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廣東省2015屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)備考試題：概率與統(tǒng)計 一、選擇題 1、（2014廣東高考）已知某地區(qū)中小學(xué)學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和如圖2所示，為了解該地區(qū)中下學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為 A. 100，10 　　　 B. 200,10 　　C. 100，20 D. 200，20 2、（2013廣東高考）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為 則的數(shù)學(xué)期望 ( ) A . B． C． D． 3.（2012廣東高考）從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為0的概率是（ ） A. B. C. D. 4、（2011廣東高考）甲、乙兩隊進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為 A．　　　　 B．　　　　　　　C．　　　　　 D． 5、（廣州海珠區(qū)2015高三第一次質(zhì)檢）由不等式確定的平面區(qū)域記為，不等式確定的平面區(qū)域記為，在中隨機(jī)取一點，則該點恰好在內(nèi)的概率為 A． B． 　 C． D． 6、（珠海2015屆高三9月摸底）在區(qū)間上隨機(jī)取兩個數(shù)　其中滿足的概率是（?。? A． B． C． D． 7、（2014廣州一模）某中學(xué)從某次考試成績中抽取若干名學(xué)生的分?jǐn)?shù)，并繪制圖1 分?jǐn)?shù) 頻率/組距 50 60 70 80 90 100 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0 成如圖1的頻率分布直方圖．樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．若用分層抽樣的方法從樣本中抽取分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)16個，則其中分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)有 A．5個 B．6個 C．8個 D．10個 8、（2014揭陽二模）某研究機(jī)構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程中的的值為，則記憶力為14的同學(xué)的判斷力約為（附：線性回歸方程中，， 其中，為樣本平均值) A．7 B． C．8 D． 二、解答題 9、（2014廣東高考）隨機(jī)觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)（單位：件），獲得數(shù)據(jù)如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36 根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下： （1）確定樣本頻率分布表中和的值； （2）根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖； （3）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,35］的概率. 10、（2013廣東高考）某車間共有名工人,隨機(jī)抽取名,他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個位數(shù). 第17題圖 (Ⅰ) 根據(jù)莖葉圖計算樣本均值； (Ⅱ) 日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人，根據(jù)莖葉圖推斷該車間名工人中有幾名優(yōu)秀工人； (Ⅲ) 從該車間名工人中,任取人,求恰有名優(yōu)秀工人的概率. 11、（2012廣東高考）某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績分組區(qū)間是：、、、、、. （Ⅰ）求圖中的值； （Ⅱ）從成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中成績在90分以上（含90分）的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望. 12、（2011廣東高考）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素的含量（單位：毫克）．下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)： （1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量； （2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素滿足且時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量； （3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）． 13、（2015屆珠海高三9月摸底）某校興趣小組進(jìn)行了一項“娛樂與年齡關(guān)系”的調(diào)查，對 15～65歲的人群隨機(jī)抽取1000人的樣本，進(jìn)行了一次“是否是電影明星追星族”調(diào)查，得到如下各年齡段樣本人數(shù)頻率分布直方圖和“追星族”統(tǒng)計表： 各年齡段樣本人數(shù)頻率分布直方圖 “追星族”統(tǒng)計表 組數(shù) 分組 “追星族”人數(shù) 占本組頻率 一 [15，25) a 0.75 二 [25，35) 200 0.40 三 [35，45) 5 0.1 四 [45，55) 3 b 五 [55，65] 2 0.1 （1）求的值． （2）設(shè)從45歲到65歲的人群中，隨機(jī)抽取2人，用樣本數(shù)據(jù)估計總體，表示其中“追星族”的人數(shù)， 求分布列、期望和方差． 14、（2015屆廣州六中上第一次質(zhì)檢） 為迎接6月6日的“全國愛眼日”，某高中學(xué)生會從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取16名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)用對數(shù)視力表檢查得到每個學(xué)生的視力狀況的莖葉圖(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)，如圖，若視力測試結(jié)果不低于5.0，則稱為“好視力”． (Ⅰ)寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； (Ⅱ)從這16人中隨機(jī)選取3人，求至少有2人是“好視力”的概率； （Ⅲ）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學(xué)校的總體數(shù)據(jù)，若從該校(人數(shù)很多)任選3人，記X表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 15、（2014廣州一模）甲，乙，丙三人參加某次招聘會，假設(shè)甲能被聘用的概率是，甲，丙兩人同時不能被聘用的概率是，乙，丙兩人同時能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互獨立． （1）求乙，丙兩人各自能被聘用的概率； （2）設(shè)表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人數(shù)與不能被聘用的人數(shù)之差的絕對值，求的分布列與均值（數(shù)學(xué)期望）． 16、袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上號的有個（=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球.表示所取球的標(biāo)號.（Ⅰ）求的分布列，期望和方差； （Ⅱ）若, ,,試求a,b的值. 17、為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設(shè)為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望，標(biāo)準(zhǔn)差為。（Ⅰ）求n,p的值并寫出的分布列； （Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率 18、（2013?汕頭一模）廣東省汕頭市日前提出，要提升市民素質(zhì)和城市文明程度，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有大的提速，努力實現(xiàn)“幸福汕頭”的共建共享．現(xiàn)隨機(jī)抽取50位市民，對他們的幸福指數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到如下分布表： 幸福級別 非常幸福 幸福 不知道 不幸福 幸福指數(shù)（分） 90 60 30 0 人數(shù)（個） 19 21 7 3 （I）求這50位市民幸福指數(shù)的數(shù)學(xué)期望（即平均值）； （11）以這50人為樣本的幸福指數(shù)來估計全市市民的總體幸福指數(shù)，若從全市市民（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到幸福級別為“非常幸?；蛐腋！笔忻袢藬?shù)．求ξ的分布列； （III）從這50位市民中，先隨機(jī)選一個人．記他的幸福指數(shù)為m，然后再隨機(jī)選另一個人，記他的幸福指數(shù)為n，求n＜m+60的概率P． 19、（2014揭陽二模）下表是某市從3月份中隨機(jī)抽取的10天空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）和“PM2.5”（直徑小于等于2.5微米的顆粒物）24小時平均濃度的數(shù)據(jù)，空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良． 日期編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI） 179 40 98 124 29 133 241 424 95 89 “PM2.5”24小時平均濃度（） 135 5 80 94 80 100 190 387 70 66 （1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，估計該市當(dāng)月某日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率； （2）在上表數(shù)據(jù)中，在表示空氣質(zhì)量優(yōu)良的日期中，隨機(jī)抽取兩個對其當(dāng)天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析，設(shè)事件M為“抽取的兩個日期中，當(dāng)天‘PM2.5’的24小時平均濃度不超過75”，求事件M發(fā)生的概率； （3）在上表數(shù)據(jù)中，在表示空氣質(zhì)量優(yōu)良的日期中，隨機(jī)抽取3天，記為“PM2.5”24小時平均濃度不超過75的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 20、（2015屆深圳寶安區(qū)9月調(diào)研）甲、乙兩人玩游戲，先由甲任想一個數(shù)字記為，再由乙猜想甲剛才想的數(shù)字，把乙想的數(shù)字記為，且，記. (1)求的分布列及期望； （2）若，則稱“甲乙心有靈犀”，求“甲乙心有靈犀”的概率. 參考答案： 1、D 2、A 3、解析：D.兩位數(shù)共有90個，其中個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)有45個，個位數(shù)為0的有5個，所以概率為. 4、解析：（D）．乙獲得冠軍的概率為，則甲隊獲得冠軍的概率為 5、D　　6、B　7、B　　8、D 日加工零件數(shù) 頻率 組距 0.016 0.024 0.04 0.056 0.064 25 30 35 40 45 50 0 9、解：（1） （2）先計算 頻率/組距；然后作圖即可 （3）由（1）知，任取一人，日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,35］的概率為 設(shè)該廠任取4人，沒有人日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,35］的事件為， 則，所以 答：在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,35］的概率為 10、(Ⅰ) 樣本均值為； (Ⅱ) 由(Ⅰ)知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為,故推斷該車間名工人中有名優(yōu)秀工人. (Ⅲ) 設(shè)事件:從該車間名工人中,任取人,恰有名優(yōu)秀工人,則. 11、解析：（Ⅰ）由，解得. （Ⅱ）分?jǐn)?shù)在、的人數(shù)分別是人、人.所以的取值為0、1、2. ，，，所以的數(shù)學(xué)期望是. 12、解：（1）設(shè)乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為件，則，解得 所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件 （2）從乙廠抽取的5件產(chǎn)品中，編號為2、5的產(chǎn)品是優(yōu)等品，即5件產(chǎn)品中有2件是優(yōu)等品 由此可以估算出乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為（件） （3）可能的取值為0，1，2 ∴的分布列為： 0 1 2 ∴ 13、解：(1)．由題設(shè)知[15，25)這組人數(shù)為0.04101000=400，………………………………………1分 故a=0.75400=300 ………………………………………2分 [45，55)這組人數(shù)為0.003101000=30，故b= ………………………………………3分 綜上，a=300，b=0.1． ………………………………………4分 (2)．由[45，65]范圍內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)知，抽到追星族的概率為 ～B(2，) ………………………………………6分 故的分布列是 ξ 0 1 2 p 0.81 0.18 0.01 ………………………………………8分 的期望是 ………………………………………10分 的方差是 ………………………………………12分 14、解：(1)由題意知眾數(shù)為4.6和4.7，中位數(shù)為4.75. ------------2分 (2)這是一個古典概型，設(shè)至少有2人是“好視力”記為事件A，---------3分 則事件A包含的基本事件個數(shù)為： ----------5分 總的基本事件個數(shù)為： -----------6分 --------------------7分 （3）X的可能取值為0,1,2,3. -------------------8分 由于該校人數(shù)很多，故X近似服從二項分布B(3，)． P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝()2＝， P(X＝2)＝()2＝，P(X＝3)＝()3＝，------------------12分 X的分布列為 X 0 1 2 3 P 故X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝3＝.------------------13分 15、解：（1）記甲，乙，丙各自能被聘用的事件分別為，，， 由已知，，相互獨立，且滿足 解得，． 所以乙，丙各自能被聘用的概率分別為，． （2）的可能取值為1，3． 因為 ． 所以． 所以的分布列為 所以． 16、解：（Ⅰ）的分布列為： 0 1 2 3 4 P ∴ （Ⅱ）由，得a22.75＝11，即又所以 當(dāng)a=2時，由1＝21.5+b,得b=-2; 當(dāng)a=-2時，由1＝-21.5+b，得b=4. ∴或即為所求. 17、 (1)由得,從而 的分布列為 0 1 2 3 4 5 6 (2)記”需要補(bǔ)種沙柳”為事件A, 則 得 或 18、 解：（Ⅰ）記Ex表示這50位市民幸福指數(shù)的數(shù)學(xué)期望， ∴．…（1分） （Ⅱ）ξ的可能取值為0、1、2、3 …（2分） …（3分）…（4分） …（5分）…（6分） ∴ξ分布列為 ξ 0 1 2 3 P （Ⅲ）設(shè)所有滿足條件的對立事件n≥m+60的概率為P1 ①滿足m=0且n=60的事件數(shù)為：…（8分） ②滿足m=0且n=90的事件數(shù)為：…（9分） ③滿足m=30且n=90的事件數(shù)為：…（10分） ∴…（11分） 所以滿足條件n＜m+60的事件的概率為．…（12分） 19、解：（1）由上表數(shù)據(jù)知，10天中空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）小于100的日期有： A2 、A3 、A5 、A9 、A10共5天，------------------------------------------------1分 故可估計該市當(dāng)月某日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率.------------------------------3分 （2）由（1）知10天中表示空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為5，當(dāng)天“PM2.5”的24小時平均濃度不超過75有編號為A2 、A9 、A10，共3天，-----------------------------------4分 故事件M發(fā)生的概率.---------------------------------------------6分 （3）由（1）知，的可能取值為1,2,3. --------------------------------------------7分 且--------------------------------------------------------8分 -----------------------------------------------------------9分 ，-----------------------------------------------------------10分 故的分布列為： 1 2 3 --------------------------------------------------------11分 的數(shù)學(xué)期望．-------------------------------------12分 20、解：（I）可能取的值為0，1，2，3，4，5 ………………1分 ………………5分 的分布列為 0 1 2 3 4 5 P ………………6分 ………………8分 （II） ………………12分