖；等腰三角形的判定與性質． 【分析】（1）根據平行線的性質，可得∠AEB=∠EBC，根據角平分線的性質，可得∠EBC=∠ABE，根據等腰三角形的判定，可得答案； （2）根據三角形的內角和定理，可得∠AEB，根據平行線的性質，可得答案． 【解答】（1）證明：∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBC． 由BE是∠ABC的角平分線， ∴∠EBC=∠ABE， ∴∠AEB=∠ABE， ∴AB=AE； （2）由∠A=100，∠ABE=∠AEB，得 ∠ABE=∠AEB=40． 由AD∥BC，得 ∠EBC=∠AEB=40． 【點評】本題考查了等腰三角形的判定，利用了平行線的性質，角平分線的性質，等腰三角形的判定． 　 18．如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點． （1）作圖： ①過B作AC的平行線BH； ②過D作BH的垂線，分別交AC，BH，AB的延長線于E，F(xiàn)，G． （2）在圖中找出一對全等的三角形，并證明你的結論． 【考點】作圖—基本作圖；全等三角形的判定；等邊三角形的性質． 【分析】（1）根據平行線及垂線的作法畫圖即可； （2）根據ASA定理得出△DEC≌△DFB即可． 【解答】解：（1）作圖如下：①如圖1； ②如圖2： （2）△DEC≌△DFB 證明：∵BH∥AC， ∴∠DCE=∠DBF， 又∵D是BC中點， ∴DC=DB． 在△DEC與△DFB中， ∵， ∴△DEC≌△DFB（ASA）． 【點評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知等邊三角形的性質是解答此題的關鍵． 　 19．某段河流的兩岸是平行的，數學興趣小組在老師帶領下不用涉水過河就測得河的寬度，他們是這樣做的： ①在河流的一條岸邊B點，選對岸正對的一棵樹A； ②沿河岸直走20步有一樹C，繼續(xù)前行20步到達D處； ③從D處沿河岸垂直的方向行走，當到達A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走； ④測得DE的長就是河寬AB． 請你證明他們做法的正確性． 【考點】全等三角形的應用． 【分析】將題目中的實際問題轉化為數學問題，然后利用全等三角形的判定方法證得兩個三角形全等即可說明其做法的正確性． 【解答】證明：如圖，由做法知： 在Rt△ABC和Rt△EDC中， ∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA） ∴AB=ED 即他們的做法是正確的． 【點評】本題考查了全等三角形的應用，解題的關鍵是將實際問題轉化為數學問題． 　 20．如圖，在△ABC中，∠C=60，∠A=40． （1）用尺規(guī)作圖作AB的垂直平分線，交AC于點D，交AB于點E（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）； （2）求證：BD平分∠CBA． 【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質． 【專題】作圖題． 【分析】（1）分別以A、B兩點為圓心，以大于AB長度為半徑畫弧，在AB兩邊分別相交于兩點，然后過這兩點作直線即為AB的垂直平分線； （2）根據線段垂直平分線的性質和三角形的內角和證明即可． 【解答】解：（1）如圖1所示： （2）連接BD，如圖2所示： ∵∠C=60，∠A=40， ∴∠CBA=80， ∵DE是AB的垂直平分線， ∴∠A=∠DBA=40， ∴∠DBA=∠CBA， ∴BD平分∠CBA． 【點評】本題考查了線段的垂直平分線的性質及三角形的內角和及基本作圖，解題的關鍵是了解垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等． 　 21．如圖，BD是矩形ABCD的一條對角線． （1）作BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，垂足為點O．（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）； （2）求證：DE=BF． 【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質；矩形的性質． 【專題】作圖題；證明題． 【分析】（1）分別以B、D為圓心，以大于BD的長為半徑四弧交于兩點，過兩點作直線即可得到線段BD的垂直平分線； （2）利用垂直平分線證得△DEO≌△BFO即可證得結論． 【解答】解：（1）答題如圖： （2）∵四邊形ABCD為矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵EF垂直平分線段BD， ∴BO=DO， 在△DEO和三角形BFO中， ， ∴△DEO≌△BFO（ASA）， ∴DE=BF． 【點評】本題考查了基本作圖及全等三角形的判定與性質，了解基本作圖是解答本題的關鍵，難度中等． 　 22．如圖，點D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A． （1）作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）； （2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關系（不要求證明）． 【考點】作圖—基本作圖；平行線的判定． 【專題】作圖題． 【分析】（1）根據角平分線基本作圖的作法作圖即可； （2）根據角平分線的性質可得∠BDE=∠BDC，根據三角形內角與外角的性質可得∠A=∠BDC，再根據同位角相等兩直線平行可得結論． 【解答】解：（1）如圖所示： （2）DE∥AC ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE=∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDE， ∴DE∥AC． 【點評】此題主要考查了基本作圖，以及平行線的判定，關鍵是正確畫出圖形，掌握同位角相等兩直線平行． 　 23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90． （1）用尺規(guī)在邊BC上求作一點P，使PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡） （2）連接AP，當∠B為　30　度時，AP平分∠CAB． 【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質． 【專題】作圖題． 【分析】（1）運用基本作圖方法，中垂線的作法作圖， （2）求出∠PAB=∠PAC=∠B，運用直角三角形解出∠B． 【解答】解：（1）如圖， （2）如圖， ∵PA=PB， ∴∠PAB=∠B， 如果AP是角平分線，則∠PAB=∠PAC， ∴∠PAB=∠PAC=∠B， ∵∠ACB=90， ∴∠PAB=∠PAC=∠B=30， ∴∠B=30時，AP平分∠CAB． 故答案為：30． 【點評】本題主要考查了基本作圖，角平分線的知識，解題的關鍵是熟記作圖的方法及等邊對等角的知識． 　 24．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF． （1）求證：AF=DC； （2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論． 【考點】全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定． 【分析】（1）根據AAS證△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案； （2）得出四邊形ADCF是平行四邊形，根據直角三角形斜邊上中線性質得出CD=AD，根據菱形的判定推出即可． 【解答】（1）證明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線， ∴AE=DE，BD=CD， 在△AFE和△DBE中 ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF=BD， ∴AF=DC． （2）四邊形ADCF是菱形， 證明：AF∥BC，AF=DC， ∴四邊形ADCF是平行四邊形， ∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線， ∴AD=BC=DC， ∴平行四邊形ADCF是菱形． 【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應用，主要考查學生的推理能力． 　 25．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E． 證明：DE=BD+CE． （2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由． （3）拓展與應用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀． 【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）根據BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90，而∠BAC=90，根據等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據“AAS”可判斷△ADB≌△CEA， 則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE； （2）與（1）的證明方法一樣； （3）由前面的結論得到△ADB≌△CEA，則BD=AE，∠DBA=∠CAE，根據等邊三角形的性質得∠ABF=∠CAF=60，則∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，則∠DBF=∠FAE， 利用“SAS”可判斷△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60，根據等邊三角形的判定方法可得到△DEF為等邊三角形． 【解答】證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m， ∴∠BDA=∠CEA=90， ∵∠BAC=90， ∴∠BAD+∠CAE=90， ∵∠BAD+∠ABD=90， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立． ∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180﹣α， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF是等邊三角形． 由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA=∠CAE， ∵△ABF和△ACF均為等邊三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60， ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF=∠FAE， ∵BF=AF 在△DBF和△EAF中 ， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE， ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60， ∴△DEF為等邊三角形． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質． 　 26．一節(jié)數學課后，老師布置了一道課后練習題： 如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90，BO⊥AC于點O，點P、D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點E，求證：△BPO≌△PDE． （1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示： 根據上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程． （2）特殊位置，證明結論 若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD． （3）知識遷移，探索新知 若點P是一個動點，點P運動到OC的中點P′時，滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D′，請直接寫出CD′與AP′的數量關系．（不必寫解答過程） 【考點】全等三角形的判定與性質． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90，根據AAS證△BPO≌△PDE即可； （2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案； （3）設OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案． 【解答】（1）證明：∵PB=PD， ∴∠2=∠PBD， ∵AB=BC，∠ABC=90， ∴∠C=45， ∵BO⊥AC， ∴∠1=45， ∴∠1=∠C=45， ∵∠3=∠PBC﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C， ∴∠3=∠4， ∵BO⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BOP=∠PED=90， 在△BPO和△PDE中 ∴△BPO≌△PDE（AAS）； （2）證明：由（1）可得：∠3=∠4， ∵BP平分∠ABO， ∴∠ABP=∠3， ∴∠ABP=∠4， 在△ABP和△CPD中 ∴△ABP≌△CPD（AAS）， ∴AP=CD． （3）解：CD′與AP′的數量關系是CD′=AP′． 理由是：設OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO， 則AP=2x+x=3x， 由△OBP≌△EPD，得BO=PE， PE=2x，CE=2x﹣x=x， ∵∠E=90，∠ECD=∠ACB=45， ∴DE=x，由勾股定理得：CD=x， 即AP=3x，CD=x， ∴CD′與AP′的數量關系是CD′=AP′ 【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形性質，等腰三角形性質等知識點的綜合應用，主要考查學生的推理和計算能力． 　 27．如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90，∠B=∠E=30． （1）操作發(fā)現(xiàn) 如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空： ①線段DE與AC的位置關系是　DE∥AC??； ②設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數量關系是　S1=S2?。? （2）猜想論證 當△DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60，點D是角平分線上一點，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點E（如圖4）．若在射線BA上存在點F，使S△DCF=S△BDE，請直接寫出相應的BF的長． 【考點】全等三角形的判定與性質． 【專題】幾何綜合題；壓軸題． 【分析】（1）①根據旋轉的性質可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠ACD=60，然后根據內錯角相等，兩直線平行解答； ②根據等邊三角形的性質可得AC=AD，再根據直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據等底等高的三角形的面積相等解答； （2）根據旋轉的性質可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明； （3）過點D作DF1∥BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據菱形的對邊相等可得BE=DF1，然后根據等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點，過點D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60，從而得到△DF1F2是等邊三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等，根據全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點，然后在等腰△BDE中求出BE的長，即可得解． 【解答】解：（1）①∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上， ∴AC=CD， ∵∠BAC=90﹣∠B=90﹣30=60， ∴△ACD是等邊三角形， ∴∠ACD=60， 又∵∠CDE=∠BAC=60， ∴∠ACD=∠CDE， ∴DE∥AC； ②∵∠B=30，∠C=90， ∴CD=AC=AB， ∴BD=AD=AC， 根據等邊三角形的性質，△ACD的邊AC、AD上的高相等， ∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等）， 即S1=S2； 故答案為：DE∥AC；S1=S2； （2）如圖，∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到， ∴BC=CE，AC=CD， ∵∠ACN+∠BCN=90，∠DCM+∠BCN=180﹣90=90， ∴∠ACN=∠DCM， ∵在△ACN和△DCM中， ， ∴△ACN≌△DCM（AAS）， ∴AN=DM， ∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等）， 即S1=S2； （3）如圖，過點D作DF1∥BE，易求四邊形BEDF1是菱形， 所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等， 此時S△DCF1=S△BDE； 過點D作DF2⊥BD， ∵∠ABC=60，F(xiàn)1D∥BE， ∴∠F2F1D=∠ABC=60， ∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30，∠F2DB=90， ∴∠F1DF2=∠ABC=60， ∴△DF1F2是等邊三角形， ∴DF1=DF2， ∵BD=CD，∠ABC=60，點D是角平分線上一點， ∴∠DBC=∠DCB=60=30， ∴∠CDF1=180﹣∠BCD=180﹣30=150， ∠CDF2=360﹣150﹣60=150， ∴∠CDF1=∠CDF2， ∵在△CDF1和△CDF2中， ， ∴△CDF1≌△CDF2（SAS）， ∴點F2也是所求的點， ∵∠ABC=60，點D是角平分線上一點，DE∥AB， ∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=60=30， 又∵BD=4， ∴BE=4cos30=2=， ∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=， 故BF的長為或． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質，直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關鍵，（3）要注意符合條件的點F有兩個． 　 28．已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點． （1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是　AE∥BF　，QE與QF的數量關系式　QE=QF　； （2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關系，并給予證明； （3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明． 【考點】全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）證△BFQ≌△AEQ即可； （2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可； （3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可． 【解答】解：（1）AE∥BF，QE=QF， 理由是：如圖1，∵Q為AB中點， ∴AQ=BQ， ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90， 在△BFQ和△AEQ中 ∴△BFQ≌△AEQ（AAS）， ∴QE=QF， 故答案為：AE∥BF；QE=QF． （2）QE=QF， 證明：如圖2，延長FQ交AE于D， ∵Q為AB中點， ∴AQ=BQ， ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE， ∴∠QAD=∠FBQ， 在△FBQ和△DAQ中 ∴△FBQ≌△DAQ（ASA）， ∴QF=QD， ∵AE⊥CP， ∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線， ∴QE=QF=QD， 即QE=QF． （3）（2）中的結論仍然成立， 證明：如圖3， 延長EQ、FB交于D， ∵Q為AB中點， ∴AQ=BQ， ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE， ∴∠1=∠D， 在△AQE和△BQD中， ， ∴△AQE≌△BQD（AAS）， ∴QE=QD， ∵BF⊥CP， ∴FQ是斜邊DE上的中線， ∴QE=QF． 【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質的應用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性質是：全等三角形的對應邊相等，對應角相等． 　 29．如圖，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，∠BAD=45，AD與B